12用奇偶函数与图象的平移.ppt

奇 偶 函数与图象的平移 复习回顾 奇函数 偶函数 1 y f x 向右平移m个单位得到y f x m y f x m 向左平移m个单位得到y f x 2 y f x 向左平移m个单位得到y f x m y f x m 向右平移m个单位得到y f x 满足f x f x 其图象关于原点 即点 0 0 对称 满足f x f x f x 其图象关于y轴 即直线x 0 对称 一 函数的奇偶性 二 图象的平移 m 0 此公式经常用于解关于偶函数的不等式 回顾练习 1 已知定义在 3 3 上的偶函数f x 在 0 3 上是增函数 则使不等式f 2x 1 f x 2 成立的实数x的取值范围是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 解 f x 是偶函数 f 2x 1 f x 2 等价于f 2x 1 f x 2 又 f x 在 0 3 上是增函数 2x 1 x 2 2x 1 2 x 2 2 2x 1 x 2 2x 1 x 2 0 即 3x 3 x 1 0 解得 1 x 1 又 f x 定义在 3 3 上 综上 x的取值范围是 1 x 1 D 回顾练习 2 已知偶函数f x 在 0 上单调递减 则使f 2x f 的x取值范围是 3 定义在 1 1 上的奇函数 若m n 1 1 m n 0时有 则不等式f x f 2x 1 0的解集是 x 0 x 4 设f x 是定义在 1 1 上的偶函数在 0 1 上增 若f a 2 f 4 a2 0 则a的取值范围为 5 已知奇函数f x 定义域为 1 1 且为增函数 若f 2a f a 1 0 求a的范围 新课内容 函数f x m 关于 1 若函数f x 为偶函数 则 函数f x m 关于 直线x m对称 直线x m对称 函数f x 关于 2 若函数f x m 为偶函数 则 函数f x 关于 直线x m对称 直线x m对称 3 若函数f x m 为偶函数 则 函数f x m 关于 4 若函数f x 为奇函数 则 函数f x m 关于 点 m 0 对称 点 m 0 对称 函数f x 关于 5 若函数f x m 为奇函数 则 函数f x 关于 点 m 0 对称 点 m 0 对称 6 若函数f x m 为奇函数 则 结论 例已知y f x 1 是偶函数 则函数f x 图象的对称轴是 A x 1B x 1C x 0 5D x 0 5 故选B 解 y f x 1 是偶函数 y f x 1 图象关于y轴对称 函数f x 是由y f x 1 向左平移1个单位 函数f x 图象的对称轴是x 1 B 题型一 判断函数的对称轴 练习 1 已知y f x 1 是偶函数 则函数f x 图象的对称轴是 A x 1B x 1C x 0 5D x 0 5 A 2 已知y f x 是偶函数 则函数f x 1 图象的对称轴是 A x 1B x 1C x 0 5D x 0 5 B 3 已知y f 2x 1 是偶函数 则函数f 2x 图象的对称轴是 A x 1B x 1C x 0 5D x 0 5 B 4 已知f 2x 1 是偶函数 则y f 2x 的图象的对称轴是直线 5 已知f x 为偶函数 则函数f x 1 的图象一定关于直线对称 x 1 2014 濮阳二模 已知函数f x 1 是定义在R上的奇函数 若对于任意给定的不等实数x1 x2 不等式 x1 x2 f x1 f x2 0恒成立 则不等式f 1 x 0的解集为 A 1 B 0 C 0 D 1 故选C 解 不等式 x1 x2 f x1 f x2 0恒成立 函数f x 是定义在R上的减函数 又 函数f x 1 是定义在R上的奇函数 函数f x 1 过点 0 0 函数f x 过点 1 0 f 1 0 f 1 x 0 f 1 1 x 1 x 0 题型二 利用单调性解不等式 解答本题关键点有三处 判断出函数f x 的单调性 利用奇函数的性质得到函数f x 过 1 0 点 即f 1 0 解不等式最终用单调区间求解 必须有这种数学思想 函数f x 是定义在R上的减函数 1 已知函数f x 1 是定义在R上的奇函数 若对于任意给定的不等实数x1 x2 不等式 x1 x2 f x1 f x2 0恒成立 则不等式f x 2 0的解集为 A 1 B 3 C 0 D 1 练习 解 y f x 1 是定义在R上的奇函数 函数y f x 关于点 1 0 对称 f 1 0 x1 x2时 不等式 x1 x2 f x1 f x2 0恒成立 y f x 为R上的增函数 f x 2 0 f 1 x 2 1 x 3 不等式f x 2 0的解集为 3 