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导数总结精华A范文 导数精华总结 1、一阶导数定义标准定义00000()()()lim?limx?xf xxf xyxxxf?等价公式0000()f x()()limxxf xxxxf?0000()()()limhf xf xhxhf?0000()()()2limh?f xhf xhxhf?0000()()()limhf xhf xxhf?010xx2()()()limhf xhf xhxhhf?重要公式如果0()xf存在，并且(1,2,3)ih i?为同阶无穷小时，下列公式成立010xx0xx1xx13233()()()()()()()()limih?limih?limih?limih?f xhf xhf xhf xf xhf xhhhhxxhhhhhhff?口口口口但是01023()()limih?f xhf xhh?口存在，0()xf不一定存在，故也是可导的必要条件。 2、二阶导数定义0000000()()()()()limlimx?xxf xf xf xxf xf xxxx? 3、N阶导数定义0 (1) (1) (1) (1)()n000000()x()()()()limxlimx?nnnnxffxfxxfxfxxxx? 4、左导数00000000()f x()()()()limxlimx?limx?xf xf xxf xyxxxxxf?右导数00000000()f x()()()()limxlimx?limx?xf xf xxf xyxxxxxf? 5、函数求导三大基本求导法则导数四则运算、复合函数求导法则、分段函数求导法则；重点为分段函数求导法则与高阶导数求导法则.复合函数求导设函数()f uy?与()xu?构成复合函数(),?yfx?若()xu?在点x出有导数()xxu?，且()f uy?在对应点u处有导数()f uuy?，则复合函数()?yfx?在点x处也有导数，且xuxyy u?或者()()xdydy duf udxdu dx?。 推广形式若(),fuu(),v v()xy?，则复合函数?()yfx?的导数为xuvxyy uv?或者()()v()xdydy du dvf udx（注复合函数的求导法则可以应用于幂指函数、反函数、隐函数、变限积分函数的求导）dudvdx?。 对于多层复合函数有类似求导法则。 隐函数求导法则设()y xy?由方程(,)F xy?0确定，则求y对x的一阶导数xy有以下方式法一视y为x的函数，直接在方程(,)F xy?0两边关于x求导，然后再关于xy解出。 法二利用一阶微分不变性，在方程两边求微分，然后关于xy解出。 法三利用公式(,)(,)xxyF xyyF xy?（注对(,)F xy的一个变量求导时，应将另一个变量视为常数对待）反函数求导法则若函数()f xy?在(,)a b内连续、严格单调，在0(,)a bx?可导，且0()0f x?，则()f xy?的反函数1()xfy?在对应点0y处也可导，且导数为01()f x，即11001()y()()ff xf x?。 反函数的一阶导数11()dxdyf xy?反函数的二阶导数22223231111()()()()y()y()d xddxdddxyydydydy dydydxdydyyyydxdx?证明?f x?yxg y?，没有改变符号。 2222322111111dxdydxdyd xddxdddyddydydydxdydxdydy dy?dydy dx?dx dx?dxdydxdydxdydx?参数方程求导法则若函数()y xy?由(),()t(,)?xtty?给出，()t?和()t?在(,)?内存在，且()t0?，又函数()tx?存在反函数1()tx?，则y是x的复合函数1()t()xy?，则有复合函数与反函数的求导法则可知有11()t()t()x()t()t()tdydy dtdxdtdx?高阶导数求导法则法一（定义）0 (1) (1) (1) (1)()n000000()x()()()()limxlimx?nnnnxffxfxxfxfxxxx?法二（莱布尼茨公式）若函数()()v xux、存在n阶导数，则()n()()k0n()n1n (1) (1)2n (2) (2)1 (1) (1)()n0()nknn k?nnnnnnnk?uvC uvC uvCuvCuvCu vCuv?+其中 (1) (2)n-k+1!knn nnCk?（）法三（高阶导数和公式）若函数()()v xux、存在n阶导数，则对任意常数12CC和，它们的线性组合12u(x)+()CC vx也有n阶导数，且()n()n()n1212u(x)()u(x)()xCC vxCC v?。 法四（泰勒公式） (3)()n23000000000()()()()()f x()()()()()()1!2!3!nnf xf xfxfxf xxxxxxxxxRxn?其中0()()nn Rxo xx?，当00x?时， (3)()n23 (0)1! (0)2! (0) (0)!()fx (0)()3!nnfffffxxxxo xn?如果求的了给定函数在点0x处的各阶导数()k0()fx，0,1,2,k?，n,则容易写出()fx在点0x处的泰勒公式，采取逆向思维，如果已经建立了()fx在点0x处的泰勒公式2301020300()fx()()()()()()nnnf xaxxa xxaxxa xxRx?则根据泰勒公式的唯一性以及它与泰勒公 (3)()n23000000000()()()()()fx()()()()()()1!2!3!nnf xf xfxfxf xxxxxxxxxRxn?的系数关系，得()fx在点0x处的各阶导数值为()k0()!,0,1,2,kfxa kk?，n,。 下面在通过例题来说明这一定理的应用设y=arctanx，求() (0)ny因为y=arctanx的麦克劳林公式为3521221315 (1)2narctan(),0.1nnnxxxxxo xx?则根据麦克劳林公式的系数关系有 (21) (0) (1)? (21)!21nnfnn?， (2) (0)0,0,1,2,. (2)!nnfn?于是得到 (21) (2) (0) (1) (2)!;? (0)0,0,1,2,.nnnfnfn?法五（递推化归）本方法采用立体说明，设y=arctanx，求() (0)ny。 解因为211yx?，故有2 (1)1yx?。 利用乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，对等式2 (1)1yx?的两边关于求（n1）阶导数，得2()n (1) (2)2 (1) (1) (2)0nnnxynny?