导数的最值、取值范围与恒成立问题(理科目标版含答案).pdf

2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 考试内容 要求层次 了解 理解 掌握 导数 及其 应用 导数概念及其 几何意义 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 根据导数定义求函数 cy xy 2 xy 3 xy x y 1 xy 的导数 导数的四则运算 简单的复合函数 仅限于形如 baxf 的导数 导数公式表 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性 其中多项式函数不超过 三次 函数的极值 最值 其中多项式函数不超过三次 利用导数解决某些实际问题 单调区间 最值与取值范围问题是导数最常见的经典问题 需重点掌握分类讨论模型 及参变分离模型 1 单调区间 作为前几年最经典的第二问 单调区间问题须注意其基本模型是什 么 容易忽略的条件是什么 如何处理含参问题单调区间的讨论 前提与结 论该怎样规范书写 怎样做到不重不漏等等 2 最值 最值问题该如何转化 该问题与经典的单调区间问题有什么联系 怎样 自检自查必考点 最值 取值范围与恒成立 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 根据解析式的特征或者利用数形结合分析函数的最值 3 取值范围 这类问题的经典代表是恒成立问题 题目里给出的不等式条件如何转 化 转化后的不等式该如何变形 何时可用参变分离 构造新函数研究其性质 何时需要先 分类说明再分别处理 单调区间单调区间 在含参数的情况下讨论函数的单调区间 需要掌握分类讨论的经典模型 因为随着参 数取值的变化 单调区间的结果不同 该模型的基本原理是 导函数大于零对应原函数的增区间 小于零对应原函数的减区 间 等于零看是否发生两侧变号 左负右正为极小值 左正右负为极大值 否则不为极值 分类讨论模型的一般思路分类讨论模型的一般思路 1 对题设函数求导 特别注意 导数结果如果可以提取公因式 则一定要提取 如 果为分式加减一个整式 建议完全通分写成分式构造 并分离其中的正项 例如 2 1 1 1 1 1 1 1 1 axaxaxxx fxaxaax xxxx 导函数出现 1 x 原函数一般含有 1 ln00 x xx x 需满足 例如上式中 2 观察正项以外的表达式为类一次函数还是类二次函数 二次函数要注意开口开口方向 注意参数a在x高次项上时 需先对a进行讨论 只要题目没有说明0a 则当 0a时 一个二次函数型的导函数会退化成一次函数型 一次函数型的导函数会进一步退化成常数函 数型 使得结果的结构完全不同 所以最好优先讨论 3 当0a 时 对于二次函数型的导函数 注意讨论判别式 因为 存在的前提 是0a 而0 时 导函数的值恒正 或恒负 原函数在定义域上恒增 或恒减 注 意能够因式分解的表达式不需要判断 但需要注意因式是否有可能在定义域上恒正 或 恒负 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 4 0 时 令导函数等于 0 会求得两个根 这两个根可能带有参数 需要讨论 大小关系 比较其大小关系 分 1212 xx xx 两种情况说明 5 如果题目中对于函数可取值范围还做了进一步的限定 务必按照限定的区间进行 分类讨论 则有可能发生某个 极值 不在给定区间内的情况 注意结果的检查与验证 重 点考虑与定义域的交集情况 总的来说 分类讨论的一般思路是 求导 通分 因式分解 考虑定义域 分离正项 讨论最高项系数 0a 0a 与0a 讨论判别式 讨论两根大小 讨论根与区 间关系 必要的列表或综上所述 检查讨论是否完整回答题目问题 导数的单调区间分两大类问题 一类是如何求单调区间 注意对应导数大于 0 或者小 于 0 不含等号不含等号 因为等号可能会对应中间有平的情况 而另外一类是已知单调区间 求参 数的取值范围 此类问题条件转化一定是对应导函数大于等于大于等于 0 或小于等于 0 包含等号 因为要包含形如 3 yx 的函数 求取值范围的问题 如果能够通过变换 采用分离变量方 法处理 则优先考虑分离变量 如果不可以 则仍采用分类讨论的方法解决 需要注意的是 导数的很多题目综合程度非常高 单调区间的问题 往往与求函数最值 求参数取值范围等问题同时出现 同学们注意后一问何时可以使用前一问的结果 何时需要 重新求导 恒成立问题恒成立问题 题设条件的转化是恒成立问题的核心 此类问题包括恒成立 能成立或者是否成立的 条件 导数恒成立问题一般指向求参数的值或取值范围 