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加试模拟训练题（41）1、 设H是锐角ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，P、Q为二切点求证：P、H、Q三点共线2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：(1)f(xf(y)f(y)f(xy)；(2)f(2)0；(3)f(x)0，当0x23、 集合A0，1，2，3，4，5，6，7，满足下列条件(1)、(2)的A到A上的映射f有几个？(1)i，jA，ij则f(i)f(j)；(2)i，jA，ij7，则 f(i)f(j)74、 求所有的正整数n、m，满足加试模拟训练题（41）1、 设H是锐角ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，P、Q为二切点求证：P、H、Q三点共线【题说】 1996年中国数学奥林匹克(第11届数学冬令营)题1【证】 设BC中点为O，连结AO，PQ，交于G，则AOPQ在RtAQO中，由射影定理有AQ2AGAO (1)作ADBC于D，则H在AD上连结BH，延交AC于E，则BEAC，且E在圆周上而有H、D、C、E共圆，从而AHADAEACAQ2 (2)由(1)、(2)，得AHADAGAO因此H、D、O、G共圆从而HGO180HDO90，即H在PQ上【另证】 设BC中点为O，AD、BE为高，则AD、BE都过H，并且E在以BC为直径的圆上，O是这圆的圆心因为ADCHEC9090180，所以E、C、D、H四点共圆，AHADAEAC又AQ是O切线，所以AEACAQ2因为AHADAQ2，所以AHQAQD，AHQAQD同理，AHPAPD因为P、D、Q都在以OA为直径的圆上，所以AQDAPD180从而AHQAHP180，即P、H、Q三点共线 2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：(1)f(xf(y)f(y)f(xy)；(2)f(2)0；(3)f(x)0，当0x2【题说】第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题5本题由英国提供解：如果2，那么在(1)中取y2，x2，就得f()f(2)f(2)f(2)0因为x0，在(1)中令0y2，则这样一来，当0y2，x0时，有综合上述，所求的f是不难验证这一函数满足题中条件3、 集合A0，1，2，3，4，5，6，7，满足下列条件(1)、(2)的A到A上的映射f有几个？(1)i，jA，ij则f(i)f(j)；(2)i，jA，ij7，则 f(i)f(j)7【题说】 1994年日本数学奥林匹克预选赛题8【解】 记A00，7，A11，6，A22，5，A33，4由条件(2)可知Ai中元素的像必在同一个Aj由(1)，不同的Ai，相应的Aj不同于是i与j(1i，j4)的有序对有4！种配法，而各个Aj中的元素作为像可以互换，因而有24种故所要求的映射共有424384(种)4、 求所有的正整数n、m，满足解 原方程等价于显然
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