线性方程组解的结构研究.docx

线性方程组解的结构研究作为数学的重要分支，高等代数具有为其丰富的内容及广泛的应用价值，而线性方程组又是其重要的组成部分。作为一种基本的工具，线性方程组在数学学科以及其他科学技术领域，如数值分析，最优化理论，经济学，运筹学，控制理论，力学电学，信息科学与技术，管理科学与理论等学科都具有十分重要的应用。而齐线性方程组与非齐线性方程组是线性方程组理论中的两个重要部分，并且齐线性方程组与非齐线性方程组解的在结构上存在密切的联系，可见研究线性方程组解的结构及应用主要是研究齐线性方程组与非齐线性方程组解的结构及应用。 相关概念定义 线性方程组中当时，此方程组称为齐次线性方程组。定义 （线性组合）向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使 。定义 （线性相关）如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关，若一组向量不线性相关，就称为线性无关。定义（极大线性无关组）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得部分向量组都线性相关。极大线性无关组一般不唯一，但是极大线性无关组所含的向量的个数唯一。定义 (向量组的秩）是一组向量，向量组的极大线性无关组所包含向量的个数就称为向量组的秩。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组中极大线性无关组所包含行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组中极大线性无关组所包含列向量的个数的秩，并且矩阵行向量的秩等于列向量的秩。定义 （基础解系）齐次线性方程组的一组解称为该方程组的一个基础解系，如果方程组的任一个解都能表成的线性组合，线性无关。2线性方程组求解的基本方法2.1克拉默法则法如果线性方程组 （1） 的系数矩阵的行列式，那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为： （2）其中是矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式，即，证明 把方程组（1）简写为 ，首先来证明（2）的确是（1）的解。把（2）代入第个方程，左端为因为所以有 =这与第个方程的右端一致。换句话说，把(2)代入方程使它们同时变成恒等式，因(2)确为方程组(1)的解。设是方程组（1）的一个解，于是有个恒等式 (3)为了证明，我们取系数矩阵中第列元素的代数余子式用它们分别乘(3)中个恒等式，有 ， ，这还是个恒等式。把它们分别加起来，即得 (4)等式右端等于在行列式按第列的展开式中把分别换成（），因此，它等于把行列式中第列换成所得的行列式，也就是。再来看(4)的左端。即于是，(4)化为也就是这就是说，如果是方程组的一个解，它必有因而方程组只有一个解。例1 利用cramer法则解方程组解 方程组的系数行列式，因此可以应用cramer法则。由于， ， ， ，所以方程组的唯一解为 2.2 消元法以下三种变换称为线性方程组的初等变换，1用一非零的数乘某一方程；2互换两个方程的位置；3把一个方程的倍数加到另一个方程。所谓消元法，就是用初等变换的方法解线性方程组。定理1 线性方程组 （5）经初等变换，变换后的方程组与原方程组有相同的解。证明显然方程组中的任一方程乘以非零常数或任意两个方程互换位置得到的新方程组与原方程组有相同的解。为简便起见，不妨设把第二个方程组的倍加到第一个方程得到新的方程组 （6）现在设是（5）的任意解。因（5）与（6）的后个方程是一样的，所以满足（6）的后个方程。又满足（5）的前两个方程把第二式的两边乘以，再与第一个方程相加，即为故又满足（6）的第一个方程，因而是（6）的解。类似地可证（6）的任一解也是（5）的解。这就证明了（5）与（6）是同解的。例2 解下列线性方程组解 对方程组的增广矩阵作如下初等变换= 解得其中为自由变量。3齐次线性方程组解的结构研究为书写方便，常将齐次线性方程组 （7）记成向量形式其中或矩阵形式 齐次线性方程组的系数矩阵与其解的结构有联系，即可以根据系数矩阵的秩与未知数的个数的关系，进而推知解的结构。3.1齐线性方程组解的判定 显然齐次线性方程组(7)的解，即齐次线性方程组一定有解。那么除了零解之外是否还存在非零解？定理2 设是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是，亦即的列向量线性相关。证明 先证充分性，因为的秩小于，所以的个行向量组线性相关。当时，只有一个数，即只有一个一维向量，它又是线性相关的向量组，就是零向量，从而。当时，矩阵中有一行是其余各行的线性组合。从这一行依次减去其余各行的相应的倍数，这一行就全变成零，由行列式的性质可知。再证必要性，对作数学归纳法。当时，由可知的仅有的一个元素就是零，因而的秩为零。假设结论对级矩阵已证，现在来看级矩阵的情形。我们以代表的行向量。检查的第一列的元素，如果它们全为零，那么的列向量组含有零向量，当然秩小于。如果这个元素中有一个不为零，譬如说，那么从第二行直到第行减去第一行的适当的倍数，把消成零，即得其中。由可知级矩阵的行列式为零。根据归纳法假定，这个矩阵的行向量线性相关，因而向量组线性相关，这就是说，有不全为零的数使改写一下，有这组数当然也不全为零，从而向量组线性相关，它的秩小于。 推论1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式等于零。 推论2 当时，齐次线性方程组只有零解。 齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（亦是系数矩阵中列向量的个数）。例3解 该方程组的系数矩阵为：=对进行初等行变化 得，所以原方程组只有零解例4 解 该方程组的系数矩阵为 ： = 对进行初等行变换 得可知原线性方程组存在非零解，显然是原线性方程组的一个解齐次线性方程组一定有解，且至少有零解，零解称为齐次线性方程组的平凡解。3.2齐次线性方程组解的结构的讨论设是的解，是任意常数 ，则性质1 是的解。性质2 是。性质3若是的解，则其线性组合也是的解。证明： 故，是的解由性质1可知，齐次线性方程组的全体解向量所组成集合，关于向量的加法运算和数乘运算是封闭的。定理3 已知与有相同秩，则与等价。证明 由于向量组与有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所包含向量个数相等。