2014年辽宁省数学高考理科第16题的探究_洪恩锋.pdf

2014 年 辽 宁 省 数 学 高 考 理 科 第 16 题 的 探 究 洪恩锋 抚顺市第一中学辽宁抚顺113001 多元函数的最值问题一直以来是数学高考卷 中检验考生思维能力和综合素质的重要素材 并在 考查力度上有加强 加深 加活之态势 纵观 2014 年高考卷中的多元函数最值问题 其中辽宁省数学 高考理科第 16 题最具有代表性 其横向入口较宽 纵向难度较大 技巧性 综合性都很强 笔者拟从 一题多解 寻思百通 的解题角度 多方位探究此 题 以飨读者 例 1对于 c 0 当非零实数 a b 满足 4a2 2ab 4b2 c 0 且使 2a b 最大时 3 a 4 b 5 c 的最小值为 1一题多解 1 1从不等式角度分析 不等式是处理关于多元函数最值问题的一把 利器 而 拆 凑 变 造 则是不等式的解题灵魂 具有一定的技巧性和难度 从这 4 个切入点入手 可还原问题的庐山真面目 解法 1 重要不等式 ab a b 2 2 模型 c 4a2 2ab 4b2 2a b 2 3b 2a b 2a b 2 3 2 2b 2a b 2a b 2 3 2 2b 2a b 2 2 5 8 2a b 2 当 2a b 最大时 2a b 8c 槡 5 2b 2a b 解得 a 槡 310 20 槡 c b 槡10 10 槡 c 此时 3 a 4 b 5 c 槡 210 槡 c 槡 410 槡 c 5 c 槡 210 槡 c 5 c 设 t 1 槡 c 0 即求 f t 5t2 槡 210t 其中 t 0 的最小值 得 f t min f 槡10 5 2 即 3 a 4 b 5 c 的最小值为 2 解法 2 柯西不等式 由 4a2 2ab 4b2 c 0 可推得2c 3 a b 2 5 a b 2 从而 2a b 2 槡 3 2 槡3 a b 槡 5 10 槡 5 a b 2 槡 3 2 2 槡 5 10 2 3 a b 2 5 a b 2 3 4 1 20 2c 8 5 c AB 的垂线交 AB 延长线于点 F 则 EDF 是二面角 的平面角 在 t ADE 中 由勾股定理得AE 槡 7 在 ADB 中 AD 槡 6 BD 槡 2 AB 2 由三角形相 似得 DF 槡 3 BF 1 在 AFE 中 先由 EBA 解 得 cosA 槡 5 7 14 再用余弦定理得 EF 1 在 FDE 中 DE EF 1 DF 槡 3 可解得 EDF 6 上述例举了 2014 年浙江省数学高考中对图形 交汇的考查 它要求我们在日常教学中重视对几何 图形的整体把握和化归 注重数形结合思想的运 用 对下一届数学高考复习起到了较好的导向作 用 9 第 8 期洪恩锋 2014 年辽宁省数学高考理科第 16 题的探究 当 2a b 最大时 2a b 2 8c 5 2a 3b 得 a 槡 310 20 槡 c b 槡10 10 槡 c 以下同解法 1 1 2从方程思想角度分析 方程是联系未知变量和已知变量的纽带 通过 方程的某种特征量将未知量与已知量间的相互关 系显性化 从而寻找到解决问题的办法 考虑到已 知条件是二次式 设想 能否构造某个二次方程 借 助二次方程的特征量 来解决问题 解法 3 判别式法 令 2a b t 则 b t 2a 代入 4a2 2ab 4b2 c 0 中 得 4a2 2a t 2a 4 t 2a 2 c 0 即24a2 18at 4t2 c 0 1 方程 1 是关于 a 的二次方程 且有实根 从而 182t2 4 24 4t2 c 0 可得t2 8 5 c 即 2a b 2 8 5 c 再将 2a b 2 8 5 c 代入 4a2 2ab 4b2 c 0 得 2a 3b 解得 a 槡 310 20 槡 c b 槡10 10 槡 c 以下同解法 1 解法 4 化齐次法 设 2a b t 则 2a b t 1 从而 4a2 2ab 4b2 c 12 c 2a b 2 t2 整理得 4 t2 c a2 2 t2 2c ab 4t2 c b2 0 此方程是关于变量 a b 的齐次方程 现将该方程看 成关于 a 的方程 则 1 当 t2 c 时 b 2a 代入 4a2 2ab 4b2 c 0 解得 c 16a2 此时 3 a 4 b 5 c 1 a 