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【精品】高数总结 x nu102n35x(2n)!2335一.函数的概念1用变上、下限积分表示的函数考研数学知识点-高等数学公式1lim x0sin x=1x （1）y=f(t)dt，其中f(t)?2(x)?(x)f(t)dt，其中?1连续，则dy=f(x)dx?1?1? （2）y=0(x)，?2(x)可导，f(t)公式2lim?1+?n?n?()=e；lim?1+?u?u?=e；1连续，lim1+v v=e v0则dy=f?dx2(x)?2(x)?f?1(x)?1(x)4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和2两个无穷小的比较设lim f(x)=0，lim g(x)=0，且lim f(x)=l g(x)数学二）当x0时，e x=1+x+x+x+0(x n) （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以=?x+x+2!+(?)n n!x2n+1+(x2n+1)f(x)=0g(x)，称g(x)是比f(x)低阶的无穷sin x x3!5!1(2n+1)!0x2x4!42n n2n小。 （2）l0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 cos x=1?+2!?+(?1)+0(x) （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以ln(1+x)=x?x+x arctan?+(?1)n+1x n+0(x n n)f(x)g(x)23x=x?x+x?+(?1)n+1x2n+1n+0(x2n+1)3常见的等价无穷小当x0时3521(1+x)=1+x+(?1)2!x2+(?1)?(n?1)xn+0(xn)sin xx，tan xx，arcsin xx，arctan xx1?cos x1x2n!2，(1+x)?1x二求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则e x?1x，ln(1+x)x，6洛必达法则法则1（型）设 （1）lim f(x)=0，lim g(x)=00 （2）x变化过程中，f(x)，g(x)皆存在2两个准则准则1单调有界数列极限一定存在 （1）若xn+1xn（n为正整数）又xnm（n为正()g xf(x) （3）lim=A（或）g(x)f(x)整数），则lim xn=A存在，且Am n则lim g(x)=A（或） （2）若xn+1xn（n为正整数）又xnM（n为正整数），则lim xn=A存在，且AM n（注如果lim f(x)不存在且不是无穷大量情形，则g(x)f(x)准则2（夹逼定理）设g(x)f(x)h(x)不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）若lim g(x)=A，lim h(x)=A，则lim f(x)=A3两个重要公式1法则2（型）设 （1）lim f(x)=，lim g(x)= （2）x变化过程中，f(x)，g(x)皆存在Edited by杨凯钧xx年10月00n k=1a f(x)g(x) （3）lim=A（或）f(x)g(x)考研数学知识点-高等数学值，如果对于区间a,b上的任一点x，总有f(x)则称M为函数f(x)在a,b上的最大值。 同样可以定义最M，则lim=A（或）小值m。 定理3（介值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上7利用导数定义求极限f(x+?x)?f(x)基本公式lim存在=f(x0)如果连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m?x0?x和M之间的任何实数c，在a,b上至少存在一个，使得8利用定积分定义求极限f()=c1n?k?f?=n1基本公式lim f(x)dx如果存在推论如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)n?0三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类 （1）第一类间断点与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点，使得f()=0设x0是函数y=f(x)的间断点。 如果f(x)在间断点这个推论也称为零点定理五导数与微分计算1导数与微分表(c)=0x0处的左、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 d(c)=0 （2）第二类间断点(x)=x?1（实常数）d(x)=x?1dx（实常数）第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 (sin x)=cos xd sin x=cos xdx常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 (cos x)=?sin xd cos x=?sin xdx d tan x=sec四闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连续的函数f(x)，有以下几个基本(tan x)=sec2x2x(cot x)=?csc2xdxdcot x=?csc2xdx性质。 这些性质以后都要用到。 连续，则f(x)必在a,b上有界。 (sec x)=sec xtan xd sec x=sec xtan xdx(csc x)d log x ln a dx x ln a(ln x)x定理1（有界定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上=?csc xcot xd csc x=?csc xcot xdx1(a0,a1)定理2（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭(logx)=a x=(a0,a1)区间a,b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和=1d ln x=1dx x最小值m。 其中最大值M和最小值m的定义如下(a da x)=a xln a(a0,a1)定义设f(x0)=M是区间a,b上某点x0处的函数x=a xln adx(a0,a1)2Edited by杨凯钧xx年10月(e x)=e xde x=e x dx考研数学知识点-高等数学(t)存在，且?(t)0，则(arcsin x)=1d arcsin x=1dx dy dx?(t)=(t)(?(t)0)1?x21?x2二阶导数(aros x)=?11?x2d aros x=?1dx1?x2d2yd?dy?dx?=d?dx?1?dy?(t)?(t)?(t)?(t)?(t)3(arctan x)=11+x2d arctan x=1dx1+x2=dx2dx=dt dx dt(arc cot x)=?11+x2darc cot x=?1dx1+x25反函数求导法则ln(x+d ln(x+x2+a2)=x2+a2)=1x2+a21dx2x2+a设y=f(x)0f(x)的反函数x=g(y)，两者皆可导，且ln(x+x2?a2)=1x2?a2则g(y)=1f(x)=1fg(y)?d?f(x)?(f(x)0)1?d ln(x+x2?a2)=1dx2四则运算法则f(x)g(x)=x f(x)g(x)2?a2二阶导数g(y)=dg(y)=dy?1dy dx dxf(x)?g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)=?f(x)3fg(y)=?fg(y)3(f(x)0)?f(x)?g(x)?=f(x)g(x)?f(x)g(x)2(x)g(g(x)0)6隐函数运算法则?设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y的方3复合函数运算法则设y=f(u)，u=?(x)，如果?(x)在x处可导，f(u)法如下把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y看作中间变在对应点u处可导，则复合函数y=且有f?(x)在x处可导，量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式（允dy=dy du dx du dx=f?(x)?(x)许出现y变量）对应地dy=f(u)du=f?(x)?(x)dx7对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导由于公式dy=f(u)du不管u是自变量或中间变量方法得出导数y。 都成立。 因此称为一阶微分形式不变性。 4由参数方程确定函数的运算法则对数求导法主要用于幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数y=f(x)设x=?(t)，y=(t)确定函数y=y(x)，其中?(t)，3g(x)常用的一种方法Edited by杨凯钧xx年10月?cos?n k=0C f()(x)0x(?x)n考研数学知识点-高等数学y=e g(x)ln f(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 （1）在闭区间a,b上连续；8可微与可导的关系f(x)在x0处可微?f(x)在x0处可导。 （2）在开区间(a,b)内可导；则存在(a,b)，使得9求n阶导数（n2，正整数）先求出y,y,总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。 f(b)b?a?f(a)=f()有一些常用的初等函数的n阶导数公式或写成f(b)?f(a)=f()(b?a)(a0,a1)y(n)=a x(lna)n(01) （3）y=sin x y(n)=sin?x+n?这里x0相当a或b都可以，?x可正可负。 2?推论1若f(x)在(a,b)内可导，且f(x)0，则f(x) （4）y=cos x y(n)=?x+n?2?n在(a,b)推论2f(x)g(x)内为常数。 ，则在(a,b) (5)y=ln x y(n)=(?1)n?1(n?1)!x若f(x)，g(x)在(a,b)内皆可导，且两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式n Cu(x)v(x)(n)=k u(k)(x)v(n?k)(x)n!内f(x)=g(x)+c，其中c为一个常数。 三柯西中值定理（数学四不要）设函数f(x)和g(x)满足其中v (0)(x)=v(x)k=n，k!(n?k)!u (0)(x)=u(x)， （1）在闭区间a,b上皆连续； （2）在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0假设u(x)和v(x)都是n阶可导。 微分中值定理一罗尔定理则存在(a,b)使得设函数f(x)满足f(b)g(b)?f(a)?g(a)=f()g()(a0，而在(x0x0=0时，也称为n阶麦克劳林公式。 如果lim Rn(x)=0，那么泰勒公式就转化为泰勒级n数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用一基本知识f(x)0，则f(x0)为极大值，x0为极大值点；2如果在(x0?,x0)内的任一点x处，有f(x)0，则f(x0)为极小值，x0为极小值点；1定义设函数f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的某一3如果在(x0?,x0)内与(x0,x0+)内的任一点点，则如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x处，f(x)的符号相同，那么f(x0)不是极值，x0不是极值点。 