大学经典课件之高等数学——10-2第二类曲线积分.pdf

第十章第十章 第二节第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二类曲线积分第二类曲线积分 二 第二类曲线积分的 概念与性质 一 问题的提出 三 第二类曲线积分的 计算 二 第二类曲线积分的 概念与性质 一 问题的提出 三 第二类曲线积分的 计算 设定向曲线设定向曲线 L 的参数方程为 的参数方程为 tzz tyy txx bat 表示 表示 L 的起点对应 的起点对应 at 终点对应 终点对应 bt 一 问题的提出一 问题的提出 定向曲线与切向量 定向曲线与切向量 定向曲线 带有确定走向的一条曲线 定向曲线 带有确定走向的一条曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定 规定 定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的 走向一致 定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的 走向一致 其中 当 其中 当 ba 时 取负号 时 取负号 则 则 L 的切向量为 的切向量为 tztytx v ox y A B L 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M i x i y 引例 引例 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 BAL 设曲线 设曲线 jyxQiyxPyxF rrr 常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功 分割分割 1111110 BMyxMyxMMA nnnn L ABFW r 解解 1 jyixMM iiii rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 分割 近似 求和 取极限 分割 近似 求和 取极限 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 求和求和 1 n i iiiiii yQxP 取极限取极限 lim 1 0 n i iiiiii yQxPW 近似值近似值 精确值精确值 jQiPF iiiiii rrr 取取 iiiiiii yQxPW 即即 n i i WW 1 ox y A B L 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ii F r i x i y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1iiiii MMFW r n i iiiiii yxQP 1 0 lim 近似近似 二 对坐标的曲线积分的概念二 对坐标的曲线积分的概念 定义 定义 设 设 L是一条从点 是一条从点 A到点 到点 B的定向光的定向光滑滑 或分段光滑 曲线 向量函数 或分段光滑 曲线 向量函数 MF r 在 在 L上有定义 用分点 上有定义 用分点 BAAAA n L 10 将 将 L按从 按从 A到 到 B的方 向任意分成 的方 向任意分成 n个小弧段 记每个小弧段的弧长为个小弧段 记每个小弧段的弧长为 i s 并记 并记 iii rAA r 1 2 1 niL 在每个小弧 在每个小弧上上 任取一点 任取一点 i M 做数量积 做数量积 ii rMF r r 2 1 niL 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 求和 求和 n i ii rMF 1 r r 令 令 0max i i s 若若 此和式的极限存在 不依赖于曲线的分法和点此和式的极限存在 不依赖于曲线的分法和点 i M的取法 则称此极限值为向量函数 的取法 则称此极限值为向量函数 MF r 沿 曲线 沿 曲线 L从 从 A到 到 B的第二类曲线积分 也称对坐 标的曲线积分 记作 的第二类曲线积分 也称对坐 标的曲线积分 记作 rdMFrMF L n i ii r r r r lim 1 0 其中有向曲线 其中有向曲线 L 称为积分曲线 称为积分曲线 上式也称为第二类曲线积分的向量形式 上式也称为第二类曲线积分的向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 变力沿定向曲线所做的功 1 变力沿定向曲线所做的功 rdMFW L r r 说明 说明 2 若 2 若L是封闭曲线 则沿 是封闭曲线 则沿 L的指定方向的第二类 曲线积分记为 的指定方向的第二类 曲线积分记为 rdMF L r r 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 第二类曲线积分存在的充分条件 定理 第二类曲线积分存在的充分条件 设有向曲线设有向曲线BA 分段光滑 向量函数分段光滑 向量函数 MF r 的 的各各 个分量函数在个分量函数在BA 上连续或分段连续 则上连续或分段连续 则 MF r 沿曲线沿曲线 BA 从点 从点 A到点 到点 B的第二类曲线积分存在 的第二类曲线积分存在 基本性质基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 注意 第二类曲线积分第二类曲线积分没有没有第一类曲线积分的第一类曲线积分的对对称称 性质及有关不等式的性质性质及有关不等式的性质 以下设有向曲线以下设有向曲线BA 分段光滑 向量函数分段光滑 向量函数 MF r MG r 的各个分量函数在的各个分量函数在BA 上连续或分段连续 上连续或分段连续 性质1 性质1 rdMGkMFk BA r rr 21 rdMGkrdMFk BABA r r r r 21 性质2 性质2 rdMFrdMF ABBA r r r r 性质3 性质3 若若BCCABA 则 则 rdMFrdMFrdMF BCCABA r r r r r r 第二类曲线积分的坐标表示第二类曲线积分的坐标表示 设设 kkk yxA kkk M 则则 11 iiii yyxx iii AAr 1 r ii yx 记记 n i ii rMF 1 r r n i iiiiii yQxP 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 