(1+x)y，令0x?，则由上式得递推公式()n (2) (0) (1) (2) (0)nnny?y，因为 (0)0y?， (0)1y?，故当n=2m时， (2) (0)0m?y；当n=2m+1时， (21) (0) (1) (2)!,?0,1,2,mmmm?y。 附注类似例题有设函数2()y x(arcsin)x?，求() (0)ny。 法六:(归纳法)本方法采用立体说明，设y=arctanx，求() (0)ny。 解由导数公式与三角公得2222211()coscos sin(y)211tan()cos cos(y)sin sin(y)()y xcos()coscossin2()2222y xyyxyy xyyyyyyy?假设()() (1)!cossin()2kkyxkyk y?成立，那么有 (1)111()x (1)!coskcos()cossin sin(y)()y x22!coscos()2?!coscos (1)()2kkkkkykyk ykykykyyk ykyky?因此，由归纳法得()() (1)!cossin()2nnyxnyn y?，当0x?时， (0)0y?，故() (0) (1)!sin2nn?n?y，于是，当n=2m时， (2) (0)0m?y；当n=2m+1时， (21) (0) (1) (2)!,?0,1,2,mmmm?y。 法七（利用基本的高阶导数公式求高阶导数）下面不同公式中的参数可取不同，下面为其一般形式，实际应用时要根据要求变通。 ()n()ax b?nax b?ea e?，()n()(ln),0xnxaaa a?，()n(sin)(sin)2nn?axaax?，()n(cos)cos()2nn?axaax?，()n11!() (1)?()nnnn aaxbaxb?，()n() (1) (2)()aa n?xa aaanax?，其中a为常数，特别当a为自然数时，()n1(?1)!ln (1) (1)?()nnnxxa?()n1(?1)!ln (1)?nnnxx?()n1(?1)!log (1)?lnnannxxa?()n1 (1)!ln() (1)?()nnnnaxbaaxb?()n() (1)(?1)()n?naxbanaxb?分段函数的求导法则分段函数的导数可以这样求得在各个开区间内就是其响应函数的导数；而在分段点0x处用导数定义分别求得它的左、右导数0()xf?与0()xf?。 当该左、右导数都存在且相等时，则分段函数在分段点0x出可导，且求分段函数的导数000()()()xxxfff?。 当分段点0x处左导数与右导数均存在但不相等，或者至少有一个导数不存在时，则原函数在分段点0x处的导数不存在。 即分段求导数，注意分段点。 连乘形式和幂指函数求导法则连乘形式和幂指函数求导采用对数微分法，所谓对数微分法就是先在函数两端取自然对数，然后再在等式两边对自变量求导。 该方法适用于以下形式A、幂指函数()()fx,()fx0)g xy?B、连乘形式12()()()nyf x f xfx?C、连乘形式的分式形式1212()()()()()x()xnnf xfxfxyg xg?g D、连乘形式的根式形式12()()()nmyf xfxfx?其他形式不再一一列举，其应用根据具体形式变通。 变限积分的求导法则()x()x()x()x()()()f tdt()?()x()?()xaadydyf tdtf tdtfxfxdxdxdy?()fx()fx()()g xf tdt()()f tdt()()g xf fxfx()aayg xdx?()x()x()x()x(,fxy(,)fxy dt)(,)fx()x(,)fx()xddydxx?基本初等函数导数表（略，参考全书或者课本）?122211()ln(log)(0,1)()lnln11(sin)cos(cos)xsin(arcsin)x(aros)111(tan)sec(cotxxxaxxxaaaaaxxaxxxxxxxxx?为常数?222222221)csc(arctan)(arcot)11(sec)sec tan(csc)xxcsc11ln1ln111111xxxxxxxcanxshxchxchxshxarshxxxarchxxxxxarthxxx?极坐标方程下的求导cos d?sin d?cos?sinsin dcosddyrrxryrdxrr?、附注设y=arctanx，求() (0)ny方法1因为y=arctanx的麦克劳林公式为35212211 (1)?arctan(),0.3521nnnxxxxxo xxn?则根据麦克劳林公式的系数关系有 (21) (0) (1)? (21)!21nnfnn?， (2) (0)0,0,1,2,. (2)!nnfn?于是得到 (21) (2) (0) (1) (2)!;? (0)0,0,1,2,.nnnfnfn?方法2（递推化归）本方法采用立体说明，设y=arctanx，求() (0)ny。 解因为211yx?，故有2 (1)1yx?。 利用乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，对等式2 (1)1yx?的两边关于求（n1）阶导数，得2()n (1) (2)2 (1) (1) (2)0nnnxynny?(1+x)y，令0x?，则由上式得递推公式()n (2) (0) (1) (2) (0)nnny?y，因为 (0)0y?， (0)1y?，故当n=2m时， (2) (0)0m?y；当n=2m+1时， (21) (0) (1) (2)!,?0,1,2,mmmm?y。 附注类似例题有设函数2()yx(arcsin)x?，求() (0)ny。 方法3:(归纳法)本方法采用例题说明，设y=arctanx，求() (0)ny。 解由导数公式与三角公得2222211()coscos sin(y)211tan()cos cos(y)sin sin(y)()y xcos()coscossin2()2222y xyyxyyxyyyyyyy?假设()() (1)!cossin()2kkyxkyk y?成立，那么有 (1)111()x (1)!coskcos()cossin sin(y)()22!coscos()2?!coscos (1)()2kkkkkykyk ykykyy xkyykykyky?因此，由归纳法得()() (1)!cossin()2nnyxnyn y?，当0x?时， (0)0y?，故() (0) (1)!sin2nn?n?y，于是，当n=2m时， (2) (0)0m?y；当n=2m+1时， (21) (0) (1) (2)!,?0,1,2,mmmm?y。