小学阶段奥数知识点总结(33大类).doc

32 小学阶段奥数知识点总结 小学阶段奥数知识点总结（共计33大类）一、年龄问题的三大特征2、 归一问题特点3、 植树问题总结4、 鸡兔同笼问题5、 盈亏问题6、 牛吃草问题7、 平均数问题8、 周期循环数9、 抽屉原理10、 定义新运算11、 数列求和12、 二进制及其应用13、 加法原理14、 质数与合数15、 约数与倍数16、 数的整除17、 余数及其应用18、 余数问题19、 分数与百分数的应用20、 分数大小的比较21、 完全平方数22、 比和比例23、 综合行程问题24、 工程问题25、 逻辑推理问题26、 几何面积27、 时钟问题快慢表问题28、 时钟问题钟面追及29、 浓度与配比30、 经济问题31、 简单方程32、 不定方程33、 循环小数1、 年龄问题的三大特征年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？ 父子年龄的差是多少？54 18 = 36（岁） 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？7 - 1 = 6 几年前儿子多少岁？366 = 6（岁） 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？18 6 = 12 (年)答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。2、 归一问题特点归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）分析：以一根钢轨的重量为单一量。（1）一根钢轨重多少千克？19004475（千克）。（2）95000千克能制造多少根钢轨？95000475200（根）。解：95000（19004）200（根）。答：可以制造200根钢轨。例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。（1）1头奶牛1天产奶多少千克？6305718（千克）。（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？188152160（千克）。解：（63057）815=2160（千克）。答：可产牛奶2160千克。例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？240032.5=320（千克）。（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？256003208=10（时）。综合列式为25600（240032.5）8=10（时）。例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？33647=12（吨）。（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？4201257（辆）。（3）需要增加多少辆卡车？7-43（辆）。综合列式为420（33647）5-43（辆）。与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？158120（时）。（2）12个人完成这项工程需要多少小时？1201210（时）。解：1581210（时）。答：12人需10时完成。例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？605=300（千米）。（2）4时到达，每小时需要行多少千米？300475（千米）。（3）每小时多行多少千米？756015（千米）。解：（605）46015（千米）。答：每小时需要多行15千米。例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？60804800（劳动日）。（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？4800-6020=3600（劳动日）。（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？3600（6030）=40（天）。解：（6080-6020）（6030）40（天）。答：再用40天可以完成。三、植树问题总结植树问题基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式：棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系1. 红领巾公园一条长200米的甬道两端各有一株桃树,现在两棵桃树之间等距离栽种了39株月季花,每两株月季花相隔 米.此题与题4类型相同,所求不同.已知全长200米,棵数39株,求间隔长.列式是:200(39+1)=20040=5(米)答:每两棵月季花相隔5米.2. 学校召开运动会前,在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗还需备 面彩旗?此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的一端要植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:棵数=全长间隔长全长=间隔长棵数间隔长=全长棵数只要知道其中两个,就可以求出第三个量.100米是全长,10米是间隔长,求棵树.列式是:10010=10(面)答:还需准备10面彩旗.3.在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插 面彩旗?此题也属于植树问题中植树线路不封闭的,并要求植树线路的两端都要植树.与题1类似,但又要求在线路的两旁,而不再是一侧.解法一:505+1=10+1=11(面)先求出一侧的,再求两旁.112=22(面)答:一共要插22面彩旗.解法二:把线路两旁转化成一侧.502=100(米),1005+1=20+1=21(面).在转化成一侧时,有两棵重叠了,所以还需加1.21+1=22(面)答:一共要插22面彩旗.4. 街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用树苗25棵,这条甬路长 米?此题与题7类型相同,所求不同.已知间隔长12米,棵数是25棵,求全长.列式是:1225=300(米)答:这条甬路长300米.5.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距 米.此题与题8类型相同,所求不同. 解法一:82棵是甬道两旁的,先求出一旁栽的棵数.822=41(棵),再求间隔长.200(41-1)=20040=5(米) 答:每两棵美人蕉相距5米. 解法二:可以把两旁转成一侧.2002=400(米),转化成一侧后两棵美人蕉重叠,所以共植82-1=81(棵),再求间隔长,400(81-1)=40080=5(米) 答:每两棵美人蕉相距5米.6. 有一条长1250米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵杨树,园林部门需运来 棵杨树苗?此题是植树问题中植树线路不是封闭的一种,并要求植树线路的两端都要植树.那么全长、棵数、间隔三量之间的关系是:棵数=全长间隔长+1全长=间隔长(棵数-1)间隔长=全长(棵数-1)只要知道其中两个,就可求出第三个量.1250是全长,25是间隔长求棵数,列式是:125025+1=50+1=51(棵).答:需运来51棵树苗.7. 在一条绿荫大道的一侧从头到尾每隔15米坚一根电线杆,共用电线杆86根,这条绿荫大道全长 米.此题与题1类型相同,所求不同.15是间隔长,86是棵数,求全长.列式是:15(86-1)=1585=1275(米)答: 这条绿荫大道全长1275米.8. 红领巾公园内一条林荫大道全长800米,在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距 米.已知全长800米,棵数是41个,求间隔长.列式是:800(41-1)=80040=20(米)答:每两个垃圾桶相距20米.9. 在一条长2500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线杆 根.此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的两端都不植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:棵数=全长间隔长-1全长=间隔长(棵数+1)间隔长=全长(棵数+1)只要知道其中两个,就可以求出第三个量.2500米是全长,50米是间隔长,求棵数.