探究归纳题(含答案).doc

探究类比归纳27. （2011年青海，27,10分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图11-1，在ABC中，O是ABC与ACB的平分线BO和CO的交点，BOC与A的关系为 探究2：如图11-2中,O是ABC与外角ACD的平分线BO和CO的交点，试分析BOC与A有怎样的关系？请说明理由.探究3：如图11-3中，O是外角DBC与外角ECB的平分线BO和CO的交点，则BOC与A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： .25（2011四川乐山）如图（1）,在直角ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.(1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:(2) 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明(3) 如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)27（2011盐城）（本题满分12分）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示观察图2可知：与BC相等的线段是 ，CAC= 图1 图2问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3图4拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.25（11南平）（12分）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将ABE沿AE折叠后得到AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由ABEFGCD（11辽阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PEEB，连接PD，O为AC中点（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由ABCDOABCDPEOABCDPEO25、（2011临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值（2011湖北黄石）已知与相交于、两点，点在上，为上一点（不与，重合），直线与交于另一点。（1）如图（8），若是的直径，求证：；（2）如图(9)，若是外一点，求证：；（3）如图（10），若是内一点，判断（2）中的结论是否成立（四川乐山）25. （1）图甲：连接DE，AC=mBC，CDAB，当m=1，n=1时AD=BD，ACD=45，CD=AD=AB，AE=nEC，DE=AE=EC=AC，EDC=45，DEAC，A=45，A=EDG，EFBE，AEF+FED=EFD+DEG=90，AEF=DEG，AEFDEG（ASA），EF=EG（2）解：EF=EG证明：作EMAB于点M，ENCD于点N，EMCD，AEMACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，ACB=90，CDAB，tanA=，又EMAB，ENCD，EMF=ENG=90，EFBE，FEM=GEN，EFMEGN，即EF=EG；（3）EF=EG（2011江苏盐城）27.解：情境观察AD（或AD），90 问题探究结论：EP=FQ. 证明：ABE是等腰三角形，AB=AE，BAE=90.BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.EPAG，AGB=EPA=90，RtABGRtEAP. AG=EP.同理AG=FQ. EP=FQ. 拓展延伸结论： HE=HF. 理由：过点E作EPGA，FQGA，垂足分别为P、Q.四边形ABME是矩形，BAE=90，BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.AGB=EPA=90，ABGEAP， = . 同理ACGFAQ， = . AB= k AE，AC= k AF， = = k， = . EP=FQ. EHP=FHQ，RtEPHRtFQH. HE=HF （2011福建南平）（1）连接FC，ABEFGCD1234由折叠知：BEEF AFEB90EFGC90E是BC的中点，BECE CEEF12EFGC34FGCGCEDFBAG1234（2）连接CF，由折叠知：BEEF AFEBE是BC的中点，BECE CEEF12又AFEEFG180 