若 1 若 yxQyxPyxF L是平面曲线弧 是平面曲线弧 令令的弧长为其中的弧长为其中 iiii i AAss 1 0 max 若上式左端的极限存在 则右端的极限也存在 记为 若上式左端的极限存在 则右端的极限也存在 记为rdyxF L r r L dyyxQdxyxP 上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示 上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示 2 若 若 zyxRzyxQzyxPzyxF r 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 L是空间曲线弧 则 是空间曲线弧 则 rdzyxF L r r dzzyxRdyzyxQdxzyxP L 上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示 上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示 的参数方程为 设有向曲线弧的参数方程为 设有向曲线弧 L 处切线向量的方向角为在点处切线向量的方向角为在点zyxL battzztyytxx LL dsRQPRdzQdyPdx coscoscos 则则 处的上点 是有向平面曲线弧若处的上点 是有向平面曲线弧若 yxLL 切线向量的方向角为切线向量的方向角为 LL dsQPQdyPdx coscos 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 三 两类曲线积分之间的关系三 两类曲线积分之间的关系 证明 证明 的参数方程为设 的参数方程为设L battzztyytxx 1 ba 若若 若 tu 可令可令bau 则则 ba 而此时而此时 对参数对参数u讨论 归结到第一种情况 讨论 归结到第一种情况 dsdx cos dsdy cos dsdz cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面曲线的情况完全类似推导 平面曲线的情况完全类似推导 例 1 例 1 把第二型曲线积分把第二型曲线积分 L xdzzdyydx化成第一型曲 线积分并计算 其中 化成第一型曲 线积分并计算 其中L是从点是从点 0 0 0 到点到点 1 2 2 2 2 的一 条直线段 的一 条直线段 解 解 10 2 2 2 2 ttztytxL 2 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 222 tztytx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是于是 L xdzzdyydx L dsxzy 2 2 2 1 2 1 dtttt2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 0 4 221 例2 例2 将积分将积分yyxQxyxP L d d 化为对弧长的积 化为对弧长的积 分 分 02 22 xyx 0 2 0 0 BO到从到从 解 解 o y xB 2 2 xxy x xx x yd 2 1 d 2 sdxyd1 2 x xx d 2 1 2 s x d d cos 2 2 xx s y d d cos x 1 yyxQxyxP L d d syxQyxP L d 2 2xx 1 x 其中其中L L 沿上半圆周沿上半圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为二者夹角为 例3 例3 设设 max 22 QPM yxQyxP 上连续 上连续 sMyQxP L dd 证 证 L yQxPdd sQP L dcoscos 设设 sM sQP L dcoscos 说明 说明 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分 在 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分 在 L cos cos tQPA stA L d sA L dcos 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线段 曲线段 L 的长度为 的长度为 s 证明 证明 四 对坐标的曲线积分的计算四 对坐标的曲线积分的计算 且存在线积分 则曲且上具有一阶连续导数 为端点的闭区间及在以终点 运动到沿的起点从点时变到 单调地由当参数的参数方程为 上连续在有向曲线弧设 且存在线积分 则曲且上具有一阶连续导数 为端点的闭区间及在以终点 运动到沿的起点从点时变到 单调地由当参数的参数方程为 上连续在有向曲线弧设 L dyyxQdxyxP tt battB LALyxMb at ty tx L LyxQyxP 0 22 定理 平面曲线的情形 定理 平面曲线的情形 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dttttQtttP dyyxQdxyxP b a L 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 证明 则切向量 处的单位在是设 则切向量 处的单位在是设 cos cos 0 r yxL dsyxPdxyxP LL cos 则若则若 1 ba 22 cos tt t 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dsyxPdxyxP LL cos dttttP a b dttttP b a 综上所述 不论综上所述 不论ba 还是 都有 都有 dttttPdxyxP b aL 其中 等式右端的定积分的下限其中 等式右端的定积分的下限 a对应于对应于 L的 起点 上限 的 起点 上限 b对应于对应于 L的终点 的终点 同理可证 同理可证 dttttQdyyxQ b aL 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dttttQtttP dyyxQdxyxP b a L 于是于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 注意 a 未必小于未必小于b 