学年论文-变量代换法的意义.doc

14数学科学学院本科学年论文 变量代换法的意义本 科 学 年 论 文论文题目： 变量代换法的意义 院 系： 数学科学学院 专 业： 信息与计算科学 学 号： 姓 名： 指导教师： 撰写学年： 2010至2011 学年 二零 一零 年十二 月变量代换法的意义内容摘要 本文就数学中的变量代换法进行讨论，在解不等式、解三角题、求极限和微积分计算中例举用不同的变量代换，使运算化简。关键词：变量代换 不等式 极限 积分目录一、用变量代换法解决不等式证明的意义3 （一）三角代换法.3 （二）增量代换法.4二、变量代换发在解三角题中的意义.5 （一）整体设元代换.5 （二）辅助式设元代换.6（三）构造数学模型设元代换.7（四）将次设元代换.7三、倒数代换法在极限计算中的意义.8四、变量代换法在积分计算中的意义.9 （一）变量代换法在不定积分计算中的意义.9 1.第一换元法.9 2、第二换元法.9（二）变量代换法在定积分计算中的意义.10（三）变量代换法在无穷积分计算中的意义.11（四）变量代换法在二重积分中的意义.11参考文献.14序言变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一,属于数学变换方法的一种,就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换,使之转化。即通过变换问题中函数的自变量或因变量,化繁为简,化难为易,将未解决的问题转化成已解决的问题。这种方法在求极限、积分计算、不等式证明以及解三角题中用的很多,几乎贯穿了高等数学的全部内容,具有灵活性和多样性的特点。一、用变量代换法解决不等式证明的意义 在证明不等式的过程中使用变量代换法不仅能使证明简化，而且比较容易找到证明思路。下面采用例举法利用常用的两种代换：三角代换法和增量代换法来说明变量代换法的意义。（一）三角代换法 有些量采用三角函数代换后，可以充分利用三角函数间的特有关系（相等或不相等），把一个较难的问题简单化或一般化，使不等式得到证明。例1 已知，求证：证明：因，故均为正数，又，故设 代入原不等式即有：.这是一个显然成立的不等式，从而不等式得证。例2 设a、b，求证：证明：设，则可令： 则原不等式等价于：，整理得 即 这是一个显然成立的不等式，从而不等式得证。例3 对于任何数a、b，证明不等式：成立 证明：当a、b均为零时，不等式显然成立当时，设，令 则原不等式化为化简，整理 得 等价于 亦等价于这显然是一个成立的不等式，从而不等式得证。通过以上例题可以看出看似复杂无从下手的不等式证明题，利用三角代换巧妙地将问题转换为特殊的三角关系，从而使问题较为容易地得到解决。（二）增量代换法在不等式中，若知ab，则令a=b+（其中0称之为增量），将不等式转化为相等关系，巧做变换，即可进行论证，这种方法称之为“增量法”。这种方法特别对于对称不等式的证明显出奇特的作用。例4 设x、y为正数，且x+y=1，试证：证明：设，则即，等于当且仅当即x=y时成立。例5 设x、y、z为非负实数，且，证明： 证明：不妨设，由，不难得到于是有：所以：为证明右边不等式，令，则且 z(x+y)+xy(1-2z)= 通过以上两例可以看出利用增量代换将看似毫无解题思路的不等式经巧妙的转化后轻松的得以解决。二、变量代换发在解三角题中的意义有些三角函数题，若更久题设信息特征，恰当选择变量进行代换，可改变原题的结构，转化为对新变量的讨论，从而优化解题途径。 （一）整体设元代换例6 已知，求证：。证明：设，则即由得所以 （二）辅助式设元代换例7 已知，则_。解：由知，设，又两式平方，相加，得，解得所以解得所以（三）构造数学模型设元代换例8 已知，求的值。解：根据，构造等差数列。设，由知，即。因为所以所以。（四）将次设元代换例9 已知，求证：。证明：设，则，所以化简，得，所以。所以所以通过以上四种代换法可以看出恰当的选择变量进行代换可是结构复杂的三角函数题华为结构简单的三角函数题进而将其解出。