计算机在数学课堂中的应用.doc

11. 适应新事物计算机在数学课堂中的角色Janet Ainley问题介绍在现今的许多学校，计算机辅助教导意味着利用计算机教育孩子。一种可能说计算机正在被用于为孩子编程。在我看来，是孩子用程序指令计算机，而且这样做的话，既精通了许多最现代的科技，又和最深奥的思想数学，建立了一种亲密的关系。如果这个引证对你来说不熟悉的话，你或许在读之前会想要试试猜猜它是什么时候写的，被谁写的。花段时间仔细想想计算机这个角色提供的图像和学生们的关系。他们怎样适应你的经验和作为一个教师的期望？他们作为一个计算机使用者怎么和你的经验相配?在这章，我我探究了可能被教师，学生或者更广泛的团体引导的计算机（或者在数学领域里的其他技术工具）角色的方式。同时我也讨论了在教学中利用科技和数学教学，在教室里的社会互动之间的关系。关键问题当我写这篇文章的时候我的脑海有四个关键问题l 怎样能够使计算机在数学课堂中被教师和学生看到？l 怎样使对这个角色的感觉影响教室和学生，学生和学生之间的互动？l 教室的角色会因为计算机的出现发生什么样的改变？l 怎样区分这些角色是怎样影响孩子教学的？ 计算机潜在的角色 你或许会惊讶介绍里的引证是在很久以前在1980年写的（Seymour Papert在Mindstorms 的介绍里）。或许放弃了它早些时候的线索是“instruction”这个词和对程序的参考，两者都在教学讨论中过时了，至少是在英国。一点也不感到过时的是计算机被看做是死板的和机械的教学工具和作为教学工具被学生（甚至是小学）控制的的紧张表达。有意思的是教师没有提及，他们或许被这种紧张影响最大。自从1980年以来科技的进步是巨大的。在教学上，这些发明持续给教师施加压力学习新的技能。最明显的是，通常吸引孩子的注意是操控技术这种技能本身。更不用说的明显是课程目录的新范围的定位需要，和新教学方式与课堂互动。在一个计算机课堂，计算机和教师角色的不明确持续引起了许多教师的不安。思考这个问题.在你继续向下读之前，用一点时间思考在教室里你自己的角色，以及你怎样用或者在你教学中可能用到计算机。你怎么利用计算机？它充当了什么角色?计算机的应用改变了你教的数学的性质，或者仅仅最为一个教师的代替者？在这篇文章里，我故意提出一些狭隘的观点，因此，在实际中，一个非常复杂的情景，在至少两种超级简化方式上有一个危险。第一，缺少教师和计算机（当然包括学习者）明确的关系是唯一的一个影响数学课堂中应用计算机的质量和程度的大的因素。联接合适的硬件和软件的问题，课程的约束和设备的需要，技术和管理的态度问题都是教室和学校费城注意的。很明显的是，即使接触高层是可以实现的，课程压力是轻松的，教师在他们自己的教室一体化技术里的自信仍然是一个关键问题。（Ainley and Pratt，1995）。第二个过头的简化是把“技术”或者说“计算机”当做是一个单一的实体。实际上，这不是重点。硬件和软件的特别的部分会对计算机的角色在教室里的表现造成微妙的不微妙的改变。甚至计算机的尺寸和位置也是意义重大的：试想一个拥有大的，可视的显示器的台式机只可能被插入一个教室的角落，相反，一个小的便携的机器适合方便的放在桌上被两个学生阅读。或许又一个更大的对比在被整个学校的课程利用的私人的科学绘图机，用他们独特的数学功能，和一个大的计算机房的非人格性。 为了获得多样化，不被贴别的讨论分散，这里将会把在许多不同技术设备都共同拥有的，在这个领域中许多例子的计算机作为焦点。一般来说。“Computer”这个词会被用作一个占位符，除非注意力被吸引到了特别的区别。我现在想要讨论计算机在教室里的三个主要角色：教学助理，工具，受教育者。计算机作为教学助手或许在数学课堂中利用计算机最明显的方式是作为教学辅助。这样不涉及特别的硬件或者软件，仅仅是履行工作。这样或许与之相符，或者超越了现存的教学资源。计算机被用作了“电子黑板”，示教或者作为一个讨论的引例。一些软件是专门为此而设计的，但是事实上没有软件能用于这种方式。像一个普通的黑板 一样，计算机可以通过一个教师的控制，或者学生们讨论来实现这种方式。计算机通过光盘或者网络或许被用作一种信息资源。交互软件也可以代替数学调查中的实践器具或者纸笔，或者在练习游戏中提供巩固强化技能，给孩子们一些体会。乍看之下，计算机在教育学实践中的影响看起来是无可挑剔的，因为它的功能对于老师和学生来说已经很熟悉了。