大学经典课件之高等数学——11-习题课.pdf

第十一章 无穷级数习题课 第十一章 无穷级数习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 xu n n 求和求和 xS 展开展开 在收敛域内进行在收敛域内进行 0 xu n n 基本问题基本问题 判别敛散 求收敛域 求和函数 级数展开 判别敛散 求收敛域 求和函数 级数展开 为傅里叶级数为傅里叶级数 xnbxnaxu nnn sincos 当当 为傅为傅里叶里叶系数系数 时时 时为数项级数时为数项级数 0 xx 当当 n nn xaxu 当当 时为幂级数时为幂级数 nn ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 数项级数的审敛法一 数项级数的审敛法 1 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2 正项级数审敛法正项级数审敛法 必要条件必要条件0lim n n u 不满足不满足 发 散发 散 满足满足 比值审敛法比值审敛法 lim n 1 n u n u 根值审敛法根值审敛法 n n n ulim 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 任意项级数审敛法任意项级数审敛法 Leibniz判别法判别法 若若 0 1 nn uu且且 0lim n n u 则交错级数则交错级数 n n nu 1 1 收敛收敛 概念概念 且余项且余项 1 nn ur 1n n u 若收敛若收敛 1n n u 称 绝对收敛 称 绝对收敛 1n n u 若发散若发散 1n n u称条件收敛称条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 为收敛级数为收敛级数 1n n u 二 求幂级数收敛域的方法二 求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数标准形式幂级数 先求收敛半径先求收敛半径 R 再讨论再讨论 Rx 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限求部分和式极限 三 幂级数和函数的求法三 幂级数和函数的求法 求和求和 逐项求导或求积分逐项求导或求积分 逐项求导或求积分逐项求导或求积分 n n n xa 0 xS 对和式积分或求导对和式积分或求导 xS 难难 直接求和直接求和 直接变换直接变换 间接求和间接求和 转化成幂级数求和转化成幂级数求和 再代值 求部分和等 再代值 求部分和等 分解 拆项相消 套用公式 在收敛区间内 分解 拆项相消 套用公式 在收敛区间内 数项级数 求和 数项级数 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 n n nx a 0 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数 1 1 1 0 x x n n 1 1 1 2 0 x x n nn 5 0 x n n e n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 的形式 逐项求导化为的形式 逐项求导化为 1 3 1 n n n x 的形式 逐项求积分化为的形式 逐项求积分化为 1 1 4 1 n n xn 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1ln 9 1 x n x n n x n x n n n sin 12 1 6 0 12 x n x n n n cos 2 1 7 0 2 1ln 1 8 1 1 x n x n n n 四 函数的幂级数和傅里叶级数展开法四 函数的幂级数和傅里叶级数展开法 直接展开法直接展开法 间接展开法间接展开法 利用已知函数的展开式及幂级数 的性质 利用已知函数的展开式及幂级数 的性质 利用泰勒级数利用泰勒级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法 1 2 1 1 2 xx n xxe nx LL 常见函数展开式常见函数展开式 LL 12 1 5 1 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n x LL 2 1 4 1 2 1 1cos 2 42 n x xxx n n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 x L L L n x n n xx x 1 1 2 1 1 1 2 1ln x LL n x xxx n n 132 1 3 1 2 1 1 1 x 1 周期为 1 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 的函数的傅里叶级数及收敛定理 sincos 2 1 0 xnbxna a xf nn n 其中其中 xxnxfandcos 1 xxnxfbndsin 1 2 1 L n 2 1 L n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfad 1 0 2 函数的傅里叶级数展开法函数的傅里叶级数展开法 xff xxfxf xxf xs 0 0 2 1 0 0 2 1 为间断点 为连续点 为间断点 为连续点 则和函数为 则和函数为 余弦级数 2 周期为 余弦级数 2 周期为 2 的奇 偶函数的傅里叶级数 的奇 偶函数的傅里叶级数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 周期为 3 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式 xf 2 0 a l xn b l xn a nn n sincos 1 其中其中 n a x l xn xf l l l dcos 1 n bx l xn xf l l l dsin 1 1 0 L n 