故选B 练习 2 2013 济宁二模 已知函数y f x 1 是偶函数 当x 1 时 函数y f x 单调递减 设a f 1 b f 2 c f 则a b c的大小关系为 A c a bB a b cC a c bD c b a 解 y f x 1 为偶函数 f x 的图象关于x 1对称 又f x 在 1 上单调递减 f x 在 1 上单调递增 f x 的图象关于x 1对称 b f 2 f 0 c f f 而 1 0 1 f f 0 f 1 即c b a 故选D D 练习 故选B B 3 2013 东莞二模 定义在R上的函数f x 满足下列三个条件 f x 3 对任意3 x1 x2 6 都有f x1 f x2 y f x 3 是偶函数 则下列结论中正确的是 A f 3 f 7 f 4 5 B f 3 f 4 5 f 7 C f 7 f 4 5 f 3 D f 7 f 3 f 4 5 解 f x 3 函数周期为6 故f 7 f 6 1 f 1 又 y f x 3 为偶函数 y f x 的图象关于x 3轴对称 f 1 f 5 又对任意3 x1 x2 6 都有f x1 f x2 f x 在 3 6 上是增函数 f 3 f 4 5 f 5 f 1 f 7 练习 A 4 设y f x 1 是R上的奇函数 若y f x 在 1 上是增函数 且f 0 1 则满足f m 1的实数m的范围是 A 2 B 1 C 2 0 D 0 解 y f x 1 是R上的奇函数 y f x 1 关于 0 0 对称 故y f x 关于 1 0 对称 f 2 f 0 1 f m 1 f 2 又 y f x 在 1 上是增函数 y f x 在R上是增函数 m 2 故选A 例2 2014 濮阳二模 定义在R上的函数y f x 满足 对于在 a 上任意的不等实数x1 x2 不等式 x1 x2 f x1 f x2 0恒成立 函数y f x a 是偶函数 当x1 a x2 a 且 x1 a x2 a 时 有 A f x1 f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D f x1 f x2 f x1 f x2 练习 解 方法一利用单调性 y f x a 是偶函数 y f x 关于x a对称 x0恒成立 y f x 在 a 上是增函数 在y f x 在 a 上是减函数 x1 a x2 a x1 a x2 a 故选A f 2a x1 f x1 a x1 x2 a 2a x1 x2 且2a x1 a x2 a a 上是减函数 f 2a x1 f x2 f x 关于x a对称 例2 2014 濮阳二模 定义在R上的函数y f x 满足 对于在 a 上任意的不等实数x1 x2 不等式 x1 x2 f x1 f x2 0恒成立 函数y f x a 是偶函数 当x1 a x2 a 且 x1 a x2 a 时 有 A f x1 f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D f x1 f x2 f x1 f x2 练习 解 方法二利用对称性 y f x 关于x a对称 x0恒成立 y f x 在 a 上是增函数 在y f x 在 a 上是减函数 x1 a x2 a x1 a x2 a x1 x2在直线x a两侧 且x2离直线x a更远一些 故选A y f x a 是偶函数 1 定义在R上的函数y f x 在 2 上是增函数 且函数y f x 2 是奇函数 当x1 2 x2 2 且 x1 2 x2 2 时 则f x1 f x2 的值 A 可能为0B 恒大于0C 恒小于0D 可正可负 练习 B 2 2013 渭南二模 已知f x 在 0 2 上是增函数 f x 2 是偶函数 那么正确的是 A f 1 f 2 5 f 3 5 B f 3 5 f 1 f 2 5 C f 3 5 f 2 5 f 1 D f 2 5 f 1 f 3 5 3 已知定义域为R的函数y f x 在 1 上是增函数 且函数y f x 1 是偶函数 那么 A f 0 f 1 f 4 B f 0 f 4 f 1 C f 4 f 1 f 0 D f 1 f 0 f 4 A 4 函数f x 2 是偶函数 f x 2 在 0 上为减函数 则f 1 f 0 f 3 的大小关系为 f 3 f 0 f 1 新课内容 结论 1 若函数f x a 为偶函数 则函数f x a f x a 2 若函数f x a 为奇函数 则函数f x a f x a 证明 1 设F x f x a F x 为偶函数 F x F x f x a f x a 一方面 由f x a