很多同学做的时候都有自己的思路 但有时候不能做到底 这个其实不能单纯地归结为计算的问题 而更主要的是转化与推导不 到位 使得计算的繁简程度超过了自己的处理能力 恒成立 能成立与是否成立问题 题设不等式会有包含一个未知数与两个未知数的情 形 从而出现形如是否对任意的一个数属于区间 a b 或存在一个数属于该区间 使 111 f xc f xg x 或 12 f xg x 有时也会以证明题形式出现 或可转化为 类似表达式的命题 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 恒成立问题常见的转化思路 恒成立问题常见的转化思路 1 首先判断题型是存在性 能成立 问题还是任意性 恒成立 问题 2 有些问题虽然未出现类似 恒成立 的关键词 但仍可以用恒成立问题的经 典解决思路处理 如出现 f x 在定区间上最小值是a的条件 可转化成在 给定区间上 f xa 说为减函数 可转化为 0fx 再进行变形求解 3 注意不等式的符号方向 注意不等式两边根据题目要求进行逻辑判断 是转 化成某个函数的最大值 还是最小值 与另一个函数的最大值 最小值 的 比较 列出比较式 代入实际的函数表达式 4 分别求出表达式两边函数在给定区间上的最值 最值需要求出极值并与端点 值比较 5 如果该表达式在整理后 被转化为一边是参数 一边是只含未知数x的表达 式 把只含未知数的表达式看成一个新函数 则求出其极值可以说明参数的 取值范围 即根据题目条件 可看成参数必须大于某个新函数的最大值或小 于其最小值 参变分离 例如 3 1axx 在 1 2 上恒成立 可转化为 2 1 ax x 并进一步转化为a 小于函数 2 1 yx x 在区间上的最小值 6 注意当无法想清逻辑关系时 做示意图 利用数形结合判断大小关系并转化 7 注意结果要判断是否与题设的区间端点或参数范围相吻合 补充说明 补充说明 有些题目不是典型的恒成立问题 但可以有多种解法 掌握多种解法有利于避免卡题并 提高解决问题的灵活性与准确性 在北京高考中 题设函数通常有几种类型 三次函数型 多项式 分式函数型 多项式 对数函数型 多项式 指数函数型 含三角函数的表达式以及它们的乘 加 甚至复合 为保证导数问题有效解决 一定要熟练掌握求导法则 首先保证求导结果的准确 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 例 1 2015 房山一模理 18 已知 2 1 ln 1 2 f xaxxx 其中0 a 若函数 f x在点 3 3 f处切线斜率为0 求a的值 求 f x的单调区间 若 f x在 0 上的最大值是0 求a的取值范围 解 由题意得 2 1 1 1 axax fxx x 由 1 30 4 fa 令 12 1 00 1fxxx a 当01a 时 12 xx f x与 fx 的变化情况如下表 x 1 0 0 1 0 1 a 1 1 a 1 1 a fx 0 0 f x 0f 1 1f a f x的 单 调 递 增 区 间 是 1 0 1 a f x的 单 调 递 减 区 间 是 1 0 和 1 1 a 当1a 时 f x的单调递减区间是 1 当1a 时 2 10 x f x与 fx 的变化情况如下表 x 1 1 1 a 1 1 a 1 1 0 a 0 0 fx 0 0 f x 1 1f a 0f f x的单调递增区间是 1 1 0 a f x的单调递减区间是 1 1 1 a 和 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 0 综上 当01a 时 f x的单调递增区间是 1 0 1 a f x的单调递减区间是 1 0 和 1 1 a 当1a f x的单调递增区间是 1 1 0 a f x的单调递减区间是 1 1 1 a 和 0 当1a 时 f x的单调递减区间是 1 由 可知 当01a f x在 0 的最大值是 1 1f a 但 1 100ff a 所以01a 不合题意 当1a 时 f x在 0 上单调递减 由 00f xf 可得 f x在 0 上的最大值为 00f 符合题意 f x在 0 上的最大值为0时 a的取值范围是1a 例 2 2015 石景山一模理 18 已知函数 1 ln 0 a f xxax g xa x 若1a 求函数 f x的极值 设函数 h xf xg x 求函数 h x的单调区间 若存在 0 1 ex 使得 00 f xg x 成立 求a的取值范围 解 lnf xxax 的定义域为 0 1 分 当1a 时 1 x fx x 2 分 由 0fx 解得1x 当01x 时 0 fxf x 