然而，一个更被思考过的考查揭示了一些困难。一些技术教学辅助的特性导致了它们和他们更熟悉的对应物相比之下不同。他们的动能，实际上它们是很昂贵的（计算量）意味着进入相符的问题对于孩子们来说是残酷的，甚至对于关心他们的孩子玩电脑的时间的家长们，尤其是他们需要筹款买电脑的时候。在学校里，当把在家接触计算机的时间的不平等考虑进去的话，公平的问题变得更加难以解决。（Robyn Zevenbergen 在她的文章里讨论了相似的问题）在家已经接触到计算机的孩子们在学校里能够更有效的建立需要的方法，还有自信心，警觉意识。而且，性别也影响孩子们在学校对计算机设备和程序的熟悉程度。还有，无论哪种方式运用，我们的社会认为大多数教学辅助工具是有价值的。从英国政府给出的简介和其他的硬件规定，把这种魔力的属性归因于作为教学辅助的计算机，尽管接触它们很少会确保在教学标准上的进步。这样给教师很大压力确保利用计算机。在大多数教室，资源的水平意味着唯一的的方式是在限定的时间内接触计算机。这样对课堂上计算机的主要工作产生影响。如果一组学生能够在教室中的计算机工作的话，老师就不能给他们更多的关注。就是这个原因，独立操控的软件是受老师和学生欢迎的。所以，教学软件倾向于被设计成教师自主的。ILS是一个例子。这个系统不仅可以留作业，还可以打分，评估和记录成绩，引导学生到下一个阶段。（Steen 1998，ILS 的描述）。整个学习系统是含糊的，系统或许确实是一个整体，但是一些学习是孤立的没有联系的。这个软件的应用可以有效的让教师充当管理者，偶然事件目击者的角色，然而计算机充当一个教师的角色（至少对学生来说）。计算机老师比一个人类老师有优势。计算机非常耐心，给每一个同学提供适合他们水平的作业，它的工作细节是被完全记录下来的。（给教师留个联系找出上述理论的错误）。一些老师很喜欢这个技术因为它能给孩子们他们想要体验的成功。这个系统也能提供学生进步的细节信息。然而计算机也像一个教室侵入者一样。软件设计者想要展示更多，但是这样的话就超出了老师的控制（见Goldstein，1998）。尽管和像练习本一样的其他资源一样，计算机的交互属性仍然有很大的能力。他的答案的灵活性是可以接受的，使交流和专业判断的分数很低。计算机作为工具与上一节对比，在数学教学中另一个进步是计算机作为一个数学工具。一般的像信息处理系统，电子表格，数据库的增长，经常作为商业用途而不是教学，给老师，学生和计算机提供了不一样的关系。计算机的消极的中立的地位没有使教师的传统角色受到技术的严重威胁。对于年轻的学生来说，这样应用计算和他们对技术先进的期望不相称。因此不仅学习数学思想，也学习关于责任和控制的重要课程。例如，在一个标准教室的活动，一个2年级的学生量身高，记录在电子表格。老师教他们用电子表格做表的过程。当他们看表的时候，他们意识到这个表不像他们想的那样，他们的身高没有被正确的显示。描述表格的时候，Kati说这个表不对，因为Oliva 是实际上最高的，Kim 和Tom也是。他继续说人们量错他们身高是十分错误的。至少两个水平的身高的讨论都是非常有意思的。在这学期的数学课，和计算机一起学习给Kati测量活动的反馈是毫无疑问的。正常的情况是，学生的测量结果记录在纸上，教师检查，不精确就会被忽视。然而，表格的直观性刺激了他们 比较表格数据和他们身体的实际情况的想法。这样给老师一个机会用一种有意义的方式谈谈测量仪器和精确性。Kati对于揭示了她对极限和计算机工具的理解的反应是很有意思的。同组其他的同学认为计算机出错了。老师用这个偶然事件说明了他们和计算机的关系，以及如何使技术工具用的更有效果。学习和利用数学在可利用的工具之间是有有辩证关系的。利用这些工具的课程也是麻烦不断的。John Costello 1992年讨论了应用计算器失败的原因对于英国数学课程有深远的影响，使之在技术上有了革命性的改变。技术改变和课程改变是不同的方式。在技术领域，突然的，彻底的改革有惊人的进步。然而在学校教学过程，是一个保守的社会研究机构。在这种情况下，果断的改变。是被限制的。学校的活动是原始的，任何决策都容易受到个人的和政治偏见的反击。至少在英国，1992年以来，政治的反击比以前要多很多，一个原因是这样看起来很失败，另一个是在外的教育团体明白了介绍新工具和课程改变的关系，下文会阐述这点。