BECG180EFGECG34FGCGABCDPEO125432011辽宁阜新（1）PEPD且PEPD2分（2）成立3分理由：四边形ABCD是正方形BCDC，BCPDCP45，BCD90又PCPCBCPDCPPBPD，12又PEPBPEPD，135分ABCDOPE23BCD90DCE90DPE18025DCE18034又45DPEDCE90即PEPD9分（3）仍然成立10分作图如图12分2011山东临沂（1）证明：GEB+BEF=90，DEF+BEF=90，DEF=GEB，又ED=BE，RtFEDRtGEB，EF=EG；（2）成立证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，HEI=90，GEH+HEF=90，IEF+HEF=90，IEF=GEH，RtFEIRtGEH，EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则MEN=90，EMAB，ENADCENCAD，CEMCAB，NEAD=CECA，EMAB=CECA，NEAD=EMAB，即ENEM=ADAB=ba，IEF+FEM=GEM+FEM=90，GEM=FEN，GME=FNE=90，GMEFNE，EFEG=ENEM，EFEG=ba点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质此题综合性较强，注意数形结合思想的应用（2011湖北黄石）证明：（1）如图（一），连接，为的直径 为的直径 在上又，为的中点是以为底边的等腰三角形（3分）（2）如图（二），连接，并延长交与点，连四边形内接于 又 又为的直径 （3分）（3）如图（三），连接，并延长交与点，连 又 又（3分）9解：（1）把x0代入y ( x1)23，得y 点A的坐标为（0，）BC为对称轴，B（1，3），OC1图1ABOCxyDEPQMN（2）如图1，过点D分别作DMx轴于M，DNPQ于NPQBC，DMQDNQMDN90四边形MDNQ为矩形CDEMDN90，CDMEDN又DCDE，RtDCMRtDENDMDN，四边形MDNQ为正方形DQC45，BCQ为等腰直角三角形CQBC3，OQ4，Q（4，0）设直线BQ的函数解析式ykxb，把B（1，3），Q（4，0）代入求得k1，b4线BQ的函数解析式yx4当点P在对称轴的右侧时，如图2，过点D分别作DMx轴于M，DNPQ于N图2ABOCxyDEPQMN设Q（m，0）CDMMDEEDNMDE90CDMEDN，RtCDMRtEDN DNMQ， DMBC， ， 当DCE30时， m1 ，代入抛物线的解析式，得y P1（1 ，）当DCE60时， m13，代入抛物线的解析式，得y P2（13 ， ）当点P在对称轴的左侧时，由对称性知P3（1 ，），P4（13， ）综上所述，满足条件的点P的坐标为：P1（1 ，），P2（13 ， ），P3（1 ，），P4（13， ）4在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CECF；（2）若ABC90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数（3）若ABC120，FGCE，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG的度数图3ADBCEFG图2ABCFDEG图1ABCFDE4（1）证明：如图1图1ABCFDEAF平分BAD，BAFDAF四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCDDAFCEF，BAFFCEFFCECF 2分（2）BDG45 3分（3）解：分别连结GB、GE、GC（如图3）ABDC，ABC120，ECFABC120图3ADBCEFG123FGCE且FGCE，四边形CEGF是平行四边形由（1）得CECF，CEGF是菱形EGEC，GCEGCF ECF60ECG是等边三角形EGCG GECEGC60，GECGCFBEGDCG 由ADBC及AF平分BAD可得BAEAEB，ABBE在ABCD中，ABDCBEDC 由得BEGDCG，BGDG，12BGD1323EGC60BDG是等边三角形BDG60 7分10矩形纸片ABCD中，AD12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，DP AD，CQ BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，DP AD，CQ BC，点D的对应点F在PQ上直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；当n越来越大时，AE的长越来越接近于_图2CAFBDEPQ图1CAFBDEPQ图3CAFBDEPQ10解：（1）P，Q分别是矩形ABCD中AD，BC的中点图1CAFBDEPQAP AD AF，APF90，AFP30PFAP AD 126 （cm）DAF60，DAE30AE 8 （cm）（2）DP AD4（cm），AP AD8（cm）图2CAFBDEPQGFP 4 （cm）DEEF，AEDAEF，AEDFGEFGEFEG，GFEFDE 设DEx，则GFxAPGADE， ，PG x xx4 ，x AE （3）AE12 1212如图，将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，此时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”是一个_三角形；（2）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？