单调递减 当1x 时 0 fxf x 单调递增 所以当1x 时 函数 f x取得极小值 极小值为 11ln1 1f 4 分 1 ln a h xf xg xxax x 其定义域为 0 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 又 2 22 1 1 1 xaxaxxa h x xx 6 分 由0a 可得10a 在 0 1 xa 上 0h x 在 1 xa 上 0h x 所以 h x的递减区间为 0 1 a 递增区间为 1 a 7 分 III 若在 1 e 上存在一点 0 x 使得 00 f xg x 成立 即在 1 e 上存在一点 0 x 使得 0 0h x 即 h x在 1 e 上的最小值小于零 8 分 当1ea 即e 1a 时 由 II 可知 h x在 1 e上单调递减 故 h x在 1 e上的最小值为 eh 由 1 e e0 e a ha 可得 2 e1 e1 a 9 分 因为 2 e1 e1 e1 所以 2 e1 e1 a 10 分 当1 1ea 即0e 1a 时 由 II 可知 h x在 1 1 a上单调递减 在 1 ea 上单调递增 h x在 1 e上最小值为 1 2 ln 1 haaaa 11 分 因为0 ln 1 1a 所以0 ln 1 aaa 2 ln 1 2aaa 即 1 2ha 不满足题意 舍去 12 分 综上所述 a 2 e1 e1 13 分 答案 极小值为 11ln1 1f h x的递减区间为 0 1a 递增区间为 1 a 2 e1 e1 例 3 设l为曲线 C ln x y x 在点 1 0 处的切线 I 求l的方程 II 证明 除切点 1 0 之外 曲线 C 在直线l的下方 解 I ln x y x 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 2 1ln x y x l的斜率 1 1 x ky l的方程为1yx 证明 II 令 1 ln 0 f xx xxx 则 1 21 1 21 xx fxx xx f x在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 又 1 0f 0 1 x 时 0f x 即 ln 1 x x x 1 x 时 0f x 即 ln 1 x x x 即除切点 1 0 之外 曲线C在直线l的下方 例 4 2015 北京高考理 18 已知函数 1 ln 1 x f x x 求曲线 x yf 在点 0 0 f 处的切线方程 求证 当 0 1 x 时 3 2 3 x f xx 设实数k使得 3 3 x f xk x 对 0 1 x 恒成立 求k的最大值 解 ln 1 ln 1 f xxx 11 11 fx xx 11 11xx 所以 0 2f 又 0f x 所以切线方程为 02 0 yx 即 2yx 33 22 2ln 1 ln 1 2 33 F xf xxxxxxx 2 11 22 11 F xx xx 2 2 2 1 1 1 x xx 22 2 22 1 1 1 xx x 4 2 2 1 x x 又因为01x 所以 0F x 所以 F x在 0 1 上是增函数 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 又 0 0F 故 0 F xF 所以 3 2 3 x f xx 3 1 ln 13 xx k x x 0 1 x 设 2 1 ln 0 13 xx t xk x x 0 1 x 4 2 22 22 x 1 11 kxk tkx xx 0 1 x 0 2 k 0t x 函数 t x是单调递增 0 t xt 显然成立 当2k 时 令 0t x 得 4 0 2 0 1 k x k x 0 0 x 0 x 0 1 x t x 0 t x 极值 0 0 0t xt 显然不成立 由此可知k最大值为2 例 5 2014 北京高考理 18 已知函数 cossin 0 2 f xxxx x I 求证 0f x II 若 sinx ab x 在 0 2 上恒成立 求a的最大值与b的最小值 解 1 证明 cossincossin fxxxxxxx 0 2 x 0fx 即 f x在 0 2 上单调递减 f x在 0 2 上的最大值为 00f 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 所以 0f x 2 一方面令 sinx g x x 0 2 x 则 2 cossin x xx gx x 由 1 可知 0gx 故 g x在 0 2 上单调递减 从而 2 2 g xg 故 2 a 