高中数学选修4-4.doc

高中数学选修4-4坐标系与参数方程一、【课程目标】本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。二、【知识结构网络】 第一章 坐标系【课标要求】1坐标系：了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。2曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。3平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。第一课时直角坐标系一、教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、平面直角坐标系与曲线方程1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？ （2）.在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r的圆的方程是什么?3、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。教师准对问题讲解。刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系（1）、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定（2）、平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定（3）、空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 （4）、抽象概括：在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：A.曲线C上的点坐标都是方程f(x,y)=0的解；B.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。那么，方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线。（5）、学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。4、学生练习：课本P3练习中1、2题。5、建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换 1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响。2、探究：(1)在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x。上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点P(x,y).坐标对应关系为 通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P（x,y）经变换得到点为P(x,y) 这就是变换公式。通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3、例题：课本P4例1.在下列平面直角坐标系中，分别作出以圆点为圆心，6为半径的圆：(1)、x轴与y轴具有相同的单位长度；（2）、X轴上的单位长度为Y轴上单位长度的2倍；（3）、X轴上的单位长度为Y轴上单位长度的倍。教师分析：关键是建立坐标伸缩变换关系式。 学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。4、巩固训练：课本P6页练习题。（三）求轨迹方程1一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程。2在面积为1的中，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程。教师分析，学生练习，准对问题讲评。反思归纳：求轨迹方程的方法和一般步骤。方法：定义法、直接法、相关点法、待定系数法、参数法。一般步骤：（1）、恰当建系；（2）、分析曲线特征，揭示隐含条件；（3）、找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件；（4）列出方程。（四）、小结：本节课学习了以下内容：1如何建立直角坐标系； 2建标法的基本步骤；3什么时候需要建标；4、求轨迹方程的方法和一般步骤；5、在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。（五）、作业：课本P7页3、8、9、11五、教学反思：第二课时 极坐标系的的概念一、教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏60方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础（二）、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用 r 表示线段OM的长度，用 q 表示从OX到OM 的角度，r 叫做点M的极径， q叫做点M的极角，有序数对（r，q）就叫做M的极坐标。特别强调：由极径的意义可知r0;当极角q的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（r，q）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角.3、负极径的规定：在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角，当r0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M （r，q）也可以表示为 （三）、应用导练例1 写出下图中各点的极坐标（见教材P10页）A（4，0） B（2，） C（6， ） D（4， - ） E（6， ） F（-6，）G（-3，）反思归纳：（1）、平面上一点的极坐标是否唯一？（2）、若不唯一，那有多少种表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一表达式。约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，）例2 在极坐标系中，（1） 已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度； 答案：6（2） 已知M的极坐标为（5，q）且q=，写出符合条件的点A的极坐标：0, -20时，点A(5，)的极坐标的一般形式为（5，）（KZ）令-20，解得k=-1, q= -2=-,点A的坐标为（5，-）.变式训练：1、若的的三个顶点为 答案：正三角形。2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）例3 已知Q（r，q），分别按下列条件求出点P 的极坐标。（1）、P是点Q关于极点O的对称点；（2）、P是点Q关于直线的对称点；（3）、P是点Q关于极轴的对称点。答案：（1）（-r，+q）；（2）（r，+-q）；（3）（r ，+2-q）。3、在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。（四）、巩固与练习：课本P10页练习题2（五）、小结：本节课学习了以下内容：1如何建立极坐标系。 2极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位3极坐标中的点与坐标的对应关系。（六）、作业：课本P18页A组1、2 P25页B组3五、教学反思： 第三课时 极坐标与直角坐标的互化一、教学目的： 知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解（二）、讲解新课： 直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0，。3、互化公式的三个前提条件（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;（3）. 两种坐标系的单位长度相同.（三）、举例应用：例1、【课本P10页例2题】把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A(2,) (2)B(4, ) (3)M(-5, ) (4)N(-3,- ). 学生练习，教师准对问题讲评。变式训练：在极坐标系中,已知求A,B两点的距离反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。例2、【课本P11页例3】若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.(1) 已知A的极坐标求它的直角坐标,(2) 已知点B和点C的直角坐标为求它们的极坐标.0,02)学生练习，教师准对问题讲评。变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定0,0)反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。