列式是:250050-1=50-1=49(根)答:共需电线杆是49根.10. 在一条公路上每隔16米架设一根电线杆,不算路的两端共用电线杆54根,这条公路全长 米.此题与题4类型相同,所求不同.已知间隔长16米,又知棵数54根,求全长.列式是:16(54+1)=1655=880(米)答:这条公路全长880米.11. 一个圆形养鱼池全长200米,现在水池周围种上杨树25棵,隔几米种一棵才能都种上?此题类型与题11相同,所求不同.已知全长200米,棵数25棵,求间隔长.列式是:20025=8(米)答:隔8米种一棵才能都种上.12. 明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?由顺口溜可知,植树线路是封闭的,所以棵数与间隔数相等.共栽桃树杏树30006=500(棵).由于“一株杏树一株桃”,所以桃、杏的棵数相等,都是5002=250(棵).答:桃树、杏树各250棵.13. 一个圆形池塘,它的周长是300米,每隔5米栽种一棵柳树,需要树苗多少株?此题是植树问题中植树线路是封闭的一种.在圆、正方形、长方形、闭全曲线等上面植树,因为首尾相接,两端重合在一起.所以全长、间隔长、棵数三量之间的关系是: 棵数=全长间隔长 全长=间隔长棵数 间隔长=全长棵数 只要知道其中两个,就能求出第三个量.已知全长300米,间隔长5米,求棵数.列式是:3005=60(株) 答:需要树苗60株.14.一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?此题与题11类型相同,所求不同.已知间隔长2米,又知棵数40棵,求全长.列式是:240=80(米)答:水池的周长是80米.四、鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设16只都是鸡，那么就应该有21632（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。解：有兔（44-216）（4-2）=6（只），有鸡16-610（只）。答：有6只兔，10只鸡。当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有41664（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了644420（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-22（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡（416-44）（4-2）=10（只），有兔16106（只）。由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 1、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300140160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312（个），因为160280，故小和尚有80人，大和尚有1008020（人）。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。2、 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了16套彩色文化用品，则共需1916304（元），比实际多30428024（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19118（元），所以买普通文化用品 248=3（套），买彩色文化用品 16313（套）。例2 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426（只），而180630，因此有兔子30只，鸡1003070（只）。解：有兔（210020）（24）30（只），有鸡10030=70（只）。答：有鸡70只，兔30只。1、 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（450-20）（42）30（个），大瓶有50-3020（个）。答：有大瓶20个，小瓶30个。2、 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下436=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144916（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：436（45-36）45720（吨）。答：这批钢材有720吨。例3 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶4.51.53（只）。解：（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。答：共打破3只花瓶。1、 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12（23）60（下）。可求出小乐每分钟跳（78060）（233）90（下），小乐一共跳了903=270（下），因此小喜比小乐共多跳7802702240（下）。五、盈亏问题盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。（1） 幼儿园老师给每个小朋友分饼干，每个小朋友5块饼干，就多22快；每个小朋友分7块饼干，就少18块。问：有几个小朋友和多少块饼干？本类题是两次分配方案中一盈一亏的盈亏问题,解题的基本方法是:份数=（盈+亏）两次分配差；由题意可知:小朋友的人数和饼干的块数是不变的,按第一种方案,分配多22块,而按第二种方案分配就少18块,两种子选手不同的方案的结果相差22+18=40(块),为什么会多分出40块呢?是因为两种方案,每人相差7-5=2(块),每人相差2块,多少人相差40块呢?402=20(人)就是小朋友的人数.再根据关系式(2)可以求出饼干的总数量.解:(22+18)(7-5)=20(人)205+22=122(块)或207-18=122(块)（2） 四（1）班同学植树，每人植12棵，刚好植完，每人植14棵差8棵。有多少个同学？多少棵树苗？8（14-12）=4（人） 124=48（棵）(3) 雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬18块，还剩2块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？（20+2）(20-18)=11 (11-1)*20=200（二）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）（两次分配数的差）=份数。（4）四（1）班将一批练习本奖给三好学生。如果每人奖5本，则缺9本，如果每人奖3本，则缺1本。这个班有三好学生多少人？练习本有多少本？本类题是两次分配分配中都亏的盈亏问题,解题的基本方法是:份数=（大亏-小亏）两次分配差；由题意可知,三好学生人数和练习本数是不变的.比较两种分配方案,结果相差9-1=8(本),这是因为两次分配方案每人得到的练习本相差5-3=2(本).所以三好学生人数为:82=4(人),练习本有:54-9=11(本) 解:(9-1)(5-3)=82=4(人)54-9=11(本)或34-9=1=11(本)（三）两次都不够（亏），可用公式： （大亏-小亏）（两次每人分配数的差）=人数。（5） 某班为男生分配宿舍，如果每间住6人，则多8人；如果每间住8人，恰好合适。问：有几间宿舍，男生有几人？本类题是两次分配方案中一种盈,一种正好分完的盈亏问题,解题的基本方法是份数=盈两次分配差；由题意可知:宿舍的间数和男生人数不变.按第一种分配方案分配多出8人,而按第二种分配方案的结果相差8人,每间房增加的人数为8-6=2(人).因此,可以先求出房间数,再求出男生人数.解:8（8-6)=84=2(人)64+8=32(人)或84=32(人)（6） 兄弟两人每月收入之比为4：3，支出钱数之比为18：13，他们每月都结余元，求兄弟两人月收入分别为多少？