所以 m a x 2 a 令 sinh xxbx 0 2 x 则 coshxxb 当1b时 0h x 故 h x在 0 2 x 上单调递减 从而 00h xh 所以 sin0h xxbx 恒成立 当1b 时 cos0hxxb 在 0 2 有唯一解 0 x 且 0 0 xx 0h x 故 h x在 0 0 x上单调递增 从而 00h xh 即 sin sin0sin x xbxxbxb x 与 sin x b x 恒成立矛盾 综上 1b 故 mi n 1b 练 1 2015 丰台一模理 设函数 x f xeax xR 当2a 时 求曲线 f x在点 0 0 f处的切线方程 在 的条件下 求证 0f x 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 当1a 时 求函数 f x在 0 a上的最大值 解 当2a 时 2 x f xex 0 1f 所以 2 x fxe 因为 0 0 21fe 即切线的斜率为1 所以切线方程为1 0 yx 即 10 xy 4 分 证明 由 知 2 x fxe 令 0fx 则 0 ln2x 当 ln2 x 时 0 xf f x在 ln2 上单调递减 当 ln2 x 时 0 xf f x在 ln2 上单调递增 所以当ln2x 时 函数最小值是 ln2 ln2 2ln222ln20fe 命题得证 8 分 因为 x f xeax 所以 x fxea 令 0fx 则ln0 xa 当1a 时 设 lnM aaa 因为 11 10 a M a aa 所以 lnM aaa 在 1 上单调递增 且 1 1 ln1 1M 所以 ln0M aaa 在 1 恒成立 即lnaa 所以当 0 ln xa 0fx f x在 0 ln a上单调递减 当 ln xa a 0fx f x在 ln a a上单调递增 所以 f x在 0 a上的最大值等于 0 max ff a 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 因为 0 0 01fea 2 a f aea 不妨设 2 0 1 a h af afea 1a 所以 2 a h aea 由 知 20 a h aea 在 1 恒成立 所以 2 0 1 a h af afea 在 1 上单调递增 又因为 12 1 1120hee 所以 2 0 10 a h af afea 在 1 恒成立 即 0 f af 所以当1a 时 f x在 0 a上的最大值为 2 a f aea 13 分 练 2 2015 西城二模理 18 已知函数 2 1 1 x f x ax 其中Ra 当 1 4 a 时 求 f x的单调区间 当0a 时 证明 存在实数0m 使得对于任意的实数x 都有 f xm 成立 当 1 4 a 时 函数 2 1 1 1 4 x f x x 其定义域为 2 xx R 求导 得 22 2222 24 1 3 0 11 4 1 4 1 44 xxx fx xx 所以函数 f x在区间 2 2 2 2 上单调递减 当0a 时 2 1 1 x f x ax 的定义域为R 求导 得 2 22 21 1 axax fx ax 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 令 0fx 解得 1 1 110 x a 2 1 111x a 当x变化时 fx 与 f x的变化情况如下表 所以函数 f x在 1 x 2 x 上单调递增 在 12 x x上单调递减 又因为 1 0f 当1x 时 2 1 0 1 x f x ax 当1x 时 2 1 0 1 x f x ax 所以当1x 时 1 0 f xf x 当1x 时 2 0f xf x 记 12 max Mf xf x 其中 12 max f xf x 为两数 1 f x 2 f x 中最 大的数 综上 当0a 时 存在实数 mM 使得对任意的实数x 不等式 f xM 恒成立 练 3 2015 海淀二模理 18 已知函数 2 1ln x f x x 求函数 f x的零点及单调区间 求证 曲线 ln x y x 存在斜率为6的切线 且切点的纵坐标 0 1y 解 令 0f x 得ex 故 f x的零点为e 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 2 223 1 1 ln 2 2ln3 xxx x x fx xx 0 x 令 0fx 解得 3 2 ex 当x变化时 fx f x的变化情况如下表 f x 3 2 0 e 3 2 e 3 2 e fx 0 f x 所以 f x的单调递减区间为 3 2 0 e 