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函数思想在解题中的应用江苏省兴化市茅山中学 金春林函数思想是一种重要的数学思想方法。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。另外，根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也渗透到中学数学中。下面我们举例说明函数思想在解题中的应用。例1. 方程 x2 ( 2 a )x + ( 5 a ) = 0 的两个根都大于2 ，求实数a的取值范围。略解：设f (x ) = x2 ( 2 a )x + ( 5 a ) ，则方程的两根都大于2的充要条件是 解之得 5 m ( x2 1 ) 对满足| m |2 的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。略解：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度,设m为主元，记f ( m ) = m( x2 1 ) ( 2x 1 ) , 则问题转化为一次函数（常数函数）f (m)的值在区间 2 ，2 内恒为负时系数x应满足的条件。 解不等式组 即 可轻松地求得x的取值范围是区间 例5 求自然数a的最值，使不等式 对一切自然数n都成立。略解：令 对任意的n N f ( n ) 在N 上是增函数。 又 f ( 1 ) = ，对一切自然数n ，f ( n ) 2a 5 都成立的充要条件是 2a 5 所以 a ，故所求自然数a的最大值是3 。例6 设a , b R，求证 ： 略证：根据不等式两边“同形”，可构造函数 f ( x ) = 0 | a +b | | a | + | b | 只需证明f ( x )当 x 0 时是增函数设 0 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) = f (x) 是 0 , +上的增函数。 从而当 ab 0 时 ， 0 | a + b | = | a | + | b | , 得 当 ab 0 时 ， 0 | a + b | | a | + | b | , 得 综上可知 ， a , b R 有 从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思想的应用想当广泛，但这些方面都涉及到最基础知识，只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学
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