分析与解：设兄弟两人支出钱数分别为兄弟两人月收入分别为3600元、2700元。(7)某工厂生产一种产品，只要成本下降 ， 利润率就会提高8个百分点，求原利润率。分析与解：前后售价没变，设一开始利润率为x，则之后利润率变成,原成本100元，现成本93.6元。原利润率为百分之十七。六、牛吃草问题牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量1、 牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。可供25头牛吃几天？草速：（10201510）(2010)=5原有草：（105）20=100天数：100（255）=52、 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？草速：（239276）(96)=15原有草：（2715）6=72天数：72（2115）=123、一片牧场可供24头牛吃6周，20头牛吃10周，这片牧场可供18头牛吃几周？草速：（2010246）(106)=14原有草：（2414）6=60天数：60（1814）=154、 有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？水速：（336520）(3620)=0.5原有水：（30.5）36=90架数：90120.5=85、 有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时；如用8台抽水机需抽12小时。那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？水速：（812108）(128)=4原有水：（104）8=48时间：48（64）=246、 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。现有牛若干头在吃草，6天后，杀了4头牛，余下的牛吃了2天将草吃完。问原来有牛多少头？草速：（17301924）(3024)=9原有草：（179）30=240头数：2409(62)4（62）=377、 有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供牛22头吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公亩草量相同且都是匀速生长）8、 有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？9、 禁毒图片展8点开门，但很早便有人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。第一个观众到达时距离8点还有多少分钟？七、平均数问题平均数基本公式：平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式八、周期循环数周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平 年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；九、抽屉原理抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时。k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：X表示不超过X的最大整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。小升初奥数知识点（定义新运算）定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。小升初奥数知识点（数列求和）数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an = a1+（n1）d；通项首项（项数一1) 公差；数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式：n= (an+ a1)d1；项数=（末项-首项）公差1；公差公式：d =（ana1）（n1）；公差=（末项首项）（项数1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；小升初奥数知识点（二进制及其应用）二进制及其应用十进制：用09十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=；N=N（其中N是任意自然数）二进制：用01两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An不是0就是1。十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。小升初奥数知识点（加法原理）加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1m2. mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+（点数一1）；数角规律=1+2+3+（射线数一1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数小升初奥数知识点（质数与合数）质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N= ，其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数，且a1a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。小升初奥数知识点（约数与倍数）约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么12和18最小的公倍数是36，记作12，18=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法小升初奥数知识点（数的整除）数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。小升初奥数知识点（余数及其应用）余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0rb,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数小升初奥数知识点（余数问题）余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：自身性：aa(mod m)；对称性：若ab(mod m)，则ba(mod m)；传递性：若ab(mod m)，bc(mod m)，则a c(mod m)；和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，则a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，则ac bd(mod m)；乘方性：若ab(mod m)，则anbn(mod m)；同倍性:若a b(mod m)，整数c，则ac bc(mod mc)；三、关于乘方的预备知识：若A=ab，则MA=Mab=（Ma）b若B=c+d则MB=Mc+d=McMd四、被3、9、11除后的余数特征：一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则Mn(mod 9)或（mod 3）；一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则MY-X或M11-（X-Y）(mod 11)；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-11(mod p)。小升初奥数知识点（分数与百分数的应用）分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况小升初奥数知识点（分数大小的比较）分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。小升初奥数知识点（完全平方数）完全平方数完全平方数特征：1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以3余0或余1；反之不成立。3.