2 1 L n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 lxlflf xxfxf xxf xs 0 0 2 1 0 0 2 1 为间断点 为连续点 为间断点 为连续点 则和函数为 则和函数为 求傅里叶展开式的步骤 求傅里叶展开式的步骤 1 验证是否满足狄利克雷条件 3 求出傅里叶系数 4 写出傅里叶级数 1 验证是否满足狄利克雷条件 3 求出傅里叶系数 4 写出傅里叶级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 写出和函数 5 写出和函数 2 判断奇偶性 2 判断奇偶性 习题习题10 7 P424 1 8 12 15 2 1 4 5 10 11 14 16 17 3 6 18 19 1 4 6 21 2 5 7 24 27 作业作业 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1例1 二 典型例题二 典型例题 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知 已知 0n n nx a 在 在2 x处条件收敛 求幂处条件收敛 求幂级级 数的收敛半径 数的收敛半径 解 解 由幂级数的性质知 由幂级数的性质知 2 R 2 R若若 处收敛在使则存在 处收敛在使则存在 0 0 0 2xxax n n n 内绝对收敛因此该级数在 内绝对收敛因此该级数在 00 xx 而 而 2 00 xx 与题设矛盾 故此幂级数的收敛半径为 与题设矛盾 故此幂级数的收敛半径为 2 R 例2例2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 求 1 2 1 2 n n n n x 的收敛半径 的收敛半径 解 解 此题用公式及比值法都求不出极限 用根值法此题用公式及比值法都求不出极限 用根值法 n n n xu lim n n n n n x 2 1 2 lim 2 x 时即 时即2 1 2 1 x x 级数发散 故此幂级数的收敛半径为 级数发散 故此幂级数的收敛半径为 2 R 例3 例3 1 3 1 的收敛半径求幂级数的收敛半径求幂级数 n n nn x n 解 解 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 lim 1 n n n a a n n n a lim 极限不存在极限不存在 1 k k x 2 4 2 1 2 k k k x k 1 k k x 12 1 12 12 2 k k k x k lim 1 x x n n n 4 2 x 4 1 1 R lim 1 x x n n n 2 2 x 2 1 2 R 原级数 原级数 1 k k x 1 k k x 其收敛半径 其收敛半径 4 1 min 21 RRR 注意 注意 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 1 1 n n n n n n n 例4 例4 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 解解 n n n n n n nn u 1 1 1 1 2 1 n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 n n n n n nn 1 22 1 1 lim 1 1 lim 2 1 0 e x x n n xn 11 limlim x x x e ln 1 lim xx e 1 lim 1 0 e 01lim n n u 根据级数收敛的必要条件 原级数发散 根据级数收敛的必要条件 原级数发散 x xx e ln 1 lim 2 3 cos 2 1 2 n n n n 解解 22 3 cos 2 nn n n n n u 2n n n v 令 令 n n v v n n n n n n 2 2 1 limlim 1 1 Q n n n 2 1 lim 1 2 1 1 0 1 2ln 3 n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 2ln limlim 2ln lim 1 n n n a 2 2 n enn 时 时Q从而有从而有 2ln 1 n n nn 1lim n n n由于由于 1 2ln lim n n n 1 lim a u n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 00时即当 时即当 a a原级数收敛 原级数收敛 1 1 10时即当 a a原级数发散 原级数发散 1时当 时当 a 1 1 2ln 1 nn n n 原级数为原级数为 1 1 2ln lim n n n n Q原级数也发散 原级数也发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 lim a u n n n 1 1 4 1 n nn n 解解 1 1 1 n nn n 1 1 1 n nnn 级数收敛级数收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 57 6 5 n nn n 解解 1 57 6 n nn n 1 7 5 1 7 6 n n n n n 比较与 比较与 1 7 6 n n n 知级数收敛知级数收敛 1 sin 6 n nn 解解 2 0 时因时因 x sinxx 时是正项级数故此级数当 n 比较与 比较与 1 3 n n 3 0 sin lim x xx x 2 0 3 cos1 lim x x x x x x 6 sin lim 0 6 1 6 1 sin lim 3 n nn n 故故 知级数收敛知级数收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 ln 1 7 n n n n 解解 0时因时因 x 1ln xx Q 1 1 发散而 发散而 nn ln 1 ln 1 11 发散 发散 nn n nnnn 