4第二充分条件设函数f(x)在x0处有二阶导数，且f(x0)=0，x(xx0)，总有f(x) x(xx0)，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)5当f(x0)0时，f(x0)为极小值，x0为极小值点。 Edited by杨凯钧xx年10月f(x)考研数学知识点-高等数学二函数的最大值和最小值y=f(x)在(a,b)内是凸的。 1求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的方法求曲线y=f(x)的拐点的方法步骤是首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点x1,xk，其次计算f(x1),f(xk),f(a),f(b)。 最后，比较f(x1),f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M；其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值m。 2最大（小）值的应用问题第一步求出二阶导数f(x)；第二步求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x 1、x 2、xk；第三步对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步求出拐点的纵坐标。 四渐近线的求法1垂直渐近线首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 三凹凸性与拐点若lim xa+f(x)=或lim xa?f(x)=1凹凸的定义则x=a为曲线y=2水平渐近线f(x)的一条垂直渐近线。 设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有若lim x+f(x)=b，或lim x?f(x)=b则y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。 ?x1+x2?1f?2?2?x1+x2?1+f(x2)?f?2?23斜渐近线?f(x1)?0，则曲线y=f(x)如果在(a,b)在(a,b)内是凹的；使MD=R，则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半径的圆周称为曲率圆。 不定积分一基本积分公式+1内的每一点x，恒有f(x)0,a1) （1）f(ax+b)dx=af(ax+b)d(ax+b)e xdx=e x+C4cos xdx=sin x+C5sin xdx=?cos x+C(a0) （2）f(ax n+b)x n?1dx=(a0,n0)1f(ax nan+b)d(ax n+b)6sec2xdx=12dx=tan x+C x12dx=?cot x+C x cos （3）f(ln x)dx x=f(ln x)d(ln x)2?1?dx?2=?f?x?xdx x?1?d?x?1?x7csc xdx=sin （4）f8tan xsec xdx=sec x+C?9cot xcsc xdx=?csc x+C （5）f(x)=2f(x)d(x)1lnaf(a10tan xdx=?ln cos x+C11cot xdx=ln sin x+C （6）f(a x)a xdx=(a0,a1)x)d(a x)12sec xdx=ln sec x+tan x+C13csc xdx=ln csc x?cot x+Cf(e x)e xdx=f(e x)d(e x) （7）f(sin x)cos xdx=f(sinx)d(sinx)14dx a2?x2=arcsin x+C a(a0) （8）f(cosx)sin xdx=?f(cosx)d(cosx) （9）f(tan x)sec2xdx=f(tanx)d(tanx)15a dx2+x=1arctan x a lna+x+Ca(a0)162dx=12a a?x=ln x+C(a0) （10）f(cot x)csc2xdx=?f(cot x)d(cotx)a2?x2 （11）f(sec x)sec xtan xdx=f(secx)d(secx) （13）1?x17dx x2a2x C2a2+(a0) （12）f(csc x)csc xcot xdx=?f(cscx)d(cscx)dx=f(arcsin x)d(arcsin x)f(arcsin x)二换元积分法和分部积分法1第一换元积分法（凑微分法）设f(u)du=F(u)+C，又?(x)可导，则f(aros x)1?x （14）f(arctan x) （15）222dx=?f(aros x)d(aros x)dx=f(arctan x)d(arctan x)f?(x)?(x)dx=f?(x)d?(x)u=?(x)f(u)du令=F(u)+C=F?(x)+C （16）1+x f(arc cotx)1+x2dx=?f(arc cotx)d(arc cotx)这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就7Edited by杨凯钧xx年10月根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）a2?x2x=a sint a2+x2x=a tantx2?a2x=a sect?f?)?1?0?arctan1?考研数学知识点-高等数学(?A)l2?