CAEDFO(B)xy图CADO(B)xy图CAEDO(B)xy图20在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，如图1（1）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转90，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转180，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明CABDEGF图2CABDEGF图4CABDEGF图3CABDEF图120解：（1）EGCG，EGCG 2分（2）EGCG，EGCG 4分CABDEGF图2H证明：如图3，延长FE交DC延长线于H，连接GHAEH90，EBC90，BCH90四边形BEHC是矩形，BECH，EHC90又BEEF，EFCHEHC90，FGDG，HG DFFGBCEH，BCCD，EHCDEFCH，FHDH，F45CABDEGF图3H又FGDG，CHG EHC45FCHG，EFGCHGEGCG，EGFCGH 6分FHC90，FHDH，FGDG，HGDFEGFEGH90CGHEGH90，即EGC90EGCG 8分（3）EGCG，EGCG 9分证明：如图4，延长CG至H，使GHCG，连接HF、HE、ECGFGD，HGFCGD，GHGC，HFGCDGCABDEGF图4HHFCD，GHFGCD，HFCD正方形ABCD，HFBC，HFBCBEF是等腰直角三角形，EFBE，EFBEHFECBE，HFECBEEHEC，FEHBEC，HECBEF90ECH为等腰直角三角形又GHGCEGCG，EGCG 12分24在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角DOC，将DOC绕点O按逆时针方向旋转得到DOC（0旋转角90），连接AC、BD，AC 与BD 相交于点M（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC 与BD 的数量关系以及AMB与的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知ACkBD，请猜想此时AC 与BD 的数量关系以及AMB与的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，ADBC，此时（1）AC 与BD 的数量关系是否成立？AMB与的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论MBCAODCD图2MBCAODCD图3MBCAODCD图124解：（1）ACBD ，AMB 2分证明：在矩形ABCD中，ACBD，OAOC AC，OBOD BDMBCAODCD图1OAOCOBOD又ODOD，OCOC，OBODOAOCDODCOC，180DOD180COCBODAOC，BODAOCBDAC，OBDOAC设BD 与OA相交于点N，BNOANM180OACANM180OBDBNO即AMBAOBCOD综上所述，ACBD ，AMB 5分（2）ACkBD ，AMB 7分证明：在平行四边形ABCD中，OBOD，OAOC又ODOD，OCOC，OB : OAOD : OCMBCAODCD图2DODCOC，180DOD180COCBODAOC，BODAOCBD : ACOB : OABD : ACACkBD，ACkBDBODAOC，OBDOAC设BD 与OA相交于点N，BNOANM180OACANM180OBDBNO即AMBAOB综上所述，ACkBD ，AMB 10分（3）ACBD 成立，AMB不成立 12分25如图l，己知正方形ABCD，点E、F分别在边AB、AD上，且AEAF（1）如图2，将AEF绕点A顺时针旋转，当090时，连接BE、DF，判断线段BE、DF的数量关系和位置关系，并加以证明；（2）如图3，将AEF绕点A顺时针旋转，当90时，连接BE、DF，当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE？请说明理由；（3）如图4，将AEF绕点A顺时针旋转，当90180时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请说明理由BDACEF图3BDACEF图2BDACEF图1BDACEF图4BDACEF图2HG25（1）BEDF，BEDF证明：在ABE和ADF中ABAD，BAEDAF90BAF，AEAFABEADFBEDF，ABEADF延长DF交AB、BE于点G、H，如图2ADFDGA90，BGHDGAABEBGH90，BHG90BDACE图3即BEDF（2）当AE( 1)AD时，直线DF垂直平分BE理由如下：直线DF垂直平分BE，EFBFAEF是等腰直角三角形，AEAF，EF AEAE AEABADAE( 1)AD（3）正方形理由如下：连接BE、DF，设DF与AB交于点G证明：在ABE和ADF中ABAD，BAEDAF90BAF，AEAFBDACEF图4PQRSGABEADFBEDF，ABEADFADFDGA90，BGFDGAABEBGF90，BEDF在BDE中DPPB，DQQE，PQBE，PQ BE同理，RSBE，RS BE，PSDF，PS DF，QRDF，QR DFBEDF，BEDF，PQQRRSPS，PQQR四边形PQRS是正方形37在矩形ABCD中，点P在AD上，AB2，AP1将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；AEBDFCP图1ABDCP图2(F)(E)（2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：tanPEF的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长37解：（1）在矩形ABCD中，AD90，AP1，CDAB2PB，ABPAPB90又BPC90，APBDPC90DPCAPB，DCPAPB ，即 PC2 5分（2）tanPEF的值不变6分AEBDFCP图1G理由：过F作FGAD，垂足为G，如图1则四边形ABFG是矩形APGF90，GFAB2AEPAPE90又EPF90，APEGPF90GPFAEP，GFPAPE 2在RtEPF中，tanPEF 2tanPEF的值不变 10分（3）线段EF的中点经过的路线长为 14分解答过程如下（本人添加，仅供参考）设线段EF的中点为M，作MHBF于H，如图2设BHx，MHy，则BF2x，BE2y，AE22yAEBDFCP图2HMG由GFPAPE得： 即 ，PG2AE，AG12AE54y又AGBF，54y2xy x 可见线段EF的中点的运动路线是一条线段，如图3M点的起始位置是BC的中点M1，终点位置是AF的中点M2ABDCP图3FEM1M2M1M2是BPC的中位线tanPBC 2，PB，PC2M1M2即线段EF的中点经过的路线长为 38已知菱形ABCD的边长为1，ADC60，等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为点P猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断 是否为定值若是，请求出该定值；若不是，请说明理由图3AEBDFCPNM图2AEBDFCP图1AEBDFCO38（1）证明：如图1，分别连接OE、OF图1AEBDFCO四边形ABCD是菱形ACBD，BD平分ADC，ADDCBCCODCOBAOD90ADO ADC 6030又E、F分别为DC、CB中点OE CD，OF BC，AO AD 3分OE OF OA，点O即为AEF的外心 4分（2）猜想：外心P一定落在直线DB上 5分图2AEBDFCPIJ证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于JPIEPJD90，ADC60IPJ360PIEPJDJDI120 6分点P是等边AEF的外心，EPA120，PEPA 7分IPJEPA，IPEJPAPIEPJA，PIPJ图3AEBDFCPNMG点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上 8分 为定值2 9分当AEDC时AEF面积最小此时点E、F分别为DC、CB中点 10分连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心解法一：如图3，设MN交BC于点G设DMx，DNy（x0y0），则CNy1BCDA，GBPMDP，BGDMxCG1x 11分BCDA，NCGNDM 12分 ， xy2xy 13分图4AEBDFCPNM 2，即 2 14分解法二：如图4，连接PE，P、E分别为AC、DC的中点PE DA ，PEDA 11分NEPNDM， 12分设DMx，DNy，则NEy 13分xy x y 2，即 2 14分图5AEBDFCPNMIJ解法三：如图5，过点P作PIDC于I，PJDA于J，则PIPJ SDNP SDMP SDMN 11分 DNPI DMPJ DMDNsin60 12分 DN DM DMDNDN DM2DMDN 13分 2 14分解法四：如图6，以点D为坐标一定，DA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系图6AEBDFCPNMxy设直线MN的解析式为ykxb可求得点P的坐标为（，）， kb b k直线MN的解析式为ykx k 11分求得直线DN的解析式为yx令ykx k0，则x ，即DM 13分 2 14分49已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PEPD（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）ABPDCE图2ABPDC图3ABPDCE图149解：（1）PEPB，PEPB 2分（2）（1）中的结论成立ABPDCEMFN四边形ABCD是正方形，AC为对角线CDCB，ACDACB 3分又PCPC，PDCPBC 4分PDPB 5分PEPD，PEPB 6分法一：由，得PDCPBCPDCPBC 7分又PEPD，PDEPED 8分PDEPDCPECPBC180EPB360(PECPBCDCB)90 9分PEPB 10分法二：作PMBC交CD的延长线于点M，作PNDC交CB的延长线于点N则四边形PMCN为平行四边形又MCN90，四边形PMCN为矩形MCANCA45，四边形PMCN为正方形PMPN，MPN90 8分又由，得PEPBRtPEMRtPBN 9分EPMBPNEPBEPMMPBBPNMPBMPN90PEPB 10分法三：作PMDC交CD的延长线于点M，作PNBC交CB的延长线于点NMCN90，四边形PMCN为矩形又MCANCA45，四边形PMCN为正方形PMPN，MPN90 8分又由，得PEPBRtPEMRtPBN 9分EPMBPNEPBEPMMPBBPNMPBMPN90PEPB 