原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x n n xn ln lim ln lim Q 0 1 lim x x n n n nln 1 1 lim nn n ln 1 lim Q 0 1 上单增在 上单增在 ln 1 单减即单减即 xx 1 ln 1 时单减当故 时单减当故 n nn 1 1ln 1 1 ln 1 1 nu nnnn u nn 所以此交错级数收敛 故原级数是条件收敛 所以此交错级数收敛 故原级数是条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由莱布尼茨定理 由莱布尼茨定理 0 ln xxxxfQ 1 0 1 1 x x xf 例 7 例 7 判断级数 判断级数 1 2 1 1 n n n n 的收敛性 在收敛的 的收敛性 在收敛的情情 况下 说明是绝对收敛还是条件收敛 况下 说明是绝对收敛还是条件收敛 解 解 此级数是交错级数 且此级数是交错级数 且0 1 lim 2 n n n 0 1 x x xxf令令0 0 1 1 2 x x xf 即 即 f x 单增 从而单增 从而 n n n n 1 1 1 2 单减 由莱布尼茨定理 级数收敛 单减 由莱布尼茨定理 级数收敛 比较与而 比较与而 11 2 1 1 nn nn n 故原级数条件收敛 知其发散 故原级数条件收敛 知其发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8例8 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列级数的收敛域及和函数 求下列级数的收敛域及和函数 1 12 1 n n xn 解 解 易求得此级数的收敛域为 易求得此级数的收敛域为 1 1 1 12 n n xn 11 2 n n n n xnx 1 1 1 1 2 n n n n xxnxx x x xx n n 1 2 1 x x xx n n 1 2 1 x x x x x 1 1 2 x x x x 1 1 2 22 2 1 3 x xx 0 1 1 2 n n xn 解解 1 1 1 0 Rxn n n 敛半径为的收敛半径为的收Q 111 x收敛域为收敛域为 20 x即即 则有设此级数的和函数为则有设此级数的和函数为 xs 1 1 0 n n xnxs 两边逐项积分两边逐项积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 1 1 1 n xn x 0 11 1 1 n xnx dxxndxxs 0 1 1 n n x 1 1 1 x x 2 1 x x 求导 得两边再对求导 得两边再对x 2 1 x x xs 2 1 2 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 2 1 3 n n n x n n 解 解 易求得此级数的收敛域为 易求得此级数的收敛域为 00 22 2 1 2 1 nn nn n x n n x n n xs 0 2 1 1 n n x n nnn xs 012 2 1 2 2 1 n n n n n n x n x n nx n nn 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 012 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n n n n x n x n x n 01 1 2 22 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 n n n n n n x n x n xx n x 222 2 2 2 xxx ee x e x 2 2 1 24 x e xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 1 1 n n x n nnn xs 012 2 1 2 2 1 n n n n n n x n x n nx n nn 1 121 12 2 1 4 n nn x n n 解 解 易求得此级数的收敛域为 易求得此级数的收敛域为 1 121 12 2 1 n nn x n n xs 1 2 1 12 1 n n n n x 1 2 1 12 1 n n n n x 1 12 1 12 1 n n n n x x sin xxxxxcossin 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 22 2 12 5 n n n x n 解 解 易求得此级数的收敛域为 易求得此级数的收敛域为 2 2 1 22 2 12 n n n x n xs 1 12 2 n n n x 时时0 1 x n n x x xs 2 1 1 2 1 1 22 2 2 1 n n xx x 2 1 1 2 2 x x 2 2 x x 22 2 2 2 x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时0 2 x 2 1 0 s 2 1 2 2 0 22 2 x x x 于是于是 1 22 2 12 n n n x n xs 22 2 2 2 x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 1 1 6 n n x nn 解 解 易求得此级数的收敛域为 易求得此级数的收敛域为 1 1 时时0 1 x 1 1 1 1 n n x nn xs 1 1 2 1 1 n n nn x x 1 0 2 11 n x ndx x nx x n n dx n x x 0 1 2 1 x n x n dxdxx x 0 1 0 1 2 1 xx n n dxdxx x 00 1 1 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx dxdx xx 00 2 1 1 1 x dxx x 0 2 1ln 1 1 11 1ln 1 0 02 x