其中 等式右端的定积分的下限其中 等式右端的定积分的下限 a对应于对应于 L的 起点 上限 的 起点 上限 b对应于对应于 L的终点 的终点 特殊情形特殊情形 1 baxxyyL 终点为起点为 终点为起点为 dxxyxyxQxyxPQdyPdx b aL 则 则 2 dcyyxxL 终点为起点为 终点为起点为 dyyyxQyxyyxPQdyPdx d cL 则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 若曲线若曲线L的方程为 的方程为 0 0 zyxG zyxF 则需化成 参数方程 再进一步用公式求 则需化成 参数方程 再进一步用公式求 4 若曲线 若曲线 L 的方程为极坐标方程 的方程为极坐标方程 先化成参数方程 先化成参数方程 sin cos y x 然后用公式计算 然后用公式计算 且存在则曲线积分 一阶连续导数为端点的闭区间上具有及以 在 的参数方程为上连续向曲线弧 在空间有设 且存在则曲线积分 一阶连续导数为端点的闭区间上具有及以 在 的参数方程为上连续向曲线弧 在空间有设 L RdzQdyPdx ba tttbattzty txLL zyxRzyxQzyxP 定理 空间曲线的情形 定理 空间曲线的情形 dtttttRttttQ ttttPRdzQdyPdx b aL 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 两类曲线积分之间区别注意 两类曲线积分之间区别 1 第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分 第二类曲线积分是向量函数的各分量函数对坐标的 积分 2 第一型曲线积分与路径的方向无关 化成定 积分时 下限总小于上限 第二型曲线积分与路径 的方向有关 方向改变 积分值变号 化成定积 分时 下限未必小于上限 1 第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分 第二类曲线积分是向量函数的各分量函数对坐标的 积分 2 第一型曲线积分与路径的方向无关 化成定 积分时 下限总小于上限 第二型曲线积分与路径 的方向有关 方向改变 积分值变号 化成定积 分时 下限未必小于上限 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 对于第二类曲线积分 当积分弧 2 对于第二类曲线积分 当积分弧 L 是垂直于某坐 标轴的直线段 是垂直于某坐 标轴的直线段 AB 时 对该坐标的积分为零 即时 对该坐标的积分为零 即 0 AB dxyxPxAB轴时 当轴时 当 0 AB dyyxQyAB轴时 当轴时 当 空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质 空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质 说明 说明 1 在第二类曲线积分中 由于涉及积分曲线的方向 问题 因此要慎用对称性 一般情况下 应在曲线积分 化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算 1 在第二类曲线积分中 由于涉及积分曲线的方向 问题 因此要慎用对称性 一般情况下 应在曲线积分 化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算 例4例4 1 1 1 1 2 的一段弧到 上从为抛物线其中计算 的一段弧到 上从为抛物线其中计算 B AxyLxydx L 解解 的定积分 化为对的定积分 化为对 x 1 xy OBAOL xydxxydxxydx 1 0 0 1 dxxxdxxx 1 0 2 3 2dxx 5 4 xy 2 1 1 A 1 1 B 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 的定积分 化为对的定积分 化为对 y 2 2 yx ABL xydxxydx 1 1 22 dyyyy 11 y 1 1 4 2dyy 5 4 0 0 2 1 2 的直线段轴到点沿从点 的上半圆周 针方向绕行 圆心为原点 按逆时半径为 为其中计算 的直线段轴到点沿从点 的上半圆周 针方向绕行 圆心为原点 按逆时半径为 为其中计算 aBxaA a Ldxy L 例5 解 例5 解 0 sin cos 1 ay ax L 0 aA 0 aB daa 0 22 sin sin原式原式 cos cos1 0 23 da 3 4 3 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 aA 0 aB aaxyL 0 2 a a dx0原式原式 一般情况下 第二类曲线积分的值 不仅 与积分路径的起点或终点有关 而且与积分路 经本身有关 即被积函数相同 起点和终点也 相同 但路径不同积分结果不同 一般情况下 第二类曲线积分的值 不仅 与积分路径的起点或终点有关 而且与积分路 经本身有关 即被积函数相同 起点和终点也 相同 但路径不同积分结果不同 0 此例说明 此例说明 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 0 1 0 0 3 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 2 2 2 2 依次是点 这里有向折线 的一段弧到上从抛物线 的一段弧到上从抛物线 为其中计算 依次是点 这里有向折线 的一段弧到上从抛物线 的一段弧到上从抛物线 为其中计算 BAOOAB BOyx BOxy Ldyxxydx L 例6例6 2 xy 0 1 A 1 1 B 解解 1 的积分化为对的积分化为对 x 10 2 xxyL 1 0 22 22 dxxxxx原式原式 1 0 3 4dxx 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 1 A 1 1 B 2 yx 2 的积分化为对的积分化为对 y 10 2 yyxL 1 0 42 22 dyyyyy原式原式 1 0 4 5dxy 1 0 1 A 1 1 B 3 AB OA dyxxydx dyxxydx 2 2 2 2原式原式 上在上在 OA 10 0 xy OA dyxxydx 2 2 1 0 2 002 dxxx 