数理金融课设正文.doc

目 录1 数据说明 11.1原始数据选取说明12 绘制股价和时间的折线图 12.1 绘图原理12.2 绘制图形12.3 统计特征分析23 用二叉树模型对股票估值 23.1 计算二叉树模型中的u与d23.1.1 计算原理23.1.2 计算结果33.2 二叉树模型的原理33.3 二叉树模型估值结果及分析33.3.1 二叉树模型估值结果33.3.2 二叉树模型估值结果分析54 用几何布朗运动模型对股票估值 54.1 几何布朗运动模型中的参数54.2 几何布朗运动模型的原理64.3 几何布朗运动模型估值的结果及分析74.3.1 几何布朗运动模型估值的结果及图形84.3.2 几何布朗运动模型估值结果的分析与实际图形对比分析 95 用几何布朗运动模型估计未来股价 95.1模型参数 95.2估值结果105.3结果分析116 计算股票欧式期权的价格116.1 计算原理蒙特卡洛模拟法116.2 计算股票欧式看涨期权的价116.2.1欧式看涨期权计算公式116.2.2计算结果116.3计算股票欧式看涨期权的价格136.3.1欧式看涨期权计算公式136.3.2计算结果136.4蒙特卡洛方法总结157 总结及体会16参考文献17附录17重庆路桥股票价格及期权分析1 数据说明1.1 原始数据选取说明股票代码:600106股票名称:重庆路桥原始数据:1001个收盘价从搜狐网上查得（弘业股份2008年2月5日2012年4月27日的历史行情数据）。2 绘制股价和时间的折线图 2.1 绘图原理以时间为横坐标，以1001个股票实际收盘价为纵坐标，利用编程实现画图。在画图过程中，用区间来代替时间作为横坐标。2.2 绘制图形图2-1 股价与时间折线图2.3 统计特征分析由计算得股票价格的平均值为：标准差为：3 用二叉树模型对股票估值3.1 计算二叉树模型中的参数3.1.1 计算原理在风险中性的条件下，证券的预期收益率等于无风险利率（），因此若该时段初证券价格为，则在小时间间隔段末的证券价格期望值为。参数（价格上升的概率）、和的值必须满足这个要求，即： （3-1）二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，在一个很小的时间段内证券价格变化的方差是。根据方差的定义，变量的方差等于的期望值与期望值平方之差，因此： （3-2）从式（3-1）、（3-2）和可以求得，当很小时：增长因子：下降因子：价格上升的概率：价格下降的概率：3.1.2 计算结果（1）时1.113 0.89847 0.47454 0.52546（2）时1.2038 0.83074 0.45598 0.54402（3）时1.2705 0.78709 0.44327 0.556733.2 二叉树模型的原理把股票的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：（1）从开始的上升到原先的倍，即到达；（2）下降到原先的倍，即。（其中, ）. 图3-1 时间内资产价格的变动 如图3.2.1所示，价格上升的概率假设为，下降的概率假设为，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。 一般而言，在时刻，证券价格有种可能，它们可用符号表示为：其中。注意：由于，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 3.3 二叉树模型估值结果及分析3.3.1 二叉树模型估值结果（1）时股票价格15期的估值表3-1 时股票价格15期的估值5.60966.24356.94917.73448.60849.581210.66411.86913.2114.70316.36518.21420.27322.56425.1134.52835.045.60966.24356.94917.73448.60849.581210.66411.86913.2114.70316.36518.21420.27304.06854.52835.045.60966.24356.94917.73448.60849.581210.66411.86913.2114.70316.365003.65544.06854.52835.045.60966.24356.94917.73448.60849.581210.66411.86913.210003.28433.65544.06854.52835.045.60966.24356.94917.73448.60849.581210.66400002.95083.28433.65544.06854.52835.045.60966.24356.94917.73448.6084000002.65122.95083.28433.65544.06854.52835.045.60966.24356.94910000002.3822.65122.95083.28433.65544.06854.52835.045.609600000002.14012.3822.65122.95083.28433.65544.06854.5283000000001.92292.14012.3822.65122.95083.28433.65540000000001.72761.92292.14012.3822.65122.950800000000001.55221.72761.92292.14012.382000000000001.39461.55221.72761.92290000000000001.2531.39461.552200000000000001.12581.253000000000000001.0115（2）时股票价格15期的估值表3-2 时股票价格15期的估值6.06697.30318.791110.58212.73815.33418.45822.21926.74732.19638.75646.65356.15967.60181.3754.18695.046.06697.30318.791110.58212.73815.33418.45822.21926.74732.19638.75646.65356.15903.47824.18695.046.06697.30318.791110.58212.73815.33418.45822.21926.74732.19638.756002.88953.47824.18695.046.06697.30318.791110.58212.73815.33418.45822.21926.7470002.40042.88953.47824.18695.046.06697.30318.791110.58212.73815.33418.45800001.99412.40042.88