x dx x x xx x 1ln 1 1 2 xxx x 时时0 2 x 1 1 1 1 n n x nn xs 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 7 n n x n n 解 解 易求得此级数的收敛域为 易求得此级数的收敛域为 1 1 1 1 n n x n n 11n n n n n x x 1ln 1 x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 9 例 9 求下列数项级数的和 求下列数项级数的和 0 2 1 1 n n n 解解1 0 2 1 n n x n n xs令 令 易求得易求得s x 的收敛域为的收敛域为 所求级数为所求级数为s 1 0 n n x n x eQ 0 1 n n x n x xe 两边求导两边求导 n n xx x n n exe 0 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边乘以两边乘以x 1 0 2 1 n n xx x n n xeex 两边求导两边求导 n n xxxx x n n xeeexxe 0 2 2 1 2 xs eeees 2 1 e5 e n n n 5 1 0 2 即即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 1 1 n n n 解解2 0 2 1 n n x n n xs令 令 0 2 1 n n x n n xs 0 2 12 n n x n nn 000 2 1 2 n n n n n n x n x n n x n n 01 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n nx x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 e n n n 5 1 0 2 即即 01 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n x x 01 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n x xx xxx exexex 2 xxx exeex 3 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 1 2 2 2 n n n 解 解 设设 1 2 2 n n n x xs 则则 1 1 收敛域为收敛域为 2 1 12 n n n xx 2 1 12 1 n n n x x 0 x 1 2 n n n xx 3 2 1 n n n x x n n x nn xs 1 1 1 1 2 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1n n n x 1 0 1 d n x n xx而而 xx x n n d 0 1 1 x x x 0 1 d 1ln x 4 2 1ln 2 1 2 x x x x xs 故故 2 2 2 1 1 n n n 0 x 1 2 1 2 n n n x x x 2 2 1 2 x x x 2 1 s 2ln 4 3 8 5 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 2 n n n xx xs 3 2 1 n n n x x 2 2 1 1 3 n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 解 设设 1 2 2 n n n x xs 1 1 收敛域为收敛域为 4 2 1ln 2 1 2 x x x x xs 0 x由上题知 故 由上题知 故 2 2 1 1 n n n 1 s 4 1 问题 问题 1 1 2 2 n n4 3 lim 1 xs x Q 4 3 1 1 2 2 n n 例 10 例 10 把函数 把函数 xx x x xf arctan 2 1 1 1 ln 4 1 展开成展开成 x的幂级数 的幂级数 解解 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 2 xxx xf 1 1 1 4 x 1 4 n n x两边积分两边积分 x n ndx xfxf 0 1 4 0 1 0 4 n x ndx x 1 14 14 n n n x 0 0 f而而 1 14 14 n n n x xf故故11 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1lnarctan 2 克劳林级数 展开成麦将 克劳林级数 展开成麦将xxxxf 例11例11 解解 32 1ln 32 LQ xx xx 1 32 1ln 2 1 64 22 LL n xxx xx n n 11 x x dx x x 02 1 1 arctan又又 xnn dxxxxx 0 2642 1 1 LL 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 LL 12 1 753 12753 n xxxx x n n 11 x 1 2 1 0 22 2 1 2 1 12 1 1lnarctan n n n n n n n x n x xxx故故 0 22 0 22 22 1 2 1 12 1 n n n n n n n x n x 22 12 1 0 22 n n n nn x 11 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 12 2 1 20 12 1 1 1 Sx xS n x n n n n 的幂级数 并求成 展开的和函数将级数 的幂级数 并求成 展开的和函数将级数 例12 解 例12 解的展开式 是分析的展开式 是分析x n x n n n sin 12 1 1 12 1 Q 1 12 1 1 12 1 1 2 12 1 2 12 2 1 n n n n n n n x nn x 