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 上在上在 AB 10 1 yx 1 0 2 102 2dyydyxxydx AB 1 10 原式原式 1 0 1 A 1 1 B 在有些情况下 第二类曲线积分的值 仅 与积分路径的起点或终点有关 而与积分路经 本身无关 即被积函数相同 起点和终点也相 同 路径不同积分但结果相同 在有些情况下 第二类曲线积分的值 仅 与积分路径的起点或终点有关 而与积分路经 本身无关 即被积函数相同 起点和终点也相 同 路径不同积分但结果相同 此例说明 此例说明 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7 例 7 计算计算 L xdzzdyydx 其中 其中 L是从是从 0 0 2 A 到 到 5 4 3 B再到再到 0 4 3 C的一条定向折线 的一条定向折线 x y z o 3 4 5 4 3 B 0 0 2 A 0 4 3 C 解 解 的参数方程为 的参数方程为 AB 10 5 4 2 ttztytx 的参数方程为 的参数方程为 BC 01 5 4 3 ttzyx BCAB 原式原式 dtttt 1 0 5 2 454 dt 0 1 53 2 19 15 2 49 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 o z y x 例8 例8 求求 d d d zyxyzxxyzI 其中其中 2 1 22 zyx yx 从 从 z 轴正向看为顺时针方向 轴正向看为顺时针方向 解 解 取 的参数方程取 的参数方程 sin costytx 02 sincos2 tttz 0 2 I tttcos sincos22 tttttd sin cossin cos ttttd cos2sin2cos41 2 2 0 sin cos2 tt 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 例9 求求 L xdyydxxyI其中 其中 L 是双纽线的右半支是双纽线的右半支 222222 yxayx 0 x逆时针方向 逆时针方向 解 解 L 的极坐标方程是 的极坐标方程是 44 2cos 22 a L 的参数方程是 的参数方程是 sin2cos cos2cos ay ax 44 2cos 3sin a x 2cos 3cos a y daI 4 4 4 3coscos3sinsin cossin2cos 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 奇函数奇函数 例10 例10 设在力场作用下 质点由设在力场作用下 质点由 沿 移动到沿 移动到 2 0 kRB 0 0 RA 2 BA r 解 解 1 1 zzyxxyddd ttkR 2 0 22 d 2 的参数方程为 2 的参数方程为kttzyRx 20 0 AB zzyxxyddd k tt 2 0 d B A z y x 试求力场对质点所作的功 试求力场对质点所作的功 sin cos 1 tkztRytRx 2 22 Rk 22 2k 其中 为其中 为 zxyF rdFW r rdFW r 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 定义1 定义 kkkk n k yQxP lim kk 1 0 L yyxQxyxPd d 2 性质2 性质 1 1 L L 可分成 可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧 1 kiLiL L yyxQxyxPd d i L k i yyxQxyxPd d 1 2 2 L L 表示表示L L 的反向弧的反向弧 L yyxQxyxPd d L yyxQxyxPd d 对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 积分弧段的方向 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 ty tx L 3 计算3 计算 L yyxQxyxPd d tttQttP b a d t t 对有向光滑弧对有向光滑弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 bat 若曲线 若曲线 L 的方程为极坐标方程 的方程为极坐标方程 先化成参数方程 先化成参数方程 sin cos y x 然后用公式计算 然后用公式计算 zzyxRyzyxQxzyxPd d d bat tz ty tx b a tttP t t t tttQ tttR td 对空间有向光滑弧 对空间有向光滑弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 若曲线若曲线L的方程为 的方程为 0 0 zyxG zyxF 则需化成参数方程 再进一步用公式求 则需化成参数方程 再进一步用公式求 区别 区别 第一类第一类曲线积分与路径的方向无关 化成定 积分时 下限总小于上限 曲线积分与路径的方向无关 化成定 积分时 下限总小于上限 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二类第二类曲线积分与路径的方向有关 方向改 变 积分值变号 化成定积分时 下限未 必小于上限 曲线积分与路径的方向有关 方向改 变 积分值变号 化成定积分时 下限未 必小于上限 4 两类曲线积分的联系与区别4 两类曲线积分的联系与区别 sQP L dcoscos zRyQxPddd sRQPdcoscoscos 联系 联系 L yQxPdd 作业作业 习题习题9 2 P250 1 2 4 6 8 10 2 2 4 3 5 6 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1 解解 z x o y A B z k 222 zyx kzjyix z k rrr L zyxz zzyyxx k 222 ddd L 22 tx 22 ty 1 tz 10 t 1 0 1 d3 t t k 2ln3k 1 2 2 A 线移动到线移动到 2 4 4 B 向坐标原点向坐标原点 其大小与作用点到其大小与作用点到xoy 面的距离成反比面的距离成反比 沿直沿直 rFW L d F 0 r 1 2 2 AB r 求