在讨论中，一个学生在她入学第一年控告了他的年轻教学生涯的老师愚蠢，因为他提议计算器在整个小学过程中是可以用的。当讲师说说可以在学校用计算器的时候，他的意思是在传统的纸笔课堂，当需要算总数的时候，可以用计算器得到答案。这种情况下，用计算器确实很愚蠢。学生们从来没有想过课堂上，或者教室里的活动会因为这个工具的可利用性有什么改变。另一个故事是关于公共场合的另一个难题。一个11的学生的计算器被他的现代语老师没收了。当她向老师要的时候。老师说这是为她好，几天都没有还。她向数学老师求助，办公室一个热烈的讨论接踵而来。最后。数学老师说计算器在数学学习的重要性就相当于字典在语言学习中一样。有意思的是，为什么字典可以被认为是可接受的工具，而计算器却不是。一个原因是工具的熟悉程度：字典的功能是众所周知的。相反，大多数大人不会用一个表格计算器，实际上只用四功能的计算器在非常局限的方式，所以他们不知道这个工具应该怎么应用。其次，更有影响的因素是应用这个工具的困难，和之前的知识需要。很明显，字典应用的不简单。在学校课程中学生学习有效查字典的技能，然后通过字典学习更多的语言。教师意识到这点，所以他们不懒于教学。同样，大人会因此认为计算机是一个简单的工具：你只需要按键。既然没有教的必要，很明显也没有通过它学习的更多的技能。然而，由于计算机被看做是复杂困难的工具，他们在教育中不是这样。他们对于应用计算机的态度与计算器有很大的不同，即使在数学中有其他的应用软件会令他们传统的数字技能退化的情况，比如说在代数中的形象表示。除了公共观念，计算机工具的复杂性不是非常麻烦。许多教师或许会感到学习空寂和应用高级的软件的需要很迫切，而不是教育问题，占据了他们的路。下面的小学教师设计电子表格工具的这个议论表明了这种迫切。Eve:我以前很海派电子表格它们看起来太复杂了。我从没意识到你可以如此简单的做事情。Martha:我感觉我应该在和孩子们一起应用这个软件之前学会用它。这两个议论都是在工程的初期阶段，在教师试着在教室应用电子表格之前提出的，目的是计划课堂活动。对于他们来说，用他们自己的时间来探索这个软件在建立他们的自信是十分重要的。然而，使他们对电子表格热情的关键因素是和孩子应用和探索软件相似的自信，和他们能够做数学工作的数量。Martha很快就决定了正确的应用软件不必理解菜单上的每个功能，他更关心他的教学方式的改变。计算机作为受教育者把计算机看做是一个潜在的受教育者或许在指导它的角色的时候是奇怪的。尽管这个观点在文章的引言中已经含蓄的表达了。在Seymour Papert的关于logo 的讨论中提出，“教计算机”变成一个程序的自然象征。把学习者放在教师的角色已经在很多领域中应用了，从正常的指导到结构化 的讨论，是一种有力的支持和增加学习的方式。计算机在许多方面与人类导师不同加强了学习的益处。他不通情达理：它遵守程序，不评估或者猜想。它迫使老师清楚明确。因此，一个学生想要利用LOGO画一个图形不得不给出距离和角度的数值。计算机非常有耐心：它从不批判，它会等一整天当其他的过程都被实验过。然而，计算机是是死板的：它限定了交流仅仅通过特殊的语句。转角必须给出数值，向左或者向右，数值只能是小数，不能是分数。最后，计算机提供了它被指挥的反馈：屏幕上的图像可以直观的看出给的指示是多么成功。探索计算机作为受教育者的深远意义一个整体的调查例子是初级电脑项目。给许多小学生和他们的老师充实的时间接触电脑，使之变成课堂上像纸笔一样的自然。这个项目很大的特点是有目的的提升计算机在数学学习的潜力的进步。在这个项目里，学生的和技术的关系是关键因素。学生对他计算机的所有权意识时他们照顾好他们的机器，周期性的带它回家，决定什么时候以及怎样利用。教计算机的象征已经被学生们用于许多不同的计算机环境之中。思考这个问题在这个项目中让学生带笔记本回家许多老师都没经历过。或许，不可理解在每天结束的时候让所有的铅笔回来都是足够困难的！然而，想像一下，作为一个教师当一些或者所有的学生能够带笔记本电脑回家会怎样改变你的练习？你能提供给他们怎样不同种类的工作？他们对于数学会有怎样不同的安排？另一个问题当然是到底多少学生在家能够利用电脑。你或许想要查出谁用了谁没有？什么是“pc自信”？因此这是有公平的问题吗？能克服吗？你试过留过基于计算机的家庭作业吗？什么是图式计算？