【精品课件】113导数的几何意义.ppt

1 1 3导数的几何意义 平均变化率 函数y f x 的定义域为D x1 x2 D f x 从x1到x2平均变化率为 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 从函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 回顾 O A B x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线AB的斜率 A B 割线 切线 T 导数的几何意义 我们发现 当点B沿着曲线无限接近点A即 x 0时 割线AB如果有一个极限位置AT 则我们把直线AT称为曲线在点A处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线AB的斜率 称为曲线在点A处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在x x0处的导数 要注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 概括 函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在点处的切线AT的斜率 A B y f x 切线 T 例题1高台跳水运动中 秒时运动员相对于水面的高度是 单位 1 求运动员在时的瞬时速度 并解释此时的运动状态 在呢 解 在函数的图像上 1 用图形来体现导数 的几何意义 运动员在时的瞬时速度为 同理 上升 下落 这说明运动员在附近 正以大约的速率 2 请描述 比较曲线分别在附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在附近呢 2 请描述 比较曲线分别在附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在附近呢 增 减 增 减 快慢 切线的斜率 附近 瞬时 变化率 正或负 即 瞬时变化率 导数 数形结合 以直代曲 画切线 即 导数 的绝多值的大小 切线斜率的绝对值的大小 切线的倾斜程度 陡峭程度 2 曲线在时 切线平行于x轴 曲线在附近比较平坦 几乎没有升降 曲线在处切线的斜率0在附近 曲线 函数在附近单调 如图 切线的倾斜程度大于切线的倾斜程度 大于 上升 递增 上升 这说明曲线在附近比在附近得迅速 递减 下降 小于 下降 例2 如图表示人体血管中的药物浓度c f t 单位 mg ml 随时间t 单位 min 变化的函数图像 根据图像 估计t 0 2 0 4 0 6 0 8 min 时 血管中药物浓度的瞬时变化率 把数据用表格的形式列出 精确到0 1 血管中药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度 从图象上看 它表示 曲线在该点处的切线的斜率 函数f t 在此时刻的导数 数形结合 以直代曲 以简单对象刻画复杂的对象 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 函数导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 如何求函数y f x 的导数 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求出P点的坐标 利用切线斜率的定义求出切线的斜率 利用点斜式求切线方程 练习 如图已知曲线 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 即点P处的切线的斜率等于4 2 在点P处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 小结 函数在处的导数的几何意义 就是函数的图像在点处的切线AD的斜率 数形结合 切线AD的斜率 3 导函数 简称导数 2 利用导数的几何意义解释实际生活问题 体会 数形结合 以直代曲 的数学思想方法 以简单对象刻画复杂的对象 3 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 4 弄清 函数f x 在点x0处的导数 导函数 导数 之间的区别与联系 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0