10分法四：作PMDC交CD的延长线于点M，延长BA交PM于点F，易得四边形FMCB为矩形，BFM90MPBPBF90PEPD，ADMP，EPMDPMPDA由，得PDAPBA，PBFPDAEPMEPBEPMMPBPBFMPB90PEPB 10分法五：作PMDC交CD的延长线于点M，则PMBCMPBPBC180ABC90，MPBPBA90PEPD，ADPM，EPMDPMPDAABEDCP由，得PDAPBA，PBAPDAEPMEPBEPMMPBPBAMPB90PEPB 10分（3）正确画出图形 12分结论：PEPB，PEPB 14分50已知菱形ABCD的边长为5，DAB60将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，设EAB，且090，连接DG、BE、CE、CF（1）如图1，求证：AGDAEB；（2）当60时，在图2中画出图形并求出线段CF的长；（3）若CEF90，在图3中画出图形并求出CEF的面积ABDC图3ABDC图2ABFDCE图1ABFDCE图1G50解：（1）菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFGAGAEABAD，GADEABADGABE 3分（2）解法一：如图2，当60时，AE与AD重合 4分作DHCF于H由已知可得CDF120，DFDC5CDH CDF60，CH CF在RtCDH中，CHDCsin605 6分CF2CH5 7分解法二：如图2，当60时，AE与AD重合 4分ABFDCO图2G(E)H连结AF、AC、BD，AC与BD交于点O由题意，知AFAC，FAC60ACF是等边三角形，CFAC由已知，DAO BAD30，ACBDAOADcos30 6分AC2AO5 CF5 7分（3）如图3，当CEF90时，延长CE交AG于点M，连接AC 8分ABFDCE图3GM四边形AEFG是菱形，EFAGGMECEF90AME90 9分在RtAME中，AE5，MAE60AMAEcos60 ，EMAEsin60 在RtAMC中，易求AC5 MC ECMCME ( ) 11分SCEF ECEF ( ) 12分52探究问题：（1）方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF45，连接EF，求证DEBF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90ABGABF9090180因此，点G，B，F在同一条直线上EAF45，23BADEAF90454512，1345即GAF_又AGAE，AFAF，GAF_EF，故DEBFEF（2）方法迁移：如图，将RtABC沿斜边AC翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABAD，E，F分别为DC，BC上的点，满足EAF DAB，试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DEBFEF请直接写出你的猜想（不必说明理由）CFBADE图CFBADE图CFBGADE123图52解：（1）FAE EAF GF 3分（每空1分）（2）DEBFEF 4分CFBADE图G证明：将ADE绕点A顺时针旋转至AD与AB重合则BAGDAE，AGAE，ABGD90ABGABF180点G、B、F在同一直线上 5分GABBAFDAEBAF BADFAEGAFEAF 6分在AGF和AEF中AGAE，GAFEAF，AFAFAGFAEF 7分GFEF，GBBFEFDEBFEF 8分（2）BD180（填BD90给1分）10分55（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数；（2）如图，在RtABD中，EAF90，ABAD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG4，GF6，BM3 ，求AG，MN的长CFBADEG图HBADMN图HBADMN图55解：（1）在RtABE和RtAGE中，ABAG，AEAEABEAGE，BAEGAE 1分同理，GAFDAFEAF BAD45 2分（2）MN 2ND 2DH 2 3分理由如下：CFBADEG图MNBAD90，MAN45，BAMDAN45BAMDAH，HANDAHDAN45HANMAN又AMAH，ANAN，AMNAHNMNHN 5分BAD90，ABAD，ABDADB45HDNHDAADB90HN 2ND 2DH 2MN 2ND 2DH 2 6分（3）由（1）知，BEEG，DFFG设AGx，则CEx4，CFx6CE 2CF 2EF 2，( x4)2( x6)2(46)2解得x112，x22（舍去）AG12 8分BD 12 在（2）中，MN 2ND 2DH 2，DHBMMN 2ND 2BM 2 9分设MNa，则a 2(12 3 a )2(3 )2解得a5 ，即MN5 10分71如图，将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，GH与DC交于点M，连接BG与EF交于点NABEFCCDMCGCHCNK（1）求证：BGEF；DGM的周长为定值；（2）当四边形AEFD的面积最大时，求AG的长71（1）证明：过F作FKAB于K，由题意知BGEF于NGBAEFK又ABKF，AEKF90，ABGKFEBGEF 2分ABEFCCDMCGCHCNK设AGx，在RtAEG中，AE 2AG 2GE 2AE 2x 2( aAE )2，得AE MGE