（例如给学生数据回家让他们在家和父母或者其他人一起计算）下面这个从初级笔记本项目的研究扩展阐述了“教计算机”是可能支持数学学习的一种有力方式。羊圈问题这个课题是使学生们操纵一个有灵活栅栏的羊圈的实体模型，在一道墙边形成一个只有3条边的矩形。他们测量，记录在电子表格，计算围栏的面积，然后画出最大的可能面积（细节问题见Ainley1996, Ainley et al. 1998）在这个过程中，大多数组意识到他们可以不用实体模型。他们可以找一个栅栏的宽度，计算对应的长度。这时。老师开始鼓励学生在电子表格中压缩计算量，利用”教计算机”的方法.。下面两个学生之间的讨论，是这种典型的交互。T：你应该做的是告诉计算机给出宽度，怎么算出长度。因此你知道了宽，你就能算出长了。J:你应该把他们加在一起（指着长和宽的表格）。乘以2（指着宽）S:你怎样加倍？J:这样就算出了长S：0.5加0.5或者其他的J：但是这个不知道（指着宽）J:我知道B11，乘2S:是的J：然后加倍S:加A11J：B11乘2加。S:加A11=C11J:不，我们需要的是如果有30，尽管都加倍了我们应该算出剩下的。教计算机对学生们来说是熟悉的，他们能够立刻解决。他们很快意识到他们需要表达他们的方法是形成电子表格表示法。他们的方法是为栅栏选一个宽（S想要用0.5做宽），加倍之后，长大于30（总长）。思考了一段时间清晰的表达了这个方式，试过了一些不同的公式，他们写下=30 B11*2他们的问题是不知道怎么表达从30中拿走。计算机给出的提示是“公式错误”他们迅速删除了公式然后写=B11*2-30S:你不能减掉30J：30减去它的2倍S：30减去它的2倍他们键入宽为13然后得到长是-4，面积是-52J:很可能是52S：不应该减J:我不知道。B11*2从30中减去，但是时间减去了30.应该是4，我们差不多对了。在这次，学生有效的独自进行必要的计算，但不是以电子表格能接受的方式。想象另一种情况，他们在活动中算出了正确的结果，老师让他们用数学的语言来表达。这样的话，正常的表达法貌似没有什么目的，老师的判断也会很武断。毕竟，；老师会指令“30减”，学生也知道那是相当对的方法。学生对教计算机学习很用心，很明显他们对于电子表格的标准化和明确性是很乐于接受的，他们甚至能够关联定义和他们自己独特的方法。画图工具第二个例子是一个活跃的几何软件。它可以根据几何关系画出基本的像线，点和圈这些简单的图形。（就像垂直平分线）当拖拽点或图形时就变得连续了。第一次用这个软件时学生们自主的作图，但是当他们不得不做的时候，他们不是用眼镜看而是毫无目的的建造。这个原因有人设计一个活动帮助同学们找出几何建造的目的。让一群11岁的孩子画出一个比他们小的多的孩子都能画出的图形。（学生们用的作图工具比现在的初级的局限的多，可能会有点作用）讨论过这个工具应该包含什么形状，他们思考这形状应该怎么形成。每个形状都能在屏幕中移动，他的大小能改变，还可以形成很多次是非常重要的。他们的目的不仅仅是画方块或者圆形，而是教会电脑画图的方式。在演示怎样画等边三角形时，老师也介绍了用宏指令记录他们建图的可能性。对于学生来说，理解画图和作图是困难的，因为屏幕上的可视印象比他们的想象要强得多。教计算机画图对分辨这两种模式很有帮助。一组做了个圆，用眼睛在圆上点了点，连在中间，产生了一个有四根辐条的轮子。然而他们想要改变大小时，图形分开了。解释他所看到的Marco说，点没有粘在一起，电脑不知道。这对作图很重要，他看到了计算机没有“学会”这些点的意义。Marco对于他和计算机的关系的理解支持了他认为存在潜在的困难的数学思想。扩充计算机作为受教育者的影响这些例子表明了计算机作为受教育者可能对支持学生学习数学思想很有帮助，也是他们理解了一些数学思想的属性。尤其是当数学规定和逻辑需要的分离开始发生的时候。这个影响可能改变了一系列技术工具的应用。例如，想象下学生们用计算器解决一个涉及增值税的数值。这个活动给人的直觉是计算器做了全部的工作，学生们做的只是按键。实际上，这样不能精确的说明翻发生了什么。是学生决定了那个过程可以正确的解决问题，那个公式应该输入计算器。换种说法是学生们教会了计算器如何解决问题提供了一个严格的不同意义上的知性的控制。然而，考虑到与计算机交互的复杂性，计算机作为受教育者的印象就太简单了。计算机呗教会接受规定，但是它做的更多。它对这些规定提供反馈，