又向量组包含在向量组之中，所以的极大线性无关组也是的极大线性无关组，即它们有相同的极大线性无关组，又因为向量组与它的极大线性无关组等价，且等价关系具有对称性和传递性，故向量组与向量组等价。基础解系是齐次线性方程组的核心，若知道了基础解系，则等价于知道了齐次线性方程组的任意一个解，因为任意一个解向量都是基础解系的线性组合。所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线性组合：也即：基础解系的所有线性组合构成了齐次线性方程组的解集合（全部解）。若是的基础解系（含有个解向量），则的任意多于个的解向量必定线性相关基础解系的存在性定理4 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于，其中。证明 若,不防设，则方程组（7）与方程（8）同解用组数，就得到的解，也就是的你个解 （8） 则为方程组(2)的一个基础解系。I）线性无关事实上，若，即比较最后个分量，得 因此，线性无关。II）任取方程组（2）的一个解， 可有线性表出事实上，有是方程组（3）的解，知：也是方程组（3）的解，又它与的最后个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即 由I）,II）知，为（3）的一个基础解系。推论 任一与方程组（7）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（7）的基础解系证明 为（7）的一个基础解系，线性无关，且与等价，则，且可由线性表出，即也为（7）的解向量任取方程组的一个解向量，则可由线性表出，从而可由线性表出又线性无关，所以也是基础解系基础解系的求法：我们只要找到齐次线性方程组的个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系. 方程组的任一解即通解可表为 利用向量的相关理论，任一向量组都和它的极大无关组等价，也就是说，任一向量组都可以由它的极大无关组线性表示出来，若已知是线 性方程组的一个基础解系，则的全部解可表为 其中为任意实数. 称该表达式为线性方程组的通解. 定理5 与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。证明 设是齐次线性方程组的一个基础解系，由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等，所以又可设线性无关向量组与基础解系等价，从而可知可由线性表出，进而也是齐次线性方程组的解。又设是齐次线性方程组任意一解，则都可由线性表出，由题设等价性可知，也可由线性表出，所以也是一个基础解系。例5 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解:解 对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换 = 于是原方程组可同解地变为:因此基础解系为,方程组的通解为 （）非齐次方程组(9)可用矩阵乘法表示为：，其中如果对系数矩阵按列分块，方程组又可有向量形式 4 非齐次线性方程组4.1非齐次线性方程组解的判定对于线性方程组(9)的解有多种情况，即无解，唯一解，无穷解。分析方程组(9)的解是否存在，引入向量 则方程组(9)可以表示为线性方程组(9)有解的充分必要条件为向量可以表成向量组的线性组合. 定理6 线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。证明 先证明充分性，设矩阵与有相同的秩，就是说，它们的列向量与有相同的秩，令它们的秩为。中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设是它的一个极大线性无关组显然也是向量组的一个极大线性无关组，因此向量可以经线性表出，既然可以经线性表出，当然它可以经线性表出。再证明必要性，设线性方程组(9)有解，就可以说，可以经过向量组线性表出由此立即推出，向量组与向量组等价，因而有相同的秩，这两个向量组分别是矩阵与的列向量组因此矩阵与有相同的秩，所以方程组有解。定理 7 对于线性方程组(9)，若则当有唯一解，当时有无穷多解。证明 设D是矩阵A的一个不为零的级子式（当然它也是的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设D位于A的左上角.显然，的前行就是一个极大线性无关组，第行都可以经它们线性表出.因此，方程组(9)与 (10)同解当时，根据克莱默法则方程组(10)有唯一解，所以方程组(9)也有唯一解当时，可以将方程组(10)改写为 (11)作为的一个方程组，它的系数行列式。有克莱默法则可知，对于的任意一组值，方程组(11)与方程组(9)都有唯一解。由于自由未知量可以任意取值，所以方程组(9)有无穷多解。综上所述 对于非齐次线性方程组有解 有唯一解有无限多解。4.2 非齐次线性方程组解的结构的讨论定理 8 如果是方程组（8）的一个特解，那么方程组（8）的任一个解都可以表成 （10） 其中是导出组（9）的一个解。因此，对于方程组的任一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，（10）就给出（8）的全部解。证明 显然，有上面的1，是导出组（9）的一个解，令，就得到定理的结论。既然（8）的任一个解都能表成（10）的形式，由2，在取遍（9）的全部解的时候， ，就取遍（8）的全部解。该定理说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了。导出组是一个齐次方程组，在上面已经知道，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表出。因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解：如果是方程组（8）的一个特解，是其导出组的一个基础解系，那么（8）的任一个解都可以表成推论 在方程组（8）有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（9）只有零解。证明 充分性：如果方程组（8）有两个不同的解，那么它的差就是导出组的一个非零解。因之，如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解。 