953.47824.18695.046.06697.30318.791110.58212.738000001.65661.99412.40042.88953.47824.18695.046.06697.30318.79110000001.37621.65661.99412.40042.88953.47824.18695.046.066900000001.14321.37621.65661.99412.40042.88953.47824.1869000000000.949711.14321.37621.65661.99412.40042.88950000000000.788960.949711.14321.37621.65661.994100000000000.655420.788960.949711.14321.3762000000000000.544480.655420.788960.949710000000000000.452320.544480.6554200000000000000.375760.45232000000000000000.31215（3）时股票价格15期的估值表3-3 时股票价格15期的估值6.40338.135410.33613.13216.68421.19726.93134.21543.4755.22970.16889.148113.26143.9182.823.9675.046.40338.135410.33613.13216.68421.19726.93134.21543.4755.22970.16889.148113.2603.12243.9675.046.40338.135410.33613.13216.68421.19726.93134.21543.4755.22970.168002.45763.12243.9675.046.40338.135410.33613.13216.68421.19726.93134.21543.470001.93442.45763.12243.9675.046.40338.135410.33613.13216.68421.19726.93100001.52251.93442.45763.12243.9675.046.40338.135410.33613.13216.684000001.19841.52251.93442.45763.12243.9675.046.40338.135410.3360000000.943231.19841.52251.93442.45763.12243.9675.046.403300000000.742410.943231.19841.52251.93442.45763.12243.967000000000.584350.742410.943231.19841.52251.93442.45760000000000.459930.584350.742410.943231.19841.522500000000000.362010.459930.584350.742410.94323000000000000.284940.362010.459930.584350000000000000.224270.284940.3620100000000000000.176520.22427000000000000000.138943.3.2 二叉树模型估值结果分析从表中可以看出,越是往上走,股票的价格越高,越往下越低,这是由二叉树这种方法本身所决定的,所以最后的股价要选择一个合适的价格,一般在二叉树最后一层的中间取值较为合适。4 用几何布朗运动模型对股票估值4.1 几何布朗运动模型中的参数时间间隔=1/365;股票均值标准差为4.2 几何布朗运动模型的原理用表示时刻某证券的价格，若对任何非负实数有：（1）随机变量独立于时刻及此前的所有价格；（2）是均值为 ，方差为的正态随机变量；则称价格集服从漂移参数为 ，波动参数为的几何布朗运动。如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦,的值确定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而与历史价格无关。涉及未来时刻以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关。比如一种证券在一个月后增长一倍的概率与该证券现在的价格是10还是25是没有关系的。若随机变量为以为参数的对数正态随机变量，则若已知证券的初始价格为，时刻价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于我们有用表示一个小的时间增量，并假定，在每个时间单位内，证券的价格或者以概率增长倍，或者以概率下跌倍，其中当取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应的价格集就近似为一个几何布朗运动。下面证明当取得越来越小时，上述简单过程趋近于几何布朗运动。首先定义随机变量，若时的价格上涨，则令，否则令。证券价格在前次变化过程中上涨的次数为，下跌的次数为，故在时刻的证券价格可以表示为：将上述形式整理一下得若记，则上述方程可以改写为两边取对数得既然则随着趋于0，和式越来越接近正态随机变量，故是的一个正态随机变量，并且现在求方差，由于故当变得越来越小时，(同理可知)就变成均值为，方差为的正态随机变量。4.3 几何布朗运动模型估值的结果及分析4.3.1 几何布朗运动模型估值的结果及图形（1）历史数据截止日前三个月的股票交易日的估值结果表4-1 历史数据截止日前三个月的股票交易日的估值结果1-13天14-26天27-39天40-52天53-65天66-78天79-90天6.87126.62177.43759.587110.12510.8929.76956.88086.65057.24559.731110.2410.80610.0386.74656.65057.35119.721510.27810.1159.94226.4496.67937.61989.644710.1349.817410.0776.5456.91927.55269.67359.96149.78869.9236.62177.16877.56229.663910.1059.635110.0576.83296.85217.46629.692710.469.76959.74076.89047.26477.65829.77910.489.51034.79846.89047.48547.81179.846210.9599.83664.72166.65057.39917.946110.25910.9989.94224.766.82337.28398.18610.06711.679.8754.83676.83297.08248.47399.999811.1619.66399.76956.85217.0929.318410.04810.79.6255均值为：E=8.5929 