例3、如图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来。（A为教学楼、B为体育馆、C为图书馆、D为实验楼、E为办公楼。AB=60m、AE=50m、CAB=60度、0)、半径为a的圆的极坐标方程学生练习，准对问题讲评。变式训练：求圆心在且过极点的圆的极坐标方程。（三）、巩固与练习：课本P14页练习中2、3（四）、小结：本节课学习了以下内容：1如何求直线和圆的极坐标方程 。2极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。（五）、作业：课本P18页A组 4、11 B组中1六、教学反思： 第五课时 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化一、教学目的：知识目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化教学难点：寻找关于，的等式三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：问题情境：情境1： , , , 分别表示什么曲线？情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？我们知道，同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。（二）、题目探析，体会感受过程，归纳总结1、基础巩固导练（1）.已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线极坐标方程是 .（2）.在极坐标系中，曲线一条对称轴的极坐标方程 .（3）.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点.则|AB|= .（4）.已知三点A(5，)，B(-8，)，C(3，)，则ABC形状为 .（5）.已知某圆的极坐标方程为：2 4con(-/4)+6=0则：A.圆的普通方程 ；B.圆上所有点（x,y）中xy的最大值和最小值分别为 、 .（1）.cos= -1；（2）.；（3）.；（4）.等边三角形；(5).(x-2)2+(y-2)2=2;9、1；2、例题精讲例1、【课本P15页例10】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。（1）、cos=0； （2）、； （3）、学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。例2、【课本P15页例11】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程。（1）、X-Y-2=0；（2）、；（3）、（4）、（5）、 反思归纳：曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。（三）、强化巩固导练：学生练习课本P17页练习题中2、3、5（四）、小结：本节课学习了以下内容：1求曲线的极坐标方程，就是建立以，为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y；2求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。3、要会熟练地进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。（五）、作业：课本P18页A组5、6、10 B组中2课外练习（1）化在直角坐标方程为极坐标方程，（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。五、教学反思：第六课时 圆锥曲线统一的极坐标方程一、教学目的：知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式教学难点：方程中字母的几何意义三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：1、问题情境情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？2、学生回顾（1）求曲线方程的方程的步骤（2）两种坐标互化前提和公式（3）圆锥曲线统一定义（二）、讲解新课： 1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线。那么当0e1时，点的轨迹是什么曲线呢？可以借助极坐标系进行讨论。2、圆锥曲线的统一方程 设定点的距离为，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹的极坐标方程。分析：建系设点列出等式用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：为便于表示距离，取为极点，垂直于定直线的方向为极轴的正方向。表示离心率，表示焦点到准线距离。学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，3、圆锥曲线的统一方程，化为直角坐标方程为，由此可由e与0和1的大小关系确定曲线形状。4、思考交流：学生讨论交流课本P18页的问题：当0e1时，方程（1）表示了什么曲线？角在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？2、例题讲解 例题：2003年10月1517日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。变式训练已知抛物线的焦点为。 （1）以为极点，轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；（2）过取作直线交抛物线于A、B两点，若|AB|16，运用抛物线的极坐标方程，求直线的倾斜角。(三)、巩固练习：从极点O作圆C：r=8cos的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程。答案：r=4cos（四）、小结：本课学习了以下内容：1、我们推导了圆锥曲线统一的极坐标方程，体会和掌握了求曲线的极坐标方程的方法步骤。2、把圆锥曲线统一的极坐标方程化为了直角坐标方程，从而判断了曲线形状，强化了互化公式的应用。3、进一步理解和掌握了圆锥曲线统一的定义。（五）、作业：课本P19页A组中8、9、10 B组中2五、教学反思： 第七课时 常用曲线的极坐标方程一、教学目的：知识目标：进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法能力目标：感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：运用互换公式,求曲线的性质 教学难点：准确求出曲线的直角坐标系方程 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。四、教学过程：（一）、复习引入：学生回顾1求曲线极坐标方程的方法2常用曲线的极坐标方程（二）、基础训练1直线 的斜率是 . 答案：cot2极坐标方程表示的曲线是 。 椭圆3曲线和的交点坐标 4在极坐标系中与圆相切的一条直线方程为 （ C ） A、 B、C、 D、5椭圆的长轴长 . 答案：106. (2009上海理)在极坐标系中，由三条直线，围成图形的面积是_. 【答案】 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】化为普通方程，分别为：y0，yx，xy1，画出三条直线的图象如右图，可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面积为：7（2009安徽理）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线相交于两点A和B，则|AB|=_. 解析 直线的普通方程为，曲线的普通方程（二）、典型题目探析： 例1【课本P19页B组中10】求曲线关于直线对称的曲线方程。学生练习教师准对问题讲评。【rsin=-1】例2、(2009辽宁理)（本小题满分10分）选修44 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。解：（）由 ,从而C的直角（）M点的直角坐标为（2，0）,N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为例3、已知A、B为椭圆上两点，若。（为原点） （1）求证为定值； （2）求面积的最值。（三）、巩固与练习设P、Q是双曲线上的两点，若。 求证：为定值；（四）、小结：本节课学习了以下内容：1熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式进行互化; 2仔细审题,准确把握题目要求;3注意回答题目的的背景是直角坐标还是极坐标.（五）、作业：课本P25A组中3、4、5、 B组中2五、教学反思：第八课时 球坐标系与柱坐标系一、教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标：通过观