必要性：如果导出组有非零解，那么这个解与方程组（8）的一个解（因为它有解）的和就是（8）的另外一个解，也就是说，（8）不止一个解。因之，如果方程（8）有唯一的解，那么它的导出组只有零解。4.3 非齐次线性方程组求解步骤第一步 对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵化为行阶梯型矩阵，从而根据非齐线性方程组的解的判定定理来判断其解的结构。第二步 若，则进一步把化成最简型，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵化成最简型，求出一般线性方程组的一个特解。第三步 设，把行最简型中个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式，及导出组的基础解系。例6 解方程组 解 对增广矩阵高斯消元化为阶梯形 ，由方程组有解，有1个自由变量。先求相应齐次线性方程组的基础解系，令解出所以齐次方程组通解是再求非齐次线性方程组的特解，令解出特解为。所以，方程组的同解是：5 齐次线性方程组与非齐线性方程组解的关系在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步探讨线性方程组解的结构所谓解的结构问题就是非齐线性方程组与齐次线性方程组之间解的关系问题。如果把一般线性方程组（9）的常数项换成0，就得到齐次线性方程组（8）.方程组（8）称为方程组（9）的导出组。方程组（9）的解与它的导出组（8）的解之间有密切的关系 线性方程组（9）的两个解的差是它的导出组（8）的解设是方程组（9）的两个解，即 它们的差是（）显然有 （）这就是说，是导出组（8）的一个解。 线性方程组（9）的一个解与它的导出组（8）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解设 是（8）的一个解，即 （）又设是导出组（9）的一个解，即 （）显然 6 线性方程组的应用线性方程组作为应用工具在数学学科以及其他科学技术领域，如化学工程，力学电学，信息科学与技术，管理科学与理论等学科都具有十分重要的应用。如在化学工程方面可以用来配平化学方程式化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。一个系统的方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解。5.1在化学中的应用例7下面利用此思路来配平如下化学反应方程式 其中均取正整数。解 上述化学反应式中包含5种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢），于是在中为每一种反应物和生成物构成如下向量： 其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目。为了配平化学方程式，系数必须满足方程组 将其转换为方程组的形式为：求解该齐次线性方程组，得到通解 , 由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取即得配平后的化学方程式： 5.2在生活中的应用例8 一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出营养单位食谱所含的营养（毫克）需要的营养总量（毫克）食物1食物2食物3维生素C102020100钙504010300镁301040200得出每人每次所需这三种食物的量解 设分别表示这三种食物的量。对每一种食物考虑一个向量，其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量：食物1： 食物2：食物3： 需求 则分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程和线性方程组分别为 利用cramer法则解此方程组得因此食谱中应该包含个单位的食物1，个单位的食物2，个单位的食物3在解决交通车流量问题中线性方程组同样有重要的作用。例9 下图中的网络给出了在下午一两点钟,某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式。解 根据网络流模型的基本假设,在节点(交叉口)A,B,C,D处,我们可以分别得到下列方程: 此外,该网络的总流入(20+30+50)等于网络的总流出(30+40+10),化简得.把这个方程与整理后的前四个方程联立,得如下方程组: 取，则网络的流量模式表示网络分支中的负流量表示与模型中指定的方向相反. 由于街道是单行道,因此变量不能取负值. 这导致变量在取正值时也有一定的局限.5.3 在经济中的应用 在国民经济中线性方程组有重要的作用，例10 如假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分配见表1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例，能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业，10%分配到机械行业，余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必须等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用表示。试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。 经济系统的平衡产出分配购买者五金化工能源机械0.20.80.4五金化工0.30.10.4能源0.50.10.2机械列昂惕夫的“交换模型”：假设一个国家的经济分为很多行业，例如制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等。我们知道每个部门一年的总产出，并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易”。把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格（price）.列昂惕夫证明了如下结论：存在赋给各部门总产出的平衡价格，使得每个部门的投入与产出都相等。解 从表中可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第1行说明五金化工