方差为：D=2.9329（2）三个月的股票交易日的真实数据表4-2 三个月的股票交易日的真实数据1-13天14-26天27-39天40-52天53-65天66-78天79-90天5.0410.0711.6310.428.837.387.124.9610.2912.1610.498.537.597.114.9210.3611.4610.698.287.716.93510.2511.4210.268.147.87.1810.159.9110.9210.197.987.577.1810.4810.1810.910.17.787.147.1210.3410.0410.5310.077.887.476.910.510.210.3810.087.877.216.8210.3610.2310.5610.057.946.966.7210.4610.5410.7110.137.666.937.0310.1811.2610.6710.147.556.937.1710.2211.3510.559.997.756.97.1610.0311.1510.479.717.397.147.12均值E=8.9544 方差D=3.1875 (3) 估值结果与实际值的对比图图4-1估值结果与实际值的对比图4.3.2 几何布朗运动模型估值结果的分析及与实际图形对比分析 从上图可以看出估值结果与实际股价的变化趋势大致相同，只是相对于真实值会较高或较低一些。5 用几何布朗运动模型估计未来股价5.1模型参数时间间隔=1/365;股票均值标准差为5.2估值结果(1)估值结果数据表5-1估值结果数据表1-10天11-20天21-30天31-40天41-50天51-60天5.16666.59497.54329.830324.8613.3295.2616.53519.47489.209520.87115.1155.5817.81447.70069.979615.25115.165.64875.97828.76316.13314.80821.0855.61156.952910.41617.76919.04812.5355.41348.53611.06412.44320.6714.6085.0337.350714.32716.4317.44222.5946.51868.276410.97716.76216.25117.9677.19085.728810.5912.09414.48618.1426.53958.76589.42169.340321.7832.21(2)估值结果与时间的趋势图图5-1 几何布朗运动模型股价估值趋势图5.3结果分析由上图可以看出几何布朗运动模型预测的股价整体呈上升趋势，价格在随着时间上下波动。6 计算股票欧式期权的价格6.1计算原理蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟方法亦称随机模拟方法，其基本思想是，求解科学、工程技术和经济金融等方面的问题。首先建立一个概率模型后随机过程，使其参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察计算所求的统计特征，最后给出所求问题的近似值，解的精度可用估计值的标准差表示。应用此方法求解可以分为两类:确定性问题和随机性问题。解题步骤如下： （1）根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致 （2）根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。 （3）根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样。 （4）按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 （5）统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。 6.2 计算股票欧式看涨期权的价格6.2.1 欧式看涨期权计算公式6.2.2 计算结果(1) 下表分别为一般技术(MC)、对偶变量技术（MCAV）、控制变量技术（MCCV）的均值、方差的计算结果解析解：Call=1.1075表6-1 蒙特卡洛模拟法计算结果表模拟次数MCAVMCCV均值方差均值方差均值方差20001.1285.22451.13173.7241.10263.041540001.1285.22451.13173.7241.10263.041560001.12915.24611.09853.53741.10662.80380001.10715.18991.08373.52071.08887.9806100001.10125.04521.10933.53841.10732.4704120001.0975.07271.12113.60951.10042.4992140001.12315.18381.08933.54791.10312.1297160001.10775.18491.09343.48231.09883.4941180001.10285.17011.09263.47261.11082.2702200001.09775.63041.11643.57131.10062.6929(2) 将(1)中的结果用图形表示图6-1 B-S公式和三种MC技术方法算出的期权价格波动趋势图图6-2 三种MC法的置信区间变化图图6-3 控制变量法的期权价格波动图6.3 计算股票欧式看跌期权的价格6.3.1 欧式看跌期权计算公式6.3.2 计算结果(1) 下表分别为一般技术(MC)、对偶变量技术（MCAV）、控制变量技术（MCCV）的均值、方差的计算结果解析解：Put=5.3359表6-2 蒙特卡洛模拟法计算结果表模拟次数MCAVMCCV均值方差均值方差均值方差20005.31632.94635.33530.793355.352.071440005.33772.94335.33530.794795.35121.993860005.33492.9485.33420.792565.35292.050380005.34742.93475.33460.792925.33552.0774100005.32642.94625.33630.792675.32832.0413120005.3422.93655.33290.791755.34371.9885140005.33042.93855.33760.791985.33242.1415160005.3192.94465.33650.791445.33852.0443180005.35042.93625.33320.792895.34312.0338200005.33222.94015.33690.792415.34132.0331(2) 将(1)中的结果用图形表示图6-4 B-S公式和三种MC技术方法算出的期权价格波动趋势图图6-5 三种MC法的置信区间变化图图6-5 控制变量法的期权价格波动图6.4 蒙特卡罗方法总结蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：（1）在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解，所用的数学知识也很基本；为了获得更精确的答案，只需要进行更多的模拟；无需太多工作就可以转换模型。