25-3.1回归分析的基本思想及其初步应用.doc

3.1回归分析的基本思想及其应用教材分析本节内容是数学选修2-3 第三章 统计案例 的起始课，是在数学（必修）之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容教师用书共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.本节课的重点是回归分析的基本方法、随机误差的认识、残差，难点是回归分析的基本方法.课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果.教学目标重点: 回归分析的基本方法、随机误差的认识、残差.难点：回归分析的基本方法.知识点：回归分析的基本方法、随机误差、残差.能力点：如何探寻回归分析的基本方法，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用最小二乘法求回归直线方程.考试点：求解线性回归方程，从残差的角度讨论回归模型的拟合效果.易错易混点：随机误差与残差之间的区别与联系.拓展点：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤.教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、引入新课对于一组具有线性相关关系的数据其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为： 称为样本点的中心.如何推导这两个计算公式？【设计意图】由学生所熟悉的最小二乘法引入新课，消除了学生对新知的恐惧感，引出最小二乘法的中的系数的计算公式的推导过程.二、探究新知从已经学过的知识，截距和斜率分别是使取最小值时的值，由于因为所以在上式中，后两项和无关，而前两项为非负数，因此要使Q取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，既有 通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出.所以： 这正是我们所要推导的公式.三、理解新知准确理解最小二乘法中系数的计算公式，以及回归方程的求解过程.【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1、 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如图所示：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359(1) 画出以身高为自变量x,体重为因变量y的散点图;(2) 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程;(3) 求预报一名身高为172cm的女大学生的体重.解：（1）由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量,体重为因变量作散点图:（2）(3)对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报体重为：是斜率的估计值，说明身高每增加1个单位时，体重就增加0.849 个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系如何描述它们之间线性相关关系的强弱？【设计意图】通过具体例子让学生感受回归分析思想的应用.最后的问题为接下来引入残差做了铺垫.在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法本相关系数的具体计算公式为当0时，表明两个变量正相关；当0时，表明两个变量负相关的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常，当的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系在本例中，可以计算出 =0. 798这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的显然，身高172cm 的女大学生的体重不一定是60. 316 kg，但一般可以认为她的体重接近于60 . 316 kg .图3 . 1- 2 中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示： , ( 3 ) 这里和为模型的未知参数，是与之间的误差通常为随机变量，称为随机误差，它的均值 E (）=0，方差D（）=0 这样线性回归模型的完整表达式为： (4)在线性回归模型（4）中，随机误差的方差越小，通过回归直线 (5)预报真实值的精度越高随机误差是引起预报值与真实值之间的误差的原因之一，大小取决于随机误差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中 和为截距和斜率的估计值，它们与真实值和之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值之间误差的另一个原因【设计意图】引入随机误差后，将回归方程推广到回归模型.思考:产生随机误差项的原因是什么?一个人的体重值除了受身高的影响外，还受许多其他因素的影响例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 的原因因为随机误差是随机变量，所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差来衡量随机误差的大小为了衡量预报的精度，需要估计护的值一个自然的想法是通过样本方差来估计总体方差如何得到随机变量的样本呢？由于模型（3）或（4）中的隐含在预报变量中，我们无法精确地把它从中分离出来，因此也就无法得到随机变量的样本解决问题的途径是通过样本的估计值来估计根据截距和斜率的估计公式（1）和（2 ) , 可以建立回归方程,因此是（5）中的估计量由于随机误差，所以是的估计量对于样本点（) , () ， ()而言，相应于它们的随机误差为,其估计值为,称为相应于点的残差（residual )类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作为的估计量， 其中和由公式（1) (2）给出，Q（ ,）称为残差平方和（residual sum of squares )可以用衡量回归方程的预报精度通常，越小，预报精度越高在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据然后，可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据这方面的分析工作称为残差分析【设计意图】引入残差的概念，使学生会运用残差分析的思想分析模型的拟合效果.表3- 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图【设计意图】通过例1的具体数据让学生感受残差分析的应用.【变式练习】观察两相关变量得如下数据：-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-115379求两个变量的回归方程.解：所以所求回归直线方程为【设计意图】让学生自己动手解决求回归方程的问题，加深对回归分析思想的印象.五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1回归直线方程，随机误差及残差2思想：回归分析的思想、数形结合的思想、残差分析的思想教师总结: 公式的证明过程用到了前面两章学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”在应用中增强对知识(如本节的随机误差和残差)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”六、布置作业 1阅读教材P8084；2书面作业 P89 习题3.1 1.（1）、（2）、（4）. 3课外思考：如何运用回归分析的思想对未知量进行预报轨迹呢？【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用回归分析的思想，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解回归分析的思想，从而让学生深刻地体会随机误差，残差分析的思