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2008-2009学年第二学期本科试卷 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院课程名称:线性代数(A）题号一二三四五六七八九总成绩得分阅卷人复核人得分一、填空题（共15分，每小题3分）1. 设，为正整数，则. (难度系数00.1)2. 设三阶行列式，则元素2的代数余子式的值为. (难度系数00.1)3. 设矩阵，则. (难度系数00.1)4. 设方阵，则行列式. (难度系数00.1)5. 元齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是. (难度系数00.1)得分二、选择题（共15分，每小题3分）1. 设，则矩阵的秩=（ C ）.(A)1； (B)2； (C)3； (D)4.(难度系数00.1)2. 设行列式，则（ C ）(A) 0； (B) 1； (C) ； (D) 不能确定. (难度系数00.1)3. 设非零向量两两正交，则向量 （ A ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) .(难度系数00.1)4. 向量组,则与的内积是（ D ）(A) 0； (B) ； (C) ； (D) 4. (难度系数00.1)5. 设是一非齐次线性方程组，是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）(难度系数00.1)（A）是的一个解； （B） 是的一个解；（C）是的一个解； （D） 是的一个解.得分三、（10分）求解矩阵方程，其中 (难度系数00.1)解 ，,2分, 4分 而 8分从而 10分得分四、（10分）求非齐次线性方程组的通 (难度系数0.10.2)解 4分所以同解方程组为 ，（6分）从而对应齐次线性方程组的一个基础解系为 （8分）令，得特解所以通解为 （10分） 得分五、（10分）设有向量组求该向量组的秩及一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出. (难度系数0.10.2)解 对4分6分 为它的一个极大无关组8分10分得分六、（10分）用施密特正交化方法把线性无关向量组 ，正交化. (难度系数0.10.2)解：取2分，6分 10分 得分七、（共15分）设矩阵，(1)求矩阵的特征值与特征向量(7分)；(2)求正交矩阵，使得为对角矩阵(8分).(难度系数0.20.3)解 (1) 矩阵的特征方程为 （4分）特征值为 (4分),因特征值不等，所以对应的特征向量正交对于特征值的特征向量为，矩阵的属于特征值的全部特征向量为 （5分）对于特征值的特征向量为，矩阵的属于特征值的全部特征向量为 （6分）对于特征值的特征向量为，矩阵的属于特征值的全部特征向量为 （7分） (2) 将向量单位化，得， 10分，令13分，则为正交矩阵，且15分.得分八、（8分）设向量组线性无关，试证明：向量组线性无关(难度系数0.30.4)证明 设2分即 (6分)因线性无关，所以，即 所以向量组线性无关8分得分九、（7分）如果是阶矩阵，且，试证.(难度系数0.40.6)证明：由于，则，的每一列向量均为方程的解（4分），所以；另一方面，则中
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