单调递增区间为 3 2 e 令 ln x g x x 则 22 1 1 ln 1 ln xx x x g xf x xx 因为 11 44ln2446 22 f e 0f 且由 得 f x在 0 e 内是减函数 所以 存在唯一的 0 1 e 2 x 使得 00 6g xf x 当 e x 时 0f x 所以 曲线 ln x y x 存在以 00 x g x为切点 斜率为 6 的切线 由 0 0 2 0 1 ln 6 x g x x 得 2 00 ln1 6xx 所以 2 00 00 000 ln1 61 6 xx g xx xxx 因为 0 1 2 x 所以 0 1 2 x 0 63x 所以 00 1yg x 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 练 4 2015 石景山期末理 18 已知函数 22 lnf xxaxa xa R且 0a 若1x 是函数 yf x 的极值点 求a的值 求函数 f x的单调区间 解 函数 f x的定义域为 0 1 分 2 1 2fxaa x x 22 21a xax x 3 分 因为1x 是函数 yf x 的极值点 所以 2 1120faa 5 分 解得 1 2 a 或1a 经检验 1 2 a 或1a 时 1x 是函数 yf x 的极值点 6 分 由 知 2 1 2fxaa x x 22 21a xax x 由0a 令 21 1 0 axax fx x 解得 12 11 2 xx aa 9 分 当0a 时 fxf x 的变化情况如下表 x1 0 a 1 a 1 a fx 0 f x 极大值 函 数 yf x 的 单 调 递 增 区 间 是 1 0 a 单 调 递 减 区 间 是 1 a 11 分 当0a 时 fxf x 的变化情况如下表 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 x1 0 2a 1 2a 1 2a fx 0 f x 极大值 函 数 yf x 的 单 调 递 增 区 间 是 1 0 2a 单 调 递 减 区 间 是 1 2a 13 分 练 5 2015 昌平高三期末理 18 已知函数 22 lnf xxa xax a R 当1a 时 求函数 f x的单调区间 若函数 f x在区间 1 上是减函数 求实数a的取值范围 解 当1a 时 2 lnf xxxx 定义域是 0 1 21fxx x 由 0fx 解得01x 由 0fx 解得1x 所以函数 f x的单调递增区间是 0 1 单调递减区间是 1 5 分 法一 因为函数 f x在区间 1 上是减函数 所以 0fx 在 1 上恒成立 则 2 1 20fxa xa x 即 22 21 0g xa xax 在 1 上恒成立 7 分 当0a 时 10g x 所以0a 不成立 9 分 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 当0a 时 22 21g xa xax 2 90a 对称轴 2 4 a x a 2 1 0 1 4 g a a 即 2 2 1 21 0 4 gaa aa 解得 1 1 2 1 0 4 aa aa 所以实数a的取值范围是 1 1 2 aa 13 分 法二 2 1 2fxa xa x 22 21a xax x 定义域是 0 当0a 时 lnf xx 在区间 1 上是增函数 所以0a 不成立 8 分 0a 时 令 0fx 即 22 210a xax 则 12 11 2 xx aa 9 分 i 当0a 时 由 0fx 解得 1 x a 所以函数 f x的单调递减区间是 1 a 因为函数 f x在区间 1 上是减函数 所以 1 1 a 解得1a 11 分 ii 当0a 时 由 0fx 解得 1 2 x a 所以函数 f x的单调递减区间是 1 2a 因为函数 f x在区间 1 上是减函数 所以 1 1 2a 解得 1 2 a 综上实数 a 的取值范围是 1 1 2 aa 13 分 1 2016 昌平二模理 18 已知函数 2 ln f xxaxx a R 若函数 f x在 1 1f 处的切线垂直于y轴 求实数a的值 在 的条件下 求函数 f x的单调区间 若 1x 时 0f x 恒成立 求实数a的取值范围 解 2 lnf xxaxx a R 定义域为 0 1 2fxxa x a R 依题意 10 f 所以 130fa 解得3a 3a 时 2 ln3f xxxx 定义域为 0 2 1123 23 xx fxx xx 当 1 0 2 x 或1x 时 0fx 当 1 1 2 x 时 0fx 故 f x的单调递增区间为 1 0 