2 sin2 x 2 11 sin2 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 sin 2 1 cos2 2 1 cos 2 1 sin2 xx 0 2 2 1 2 1 2 1 sin2 n n n x n 0 2 1 2 2 1 2 1 sin2 n n n n x n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 12 2 1 12 1 2 1 cos2 n n n x n 0 12 1 12 2 1 2 1 cos n n n n x n 202 1 2 1 sin2 20 1 10 10 20 S 2 1 sin 2 2 1 10 20 S 例13 例13 求幂级数求幂级数 12 1 1 12 0 的和函数的和函数 n n n x n n 法1 法1 易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为 0 22 12 1 1 2 1 n nn x n 原式原式 12 0 12 1 2 1 n n n x n x sin 2 1 xx cos 2 sin 2 1 x x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 法2法2先求出收敛区间先求出收敛区间 xS则则 x n n n x xx n n xxS 0 12 0 0 d 12 1 1 d 22 0 12 1 n n n x n2 1 12 0 12 1 2 n n n x n x x x sin 2 cos 2 sin 2 1 x x xxS 设和函数为设和函数为 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13 例13 求幂级数求幂级数 12 1 1 12 0 的和函数的和函数 n n n x n n 例14 例14 设设 xf 0 arctan 1 2 xx x x 0 1 x 将 将 f x 展开成展开成 x 的幂级数 的幂级数 1 2 41 1 n n n 的和 的和 01考研 01考研 解 解 2 1 1 x Q 1 0 2 n nn x 1 1 x xarctan x x x 0 2 d 1 1 12 1 0 12 n n n x n 1 1 x xf 1 2 12 1 1 n n n x n 0 22 12 1 n n n x n 于是 并求级数 于是 并求级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 22 12 1 n n n x n 1 2 1 12 1 n n n x n xf 1 2 12 1 1 n n n x n 1 2 12 1 1 n n n x n 1 2 12 1 12 1 1 1 n nn x nn 41 1 21 1 2 2 n n n x n 1 1 x 1 2 41 1 n n n 1 1 2 1 f 2 1 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15 例15 LL 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n 1 验证函数 1 验证函数 x 满足微分方程满足微分方程 x eyyy 2 利用 1 的结果求幂级数 2 利用 1 的结果求幂级数 3 3 0 n x n n 的和 的和 解 解 1 1 LL 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n LL 13 8 5 2 13852 n xxxx xy n LL 23 7 4 2374 n xxx xxy n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 02考研 02考研 0 n x n n 所以所以 yyy x e 2 由 1 的结果可知所给级数的和函数满足 2 由 1 的结果可知所给级数的和函数满足 x eyyy 1 0 y0 0 y 其特征方程 其特征方程 01 2 rr特征根 特征根 ir 2 3 2 1 2 1 齐次方程通解为 齐次方程通解为 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCeY x 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为 x eAy 代入原方程得代入原方程得 3 1 A 故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x e 3 1 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCey x 代入初始条件可得代入初始条件可得0 3 2 21 CC 故所求级数的和故所求级数的和 3 1 2 3 cos 3 2 2 1 xexe x x 3 3 0 n x n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形 的和函数 同时画出它 写出该级数期的正弦级数并在 为周内展开成以在将 的图形 的和函数 同时画出它 写出该级数期的正弦级数并在 为周内展开成以在将 22 20cos x xx 例16 解 例16 解 cos sincos 2 0 cos 1 进行奇开拓内对 必须在为周期的正弦级数 内展开成以在要将 进行奇开拓内对 必须在为周期的正弦级数 内展开成以在要将 x nxbx xxf n n 0 cos 00 0 cos xx x xx xF令令 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 sincos 2 nxdxxbn 0 1sin 1 sin 1 dxxnxn 1 1 1 1 1 1 1 11 nn nn mn n n mn 2 1 4 12 0 2 1 n 0 n a 2 1 0 L n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 