函数的性质知识点总结与题型讲解.doc

考点05 函数的性质（单调性、奇偶性）【高考再现】热点一 函数的单调性1.（2012年高考（天津文）下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为（）ABCD2.（2012年高考（陕西文）下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）ABCD【答案】D【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.3.（2012年高考（安徽文）若函数的单调递增区间是,则【方法总结】1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解(2)可导函数则可以利用导数解之但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0，若函数是增函数，则f(x1)f(x2) x10则-x0,又因为当x0时f(x)=-x(x+1)故f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)=f(x)设x0又因为当x0时f(x)=-x(x-1)故f(-x)=-x(-x-1)=-x(x+1)=f(x)综上得，对任意xR,有f(-x)=f(x)故f(x)为偶函数14(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)设函数是定义在上的减函数，并且满足，（1）求的值， （2）如果，求x的取值范围。（12分）二能力拔高 15(湖北省八校2012届高三第一次联考理)定义在R上的函数满足：对于任意的且当，设M、N分别为在-2012，2012的最大值与最小值，则M+N的值为（ ）A4022B4024C2011D2012因此，则函数的最大值为，最小值为，所以，故选A。 16.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)设函数，若时，0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A（0，1） B（-，0） C（-，0） D（-，1）18. (湖北文科数学冲刺试卷（二）)答案：B 解析：由题意得，设，则，又函数为奇数，所以，即，利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数，所以函数，故答案选B20.(山西省2012年高考考前适应性训练理)已知的单调减区间为（ ） A B C D21. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)已知定义在R上的函数是增函数，且为奇函数，若实数s,t满足不等式，则当1s4时，3t+s的取值范围是A. B. C.4,10 D.4,16【答案】B【解析】本题考查函数的性质、简单的线性规划问题，考查数形结合的思想。由所给函数性质有，于是，再结合，由线性规划方法，可求得，选B23. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）三提升自我25.定义在（1，1）上的函数f(x)满足：；当时，有 ；若，Rf(0)则P，Q ，R的大小关系为AB C D不能确定1已知函数是上的偶函数，则实数_；不等式 的解集为_ 2.定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立 ，则称为函数的一个承托函数.现有如下函数： 则存在承托函数的的序号为 .（填入满足题意的所有序号）【答案】 【解析】 对于，结合函数的图象分析可知，不存在函数使得对一切实数都成立，不存在承托函数；3.已知函数（m为常数)，对任意的恒成立.有下列说法：m=3；若(b为常数)的图象关于直线x=1对称，则b=1;已知定义在R上的函数F(x)对任意x均有成立，且当时，；又函数 (c为常数），若存在使得成立，则c的取值范围是(一1，13).其中说法正确的个数是(A)3 个 （B)2 个 （C)1 个 （D)O 个一、选择题(8324)1函数y=x2+bx+cx0,+是单调函数的充要条件是 ( )A.b0 B.b0 C.b0 D.b253定义在R上的函数f(x)、g(x)都有反函数,且f(x+1)和g-1(x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(15)=2000,则f(16)的值为 ( )A.1999 B.2000 C.2001 D.20024函数f(x)=x-在(1，+)上是增函数，则实数a的取值范围是 ( )A.a0 B.a1 C.a-2 D.a-15已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),f(1-x)=f(1+x),且在-1,0上单调递增.