f x a 可得 函数f x 关于对称 另一方面 由f x a 为偶函数可得f x a 关于对称 进一步得到函数f x 关于对称 事实上 直线x a y轴 直线x a 3 若函数f x 为偶函数 则函数f x a f x a 4 若函数f x 为奇函数 则函数f x a f x a 证明 3 设t x a f x 为偶函数 f t f t f x a f x a 例1已知函数f x 1 是奇函数 f x 1 是偶函数 且f 2 4 则f 2014 解 函数f x 1 是奇函数 题型三 求函数值 函数f x 关于点 1 0 对称 f x 1 是偶函数 函数f x 关于直线x 1对称 f x f 2 x f x f 2 x f 2 x f 2 x f 4 x f 2 x 2 f 2 x 2 f x f 8 x f 4 x 4 f x 4 f 4 x f x f x 的周期为8 f 2014 f 215 8 6 f 6 f 8 2 f 2 f 2 x f 2 x f 2 f 2 f 2 f 2 4 推导出这个关系式很关键 例2定义在R上的偶函数f x 满足f x 1 是奇函数 则f 2009 A 0B 2008C 2009D 2008 解 f x 1 是奇函数 得到f x 1 f x 1 又 函数f x 是偶函数 所以f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x 函数的周期是4 f 2009 f 502 4 1 f 1 当x 1时 f 1 2 f 1 即f 1 f 1 f 1 0 f 2009 0 故选A A 题型三 求函数值 推导出这个关系式很关键 练习 1 已知f x 的定义域为R 且满足 f x 是偶函数 f x 1 是奇函数 若f 0 5 3 则f 2012 f 2014 f 2 5 等于 A 9B 9C 3D 3 解 f x 1 是奇函数 f x 1 f x 1 又 f x 是偶函数 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 4 f x 的最小正周期为4 f 2012 f 503 4 f 0 f 2014 f 503 4 2 f 2 f x 1 f x 1 f 2 f 0 即f 2 f 0 0 f 2012 f 2014 0 又 f x 1 f x 1 且f x 是偶函数 f 2 5 f 1 5 4 f 1 5 f 1 0 5 f 0 5 1 f 0 5 f 0 5 3 综上所述 f 2012 f 2014 f 2 5 3 故选 C C 推导出这个关系式很关键 练习 2 已知函数y f x 是R上的奇函数 函数y g x 是R上的偶函数 且f x g x 2 当0 x 2时 g x x 2 则g 10 5 的值为 A 1 5B 8 5C 0 5D 0 5 解 函数y f x 是R上的奇函数 并且f x g x 2 f x f x 即g x 2 g x 2 又 函数y g x 是R上的偶函数 g x 2 g x 2 g x 2 g x 2 g x 2 g x 2 g x 4 g x 2 2 g x 2 2 g x g x 8 g x 4 4 g x 4 g x g x g x 是周期函数 并且周期为8 g 10 5 g 8 2 5 g 2 5 g 2 0 5 g 0 5 2 g 1 5 g 1 5 当0 x 2时 g x x 2 g 1 5 1 5 2 0 5 g 10 5 g 1 5 0 5 故选D D 推导出这个关系式很关键 练习 3 已知函数f x 是R上的奇函数 g x 是R上的偶函数 且g x f x 1 则f 2012 的值为 A 2B 0C 2D 2 解 g x f x 1 是R上的偶函数 f x 1 f x 1 f x 是在R上的奇函数 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x f x 的周期为4 f 2012 f 4 503 f 0 0 故选B D 推导出这个关系式很关键 练习 4 2011 温州二模 已知定义在R上的函数y f x 为奇函数 且y f x 1 为偶函数 f 1 1 则f 3 f 4 1 5 已知定义在R上的函数y f x 为偶函数 且y f x 1 为奇函数 f 0 2 则f 4 f 5 2 达标检测 1 已知函数y f x x是偶函数 且f 2 1 则f 2 A 1B 1C 5D 5 D 2 设偶函数f x 满足f x x2 x 6 x 0 则f x 2 0的解集 A 2 4 B 0 4 C 0 6 D 2 2 B 3 2011