由此可见，变量代换法在解三角函数题的解题步骤上及计算量上有重要的意义。三、倒数代换法在极限计算中的意义在极限计算中，倒数代换是求解极限问题的一种好方法。由于，因此在求极限时，若直接求极限比较繁或直接求极限有困难时可令 ，只要关于新变量t的极限容易求，就可简化计算，下面通过例子说明倒数代换法在极限计算中的具体意义。 例10 （94年研究生入学考试数学（四）试题）求 解：先通过倒数代换，转化为型，再用洛必达法则，令则当x时，to,于是 原式= =例11（96年研究生入学考试数学（二）试题）求 解：这是0型，现转化为 为避免导数计算的复杂性，令则 x时，t0,于是 原式 通过以上例子可以看出，在求极限时，若能正确、恰当的运用倒数代换会使问题解化易解。四、变量代换法在积分计算中的意义（一）变量代换法在不定积分计算中的意义1.第一换元法若函数u=(x)在a,b可导，且（x）,有则函数存在原函数即 例12 求 解： （将当做一个整体）。例13 求 （a0）. 解：由以上例题可以看出第一换元法是用凑微分的办法，把一个较为复杂的积分化成再积分，从而使问题简化。2、第二换元法 若函数x=(t)在, 严格单调并且可导，a(t) b，函数f(x)在a,b有定义，有 则函数f(x)在a,b存在原函数，且 例14 求 (a0) 解：设x=asint,有dx=acosdt. 则 例15 求 解：设或有 由以上例题可以看出第二换元法是将积分（看似简单，但是很难积分）用一个适当的变量代换x=(t)使却很容易积分。再将结果中的t变回。 （二）变量代换法在定积分计算中的意义若函数f(x)在区间a,b连续，且函数x=(t)在, 有连续导数，当t时，有a(t) b,有()=a, ()=b,则 例16 求 （a0） 解：设x=asint,有dx=acostdt.当x=0时，t=0;当x=a时，t=. 例17 求 解：设x=cost,有dx=-sintdt,当x=0时，t=当x=1时，t=0. 通过以上例题可以看出在定积分中利用变量代换法有时可避免某些复杂的计算。 （三）变量代换法在无穷积分计算中的意义 若函数f(x)在区间连续，无穷积分收敛，且函数x=(x)在, 严格增加，存在连续导数，而(x)=a, (-0)=+ ,则 例18 求无穷积分 解：设 则 例19 求无穷积分 (a0). 解：设 则 （四）变量代换法在二重积分中的意义 若函数f(x,y)在有界闭区域R连续，函数组 x=x(u, v),y=(u, v) (1)将uv平面上区域一对一地变换为xy平面上区域R，且函数组（1）在上对u与v存在连续偏导数，有 则例20 计算曲线 (a0,b0)与y=0所围成区域R的面积 解：已知区域R的面积（被积函数f(x,y) 1）设或这个函数组将xy平面上的区域R变换为uv平面上的区域是曲线和u=v所围成的区域，由换元公式有 例21 求限定在R上的曲顶柱体的体积，其中R是 解：曲顶柱体的体积 其中R是这是以原点为圆心，内外半径分别为a和b的环形区域。作极坐标变换，设x=rcos,y=rsin,|J|=r.这个变换将R变换为r坐标平面上的四条直线：r=a,r=b, =0, =2所围成的矩形区域， 于是 通过以上例题可以看出在二重积分计算中经过一个适当的换元或变换可将给定的积分区域变换为简单的区域，如矩形域、圆域或部分圆域等等，从而简化了重积分的计算。总结 变量代换法又叫换元法，即把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变幻研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而是非标准问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。意义在于通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。参考文