01 2sin 1 xdxb 0 1 2 0 2sin 14 8 cos m xmx m m x 上级数的和函数为在上级数的和函数为在 22 x 2 0 cos 2 00 2 0 cos U U xx x xx xs 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 和函数的图形为和函数的图形为 x y o 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 的和 由此求级数为周期的付氏级数 并以 内展开成将函数 的和 由此求级数为周期的付氏级数 并以 内展开成将函数 1 2 1 2 11 2 nn xxxf例17 解 例17 解 11 2 是偶函数是偶函数 xxxfQ 1 00 2 1 2 dxxa 5 1 0 1 cos 2 1 2 dx xn xan 1 0 cos2xdxnx 1 0 sin 2 xnxd n 1 1 2 22 n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 12 4 2 0 22 kn n kn 2 1 L k 0 n b 1 22 12cos 12 4 2 5 2 k xk k x 故故 1 22 12 12cos 4 2 5 kk xk 11 x 2 1 L n 0 x取取 由上式得由上式得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 22 12 14 2 5 2 kk 1 2 2 8 12 1 kk 1 2 1 2 1 2 2 1 12 11 kknkkn 而而 1 4 1 12 1 1 2 1 2 kkkk 3 4 8 1 2 1 2 nn 6 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 18 例 18 设设 0 01 xx x xf xS是是 xf的以的以 2 为周期的傅里叶级数的和函数 写出为周期的傅里叶级数的和函数 写出 xS的函数表的函数表达达 式 并求式 并求 2 1 S 5 S 解解 00 00 2 1 0 ffs 2 1 01 2 1 0 0 2 1 ffs 1 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x x xx xs 1 2 1 01 0 2 1 0 故故 2 1 2 1 2 1 s 52 5 ss1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 00 00 2 1 0 ffs 2 1 01 2 1 02 02 2 1 2 ffs 212 2 1 2 3 故故 2 3 2 s 4 2 5 2 5 ss 2 1 0 s 2 3 s 2 3 例 19 例 19 设设 201 02 xx xx xf xS是是 xf的以的以4为 周期的傅里叶级数的和函数 求 为 周期的傅里叶级数的和函数 求 2 S 0 S 2 5 S 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 20 例 20 设设 2 xxf 0 x xS是是 xf在在 0上上 的以的以 2为周期的正弦级数的和函数 写出为周期的正弦级数的和函数 写出 xS在在 0 上的函数表达式 并求上的函数表达式 并求 5 S 6 S 解解 上作奇延拓在把 上作奇延拓在把 xf xx xx xf 0 0 2 2 0 0 2 1 ffs0 2 1 22 故故 x xx xs 0 0 2 45 5 ss0 s0 0 6 ss 2 xy 2 xy x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 21 例 21 设设 1 2 1 22 2 1 0 xx xx xf xS是是 xf在在 1 0 上的以上的以 2为周期的余弦级数的和函数 写出为周期的余弦级数的和函数 写出 xS在在 1 1 上的函数表达式 并求上的函数表达式 并求 2 5 S 解解 延拓成偶函数把 延拓成偶函数把 xf 2 1 2 1 11 oo x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 ffs 4 3 2 1 1 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 ffs 4 3 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 1 0 0 2 1 2 1 122 xx xx xx xx xf 01 01 2 1 1 ffs0 00 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 n a 0 n b 并 并且且 11 nnnn baba 证明 若 证明 若 1n n b收敛 则收敛 则 1n n a也收敛 也收敛 证 证 n nn n b ba a 1 1 n n n a b b 1 1 1 1 n n n n n a b b b b 2 2 1 1 1 n n n n n a b b b b L 1 1 1 a b bn 1 1 1 n b b a 是常数 是常数 1 1 b a 1 收敛收敛 n n bQ 1 收敛收敛 n n a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 25 例 25 若级数若级数 1 2 n n a收敛 则级数收敛 则级数 1n n n a 绝对收敛 绝对收敛 证 证 n an 1 n a n 1 2 1 2 2n a n 都收敛和因为 都收敛和因为 1 2 1 2 1 n n n a n 收敛所以 收敛所以 1 n n n a 绝对收敛从而 绝对收敛从而 1n n n a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 26 例 26 已知 已知 Anu n n 级数 级数 1 1 1 n n