2 1 单调递减区间为 1 1 2 解法一 由 0f x 得 2 ln xx a x 在1x 时恒成立 令 2 lnxx g x x 则 2 2 1lnxx gx x 令 2 1lnh xxx 则 2 2 121 20 x h xx xx 所以 h x在 1 为增函数 120h xh 故 0g x 故 g x在 1 为增函数 1 1g xg 所以 1a 即实数a的取值范围为 1 解法二 2 112 2 xax fxxa xx 令 2 21g xxax 则 2 8a i 当0 即2 22 2a 时 0fx 恒成立 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 因为1x 所以 f x在 1 上单调递增 110f xfa 即1a 所以 2 2 1 ii 当0 即 2 2a 时 0fx 恒成立 因为1x 所以 f x在 1 上单调递增 110f xfa 即1a 所以 2 2a iii 当0 即 2 2a 或 2 2a 时 方程 0g x 有两个实数根 2 1 8 4 aa x 2 2 8 4 aa x 若2 2a 两个根 12 0 xx 当1x 时 0fx 所以 f x在 1 上单调递增 则 110f xfa 即1a 所以 2 2a 若 2 2a 0g x 的两个根 12 0 xx 因为 10f xa 且 f x在 1 是连续不断的函数 所以总存在 0 1x 使得 0 0f x 不满足题意 综上 实数a的取值范围为 1 2 2015 东城二模理 18 已知函数 e x f xxa 当 2 ea 时 求 f x在区间 1 3上的最小值 求证 存在实数 0 3 3x 有 0 f xa 解 当 2 ea 时 2 e x f xx 1 3 x 2 1e x fx 令 0fx 得2x 令 0fx 得23x 令 0fx 得12x 因此函数 f x在 1 2上单调递增 在 2 3上单调递减 所以函数 f x的最小值为 2 3f 证明存在 3 3x 函数 f xa 即证 f x在 3 3x 的最大值大于a e 1e e x x x a fxa 当 3 ea 时 函数 0fx 函数 f x在 3 3 上单调递增 3 max 3 3ef xfa 当 3 ea 时 函数 0fx 函数 f x在 3 3 上单调递减 3 max 3 3ef xfa 当 33 eea 时 函数 f x在 3 lna 上单调递减 在 ln 3a 上单调递增 所以函数 f x的最大值为 3 f 或 3 f 综上 无论a取何值 函数 f x的最大值不是 3 f 就是 3 f 所以只要证明 3 fa 或 3 fa 成立即可 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 由 3 fa 得 3 3 1e a 由 3 fa 得 3 3 e1 a 由于 和 的并集为R 所以无论a为何值时 两个式子至少有一个成立 所以原结论成立 3 2014 朝阳一模理 18 已知函数 2 1 ln 2 f xaxx a R 求函数 f x的单调区间 若函数 f x在区间 1 e 的最小值为1 求a的值 解 函数 f x的定义域是 0 1 fxax x 2 1ax x 1 当0a 时 1 0fx x 故函数 f x在 0 上单调递减 2 当0a 时 0fx 恒成立 所以函数 f x在 0 上单调递减 3 当0a 时 令 0fx 又因为0 x 解得 1 x a 当 1 0 x a 时 0fx 所以函数 f x在 1 0 a 单调递减 当 1 x a 时 0fx 所以函数 f x在 1 a 单调递增 综上所述 当0a 时 函数 f x的单调减区间是 0 当0a 时 函数 f x的单调减区间是 1 0 a 单调增区间为 1 a 1 当0a 时 由 可知 f x在 1 e 上单调递减 所以 f x的最小值为 2 1 e e11 2 fa 解得 2 4 0 e a 舍去 2 当0a 时 由 可知 当 1 1 a 即1a 时 函数 f x在 1 e 上单调递增 所以函数 f x的最小值为 1 1 1 2 fa 解得2a 当 1 1e a 即 2 1 1 e a 时 函数 f x在 1 1 a 上单调递减 在 1 e a 上单调递增 所以函数 f x的最小值为 111 ln1 22 fa a 解得 ea 舍去 当 1 e a 即 2 1 0 e a 时 函数 f x在 1 e 上单调递减 所以函数 f x的最小值为 2 1 e e11 2 fa 得 2 4 e a 舍去 2016 数学标准课 理科目标 第 3 讲最值 取值范围与恒成立 教师版 综上所述 2a 4 2014 东城一模理 18