5 16a2 最小值为 4 5 2 当 t2 c 时 2 t2 2c 2 4 4 t2 c 4t2 c 60t4 96ct2 0 从而t2 8 5 c 即 2a b 2 8 5 c 解得 a 槡 310 20 槡 c b 槡10 10 槡 c 以下同解法 1 点评化齐次法实质上是将问题转化为准二 次方程问题 虽形散 但神似判别式法 1 3从换元引参角度分析 有些数学问题 由于条件与结论中的变量关系 在形式上较为隐蔽 实质性的逻辑联系不易从表面 形式上发现 即使看出它们的联系 也由于表面形 式的复杂而不易直接求解 这时可进行适当地变量 代换 把问题的条件和结论作形式上的转换 这样 就容易揭示出它们之间的内在联系 把问题化难为 易 化繁为简 解法 5 三角换元法 1 由已知得 2a 1 2 b 2 15 4 b2 c 令 2a 1 2 b 槡ccos 槡15 2 b 槡csin 则 2a 槡 c 槡15 sin 槡ccos b 2槡c 槡15 sin 从而2a b 槡 c 槡15 sin 2槡c 槡15 sin 槡ccos 3槡c 槡15 sin 槡ccos 210 槡 c 5 sin 01 中学教研 数学 2014 年 于是 2a b max 210 槡 c 5 此时4a2 4ab b2 8 5 c 即4a2 4ab b2 8 5 4a2 2ab 4b2 整理得4a2 12ab 9b2 0 即 2a 3b 2 0 得2a 3b 又 2a b 4b 210 槡 c 5 从而 b 10 槡 c 10 于是 3 a 4 b 5 c 2 b 5 c 槡 210 槡 c 5 c 5 1 槡 c 槡10 5 2 2 2 解法 6 三角换元法 2 由 4a2 2ab 4b2 c 0 可推得2c 3 a b 2 5 a b 2 3 从而 2a b 3 2 a b 1 2 a b 4 在式 3 中 令 a b 2c 槡 5 cos a b 2c 槡 3 sin 代入式 4 得 2a b max 4 c 槡 10 此时sin 槡15 4 cos 1 4 解得 a 槡 310 20 槡 c b 槡10 10 槡 c 以下同解法 1 点评上述 2 种三角换元法思路自然 简洁 流畅 正如克莱因所说 一个精彩巧妙的证明 精神 上近乎一首诗 1 4从高观点角度分析 解法 7 拉格朗日数乘法 把题目中的 c 看 成常数 将 2a b 最大转化为 2a b 2 最大 作 拉格朗日函数 L a b 4a2 2ab 4b2 c 2a b 2 令La 8a 2b 4 2a b 0 Lb 2a 8b 2 2a b 0 由此可得 2a 3b 代入 4a2 2ab 4b2 c 0 得 c 10b2 从而 3 a 4 b 5 c 2 b 4 b 1 2b2 1 2 1 b 2 2 2 即 3 a 4 b 5 c 的最小值为 2 点评拉格朗日数乘法是处理在限制条件下 关于最值问题的一种高观点做法 此法运作机械 容易上手 在自主招生和各类竞赛题中备受青睐 2寻思百通 一般而言 在一个问题系统中 未知与已知必 存在着某种内在的联系 有时这种联系比较自然和 显性 从而求解问题相对比较顺畅 自然一些 有时 这种联系比较晦涩和隐性 从而求解问题也相对坎 坷些 回头再看题目 可以把其分为 2 个问题 问题 1对于 c 0 当非零实数 a b 满足 4a2 2ab 4b2 c 0 且使 2a b 最大时 3 个变 量 a b c 之间有何关系 问题 2在问题 1 的结论下 求 3 a 4 b 5 c 的 最小值是多少 俗语云 射人先射马 擒贼先擒王 既然问题 1 中的关键点是使 2a b 最大 那么一切解题工 作都要围绕 2a b 展开 而与 2a b 相关的 形式自然想到有 3 种 2a b 2 2a b 2a b 这是以上几种解法的入手点 为了防止读者 只在 此山中 云深不知处 再看 2014 年辽宁省数学高 考文科第 16 题 对于 c 0 当非零实数 a b 满足 4a2 2ab b2 c 0 且使 2a b 最大时 求 1 a 2 b 4 c 的最小值是多少 2 道题目的本质是一样 的 都可以拆分成问题 1 和问题 2 来处理 实际上 笔者是想通过文科试题拆分后的问题 1 来追溯它的前生 即 2011 年浙江省数学高考理 科第 16 题