(x?x)2然后再作下列三种三角替换之一x?arctan?1?d?1? （17）1+x2dx=?f x?arctan x （18）2)f(x+x2+a2)=(+2+(+2)2+ln x2+a2dx fln xxad ln xxa(a0) （19）fln(x+x2?a2dx=fln(x+x2?a2)d(ln(x+x2?a2)x2?a2(a0)f(x) （20）2第二换元积分法f(x)dx=ln f(x)+C(f(x)0)3分部积分法设u(x)，v(x)均有连续的导数，则设x=?(t)可导，且?(t)0，若u(x)dv(x)=u(x)v(x)?v(x)du(x)f?(t)?(t)dt=G(t)+C，则f(x)dx令x=?(t)f?(t)?(t)dt=G(t)+C=G?(x)+C或u(x)v(x)dx=u(x)v(x)?u(x)v(x)dx使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作其中t=?1(x)为x=?(t)的反函数。 v(x)有一定规律。 （1）()ax第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过Pn xe ax，sin ax，cos ax为v(x)；多项式部分为，Pn(x)sin ax，Pn(x)cos ax情形，换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类第一类被积函数是x与Pn(x)为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，每次均取e n ax+b或x与nax+b或cx+d由e x构成的代数式的根式，例如ae x+b等。 u(x)。 （2）Pn(x)lnx，Pn(x)arcsin x，Pn(x)arctan x情只要令根式n g(x)=t，解出x=?(t)已经不再有根形，Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为v(x)，而lnx，式，那么就作这种变量替换x=?(t)即可。 arcsin x，arctan x为u(x)数的形式发生变化，再考虑其它方法。 ax sinbx，e，用分部积分法一次，被积函第二类被积函数含有Ax2+Bx+C(A0)，如果仍令Ax2+Bx+C=t解出x=?(t)仍是根号，那 （3）e axcos bx情形，进行二次分部积分0么这样变量替换不行，要作特殊处理，将A0时先化为法后要移项，合并。 （4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微A(x?x)2l2，A0，特征方程有两个不同的14Edited by杨凯钧xx年10月11n n n nnnn则方程的通解为y=C e1x+C e2x考研数学知识点-高等数学通解y=y+C y(x)+C y(x)221211 （2）当?=p2?4q=0，特征方程有二重根其中C y(x)11+C y(x)为对应二阶常系数齐次线性221=2则方程的通解为y=(C1+C2x)e1x方程的通解上面已经讨论。 所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？我们根据f(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到 （3）当?=p2?4q0，特征方程有共轭复根i，特解y，常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下1f(x)=Pn(x)，其中Pn(x)为n次多项式则方程的通解为y=ex(C cosx+C2sinx)2n阶常系数齐次线性方程 （1）若0不是特征根，则令y=Rn(x)=a0x+a1x n?1+an?1x+an y+p1y(n?1)+p2y(n+pn?1y+pn y=0其中ai(i=0,1,2,n)为待定系数。 (n)?2)其中pi(i=1,2,n)为常数。 相应的特征方程 （2）若0是特征方程的单根，则令y=xRn(x)2+p1n?1+p2n?2+pn?1+pn=0 （3）若0是特征方程的重根，则令y=x Rn(x)2f(x)=P(x)ex其中P(x)n为n次多项式，为特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。 （1）若特征方程有n个不同的实根1,2,nn实常数则方程通解y=C e1x+C e2x+C enx （1）若不是特征根，则令y=Rn(x)ex12n （2）若是特征方程单根，则令y=xRn(x)ex （2）若0为特征方程的k重实根(kn) （3）若是特征方程的重根，则令y=x2R(x)ex则方程通解中含有(C+C2x+Ck xk?1)e0x3f(x)=P(x)ex sinx或 （3）若i(2kn)则方程通解中含有为特征方程的k重共轭复根f(x)=P(x)excosx其中Pn(x) （1）若i为n次多项式，,皆为实常数不是特征根，则令ex(C+C x+C xk?1)cosx+(D+D x+D xk?1)sinx12k12k y=exRn(x)cosx+Tn(x)sinx由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根其中Rn(x)=a0x+a1x n?1+an?1x+an不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 ai(i=0,1,n)为待定系数四二阶常系数非齐次线性方程Tn(x)=b0x+b1x n?1+bn?1x+bn方程y+py+qy=f(x)其中p,q为常数bi(i=0,1,n)为待定系数15Edited by杨凯钧xx年10月关系向量表示向量坐标表示a,b间夹角(?)a?b cos?=a bco?s=a1b1+a2b2+a3b3a2+a2+a2?b2+b2+b2123123a与b垂直a?b=0a b+a b+bb=011223322 （2）若i是特征根，则令考研数学知识点-高等数学?3数量积。 a?b=a b?