设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a、b、c的大小关系是 ( )A.abc B.acb C.bca D.cba6函数y=f(x)有反函数y=f1(x)，把y=f(x)的图象在直角坐标平面内绕原点顺时针方向转动90后得到的图象对应的函数是 ( )A.y=f1(-x) B.y=f1(x) C.y=-f1(-x) D.y=-f1(x)7定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x3,5时，f(x)=2-|x-4|,则 ( )A. B.f(sin1)f(cos1)C. D.f(cos2)f(sin2)8已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)是增函数，当x0时，f(x)是减函数;函数f(x)的最小值为lg2;当-1x1时，f(x)是增函数;f(x)无最大值，也无最小值.其中正确的命题是 .12函数f(x)=(为常数)的图象过点(4,),那么f-1(8)的值是 .13函数f(x)=loga(x+)(x1)(0a1)的反函数是f1(x)= .三、解答题(51050)14已知关于n的不等式对一切大于1的自然数n都成立,试求实数a的取值范围.15f(x)是定义在(0,+)上的增函数，且f()=f(x)-f(y).(1)求f(1)的值.(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()0)，试判定函数F(x)=()f(x)-x在区间-b,-a上的单调性，并加以证明.18给定函数f(x)=loga|logax|(a0且a1).(1)求函数的定义域.(2)当f(x)1时，求x的取值范围.(3)当x1时，判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论.四、思考与讨论(11)19设a0,f(x)=是R的偶函数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+)上为增函数.参考答案1A 函数y=x2+bx+c的单调增区间是-,+.所求函数的定义域为x0,+,此函数单调的充要条件是-0b0.2A 依题意，-2m-16，则M=f(1)=9-m25.3D 设y=g-1(x-2)，由反函数的概念得x=g(y)+2,即y=g-1(x-2)的反函数为y=g(x)+2,从而f(x+1)=g(x)+2.当x=15时，f(16)=g(15)+2=2002.故选D.4D 由单调性的定义即得.5D 由f(x-1)=f(x+1)可推出f(x+2)=f(x),即f(x)以2为一个周期.a=f(3)=f(1)=f(-1),b=f()=f(-2) c=f(2)=f(0),又f(x)在-1,0上单调递增,cba.6 设(x,y)是y=f(x)图象上任意一点，当把y=f(x)的图象绕原点顺时针方向转动90后其对应点为(X,Y)，则X9i=(x+yi)(-i)=y-xi，故y=X,x=-Y,于是X=f(-Y)-Y=f-1(X)即y=-f1（x）.7D f(x)=f(x+2),F=2是其一个周期.设x-1,1,则x+43,5,f(x)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|其图象如图所示.A:0sin1,B:0cos1sin11,f(sin1)sin(-2)sin0fsin(-2),即:f(cos2)f(sin2)故正确答案是D.8 当x0时，f(x)=-()-x，设f-1（-9）=a，则f(a)=-9-()a=-9a=2.9a-2或a2 f(-2)f(a)f(|-2|)f(|a|)|a|2.10(-,-1)，1,3 作函数u(x)=|x2-2x-3|的图象判断.11 f(x)是偶函数，且f(x)=lg(|x|+)lg2，可由f(x)的奇偶性确定单调区间，即先判断出f(x)在(0，+)上的单调性.12 将(4,)代入f(x)=,得=,=,f(x)=8得x=.13(ax+a-x)(x0) 注意注明反函数的定义域.14解 设f(n)=(nN且n2),f(n+1)-f(n)=0,f(n)是关于n的单调增函数，且当n2时,f(n)f(2)=,故要使f(n)loga(a-1)+对一切n2,nN恒成立,则需且仅需loga(a-1)+,即loga(a-1)0,0a-1,解得1a.故所求a的取值范围为a|1a0.由f(6)=1及f(x+3)-f()2，得fx(x+3)2f(6)，即fx(x+3)-f(6)f(6)，即f f(6).f(x)在(0，+)上递增，0，解得 0x.16解 (1)x1,010()21.0y1,且=x=.f1（x）=(0x0)，f(x)在区间-b,-a上单调递减，f(x)-x在-b,-a上也单调递减，故F(x)=()f(x)-x在-b,-a上单调递增.证明(略)(提示:作商与1比较大小).18解 (1)由|logax|0，知函数的定义域为(0，1)(1,).(2)由loga|logax|1，则当0a1时，0|logax|1时，|logax|a，解得x(0,a-a)(aa,+).(3)任取1x1logx1x1=1|logx1x2|1，当0a1时，f(x2)-f(x1)1时,f(x2)-f