2013年高考理科数学上海卷试题与答案word解析版.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1计算：_.2设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.3若，则xy_.4已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若3a22ab3b23c20，则角C的大小是_(结果用反三角函数值表示)5设常数aR.若的二项展开式中x7项的系数为10，则a_.6方程3x1的实数解为_7在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为_8盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用最简分数表示)9设AB是椭圆的长轴，在C在上，且CBA.若AB4，BC，则的两个焦点之间的距离为_10设非零常数d是等差数列x1，x2，x19的公差，随机变量等可能地取值x1，x2，x19，则方程D_.11若cosxcosysinxsiny，sin2xsin2y，则sin(xy)_.12设a为实常数，yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)9x7.若f(x)a1对一切x0成立，则a的取值范围为_13在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y21(x3)、两条直线y1和y1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为.过(0，y)(|y|1)作的水平截面，所得截面面积为8.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_14对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)y|yg(x)，xI已知定义域为0,3的函数yf(x)有反函数yf1(x)，且f1(0,1)1,2)，f1(2,4)0,1)若方程f(x)x0有解x0，则x0_.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15设常数aR，集合Ax|(x1)(xa)0，Bx|xa1若ABR，则a的取值范围为()A(，2) B(，2 C(2，) D2，)16钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件17在数列an中，an2n1.若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cijaiajaiaj(i1,2，7；j1,2，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()A18 B28 C48 D6318在边长为1的正六边形ABCDEF中，记为A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3、a4、a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1、d2、d3、d4、d5.若m、M份别为(aiajak)(drdsdt)的最小值、最大值，其中i，j，k1,2,3,4,5，r，s，t1,2,3,4,5，则m、M满足()Am0，M0 Bm0，M0 Cm0，M0 Dm0，M0三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，在长方体ABCDABCD中，AB2，AD1，AA1.证明直线BC平行于平面DAC，并求直线BC到平面DAC的距离20甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每一小时可获得的利润是元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润21已知函数f(x)2sin(x)，其中常数0.(1)若yf(x)在上单调递增，求的取值范围；(2)令2，将函数yf(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图像区间a，b(a，bR，且ab)满足：yg(x)在a，b上至少含有30个零点在所有满足上述条件的a，b中，求ba的最小值22如图，已知双曲线C1：y21，曲线C2：|y|x|1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“C1C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线ykx与C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点”；(3)求证：圆x2y2内的点都不是“C1C2型点”23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分给定常数c0，定义函数f(x)2|xc4|xc|.数列a1，a2，a2，满足an1f(an)，nN*.(1)若a1c2，求a2及a3；(2)求证：对任意nN*，an1anc；(3)是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1答案：根据极限运算法则，.2答案：2m2.3答案：0x2y22xyxy0.4答案：arccos3a22ab3b23c20c2a2b2，故cosC，C.5答案：2Tr1,2(5r)r7r1，故10a2.6答案：log34原方程整理后变为32x23x803x4xlog34.7答案：联立方程组得(1)1，又0，故所求为.8答案：9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1.9答案：(如图)不妨设椭圆的标准方程为1，于是可算得C(1,1)，得b2，2c.10答案：30|d|Ex10，D11答案：cos(xy)，sin2xsin2y2sin(xy)cos(xy)，故sin(xy).12答案：(，f(0)0，故0a1a1；当x0时，f(x)9x7a1，即6|a|a8，又a1，故a.13答案：2216根据提示，一个半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面面积为8的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为122282216.14答案：2根据反函数定义，当x0,1)时，f(x)(2,4；x1,2)时，f(x)0,1)，而yf(x)的定义域为0,3，故当x2,3时，f(x)的取值应在集合(，0)1,2(4，)，故若f(x0)x0，只有x02.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15答案：B集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B.16答案：B根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B.17答案：Aai，jaiajaiaj2ij1，而ij2,3，19，故不同数值个数为18，选A.18答案：D作图验证知，只有0，其余均有0，故选D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(1,0,1)，B(1,2,1)，C(0,2,1)，C(0,2,0)，D(0,0,0)设平面DAC的法向量n(u，v，w)，则n，n.因为(1,0,1)，(0,2,1)，n0，n0，所以解得u2v，w2v.取v1，得平面DAC的一个法向量n(2,1，2)因为(1,0，1)，所以n0，所以n.又BC不在平面DAC内，所以直线BC与平面DAC平行由(1,0,0)，得点B到平面DAC的距离d，所以直线BC到平面DAC的距离为.20解：(1)生产该产品2小时的利润为100(5x1)2200(5x1)由题意，200(5x1)3 000，解得x或x3.又1x10，所以3x10.(2)生产900千克该产品，所用的时间是小时，获得利润为，1x10.记f(x)5,1x10，则f(x)，当且仅当x6时取到最大值最大利润为90 000457 500元因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元21 解：(1)因为函数yf(x)在上单调递增，且0，所以，且，所以0.(2)f(x)2sin2x，将yf(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y2sin21的图像，所以g(x)2sin21.令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以两个相邻零点之间的距离为或.若ba最小，则a和b都是零点，此时在区间a，a，a,2a，a，ma(mN*)上分别恰有3,5，2m1个零点，所以在区间a,14a上恰有29个零点，从而在区间(14a，b上至少有一零点，所以ba14.另一方面，在区间上恰有30个零点，因此，ba的最小值为.22解：(1)C1的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：x或y，其中|k|.(2)因为直线ykx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|x|1，得|k|1.若原点是“C1C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点考虑过原点与C2有公共点的直线x0或ykx(|k|1)显然直线x0与C1无公共点如果直线为ykx(|k|1)，则由方程组得x20，矛盾所以直线ykx(|k|1)与C1也无公共点因此原点不是“C1C2型点”(3)记圆O：x2y2，取圆O内的一点Q.设有经过Q的直线l与C1、C2都有公共点显然l不垂直于x轴，故可设l：ykxb.若|k|1，由于圆O夹在两组平行线yx1与yx1之间，因此圆O也夹在直线ykx1与ykx1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|1.因为l与C1有公共点，所以方程组有实数解，得(12k2)x24kbx2b220.因为|k|1，所以12k20，因此(4kb)24(12k2)(2b22)8(b212k2)0，即b22k21.因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d，所以d2，从而b22k21，得k21，与|k|1矛盾因此，圆x2y2内的点都不是“C1C2型点”23解：(1)a22，a3c10.(2)f(x)当anc时，an1anc8c；当c4anc时，an1an2an3c82(c4)3c8c；当anc4时，an1an2anc82(c4)c8c.所以，对任意nN*，an1anc.(3)由(2)，结合c0，得an1an，即an为无穷递增数列又an为等差数列，所以存在正数M，当nM时，anc，从而，an1f(an)anc8.由于an为等差数列，因此其公差dc8.若a1c4，则a2f(a1)a1c