以上这些优点使得蒙特卡罗方法成为一个相当广泛和强大的期权定价技术。（2）蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛，其中包括：期权的回报仅仅取决于标的变量的最终价值的情况；期权的回报依赖于标的变量所遵循的路径，即路径依赖的情形；期权的回报取决于多个标的变量的情况，尤其当随机变量的数量增加时，蒙特卡罗模拟的运算时间近似为线性增长而不象其他方法那样以指数增长，因此该方法对依赖三种以上风险资产的多变量期权模型很有竞争力。因此，蒙特卡罗模拟可以适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准误差，这也是该方法的优点之一。另一方面，蒙特卡罗模拟的缺点主要是：（1）只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。尝试使用蒙特卡罗模拟技巧来为美式期权定价，成为近年来这个领域的发展方向之一。（2）为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。尤其在处理三个以下的变量时，蒙特卡罗模拟相对于其他方法来说偏慢。7 总结及体会这是一次极具挑战力的课设参 考 文 献1 张元萍.数理金融M.北京：中国金融出版社，2004.2 周璐编译.数值方法（第四版）M.北京：电子工业出版社，2005.附录：程序一sp=1001个收盘价 ;x=1001:-1:1;mu=mean(sp);var=var(sp);sigma=sqrt(var);plot(x,sp);title(股价与时间折线图);xlabel(时间/天数);ylabel(股价/元);程序二clear;clc;S0=5.04;r=0.1;sigma=2.0455;dt=1/365,3/365,5/365;w=zeros(16,15,3);for n=1:3 u(n)=exp(sigma*sqrt(dt(n); d(n)=1/u(n); p(n)=(exp(r*dt(n)-d(n)/(u(n)-d(n);%上涨概率 q(n)=1-p(n);%下降概率endfor i=1:15 for j=i+1:-1:1 for n=1:3 w(i-j+2,i,n)=S0*u(n)(j-1)*d(n)(i-(j-1); end endendw1(:,:)=w(:,:,1);w2(:,:)=w(:,:,2);w3(:,:)=w(:,:,3);程序三clear;clc;d=5.044.964.92510.1510.4810.3410.510.3610.4610.1810.2210.0310.0710.2910.3610.259.9110.1810.0410.210.2310.5411.2611.3511.1511.6312.1611.4611.4210.9210.910.5310.3810.5610.7110.6710.5510.4710.4210.4910.6910.2610.1910.110.0710.0810.0510.1310.149.999.718.838.538.288.147.987.787.887.877.947.667.557.757.397.387.597.717.87.577.147.477.216.966.936.936.97.147.127.116.937.187.187.126.96.826.727.037.177.16;x=90:-1:1;plot(x,d);hold onfor i=1:90 l(i)=d(91-i);end%-几何布朗模型预测价格与图形-%l(i);%d矩阵的颠倒阵T=1/365;mu=9.385;sigma=2.0455;S=zeros(1,90);nuT=(mu-0.5*sigma2)*T;siT=sigma*sqrt(T);w=randn(1,1);for i=1:90 S(i)=l(i)*exp(nuT+siT*w);endE=mean(S);D=var(S);s=S;x=1:90;plot(x,S,-.);程序四clear;clc;T=1/365;mu=14.184;sigma=2.9926;S0=11.86;S=zeros(10,60);for i=1:60 nuT(i)=(mu-0.5*sigma2)*T*i; siT(i)=sigma*sqrt(T*i); w=randn(10,1); S(:,i)=S0*exp(nuT(i)+siT(i)*w); Price(i), VarPrice(i), CI(i,:) = normfit(S(:,i);endE=mean(Price);D=var(Price);x=1:60;plot(x,Price);程序五看跌期权蒙特卡洛模拟定价主程序:clear all;close all;clc;NbSimu =20000:20000:200000;NbPoints = numel(NbSimu);ResAV = zeros(NbPoints,1);ResMC = zeros(NbPoints,1);ResMCCV = zeros(NbPoints,1);CIAV = zeros(NbPoints,2);CIMC = zeros(NbPoints,2);CIMCCV = zeros(NbPoints,2);VarPriceAV = zeros(NbPoints,1);VarPriceMC = zeros(NbPoints,1);VarPriceCV = zeros(NbPoints,1);call,put = blsprice(5.04,9.385,0.05,0.25,2.0455,0);%解析解for i = 1 :numel(NbSimu) disp(Computing Iteration N? num