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3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 如图 设i j k是空间三个两两垂直的向量 且有公共起点O 对于空间任意一个向量p OP 设点Q为点P在i j所确定的平面上的正投影 由平面基本定理可知 在OQ k所确定的平面上 存在实数z 使得OP OQ zk 而在i j所确定的平面上 由平面向量基本定理可知 存在有序之前数对 x y 使得OQ xi yj 从而OP OQ zk xi yj zk 一 空间向量基本定理 如果i j k是空间三个两两垂直的向量 对空间任一个向量p 存在一个有序实数组使得p xi yj zk xi yj zk为向量p在i j k上的分向量 思考 在空间中 如果用任意三个不共面向量a b c代替两两垂直的向量i j k 能得到类似的结论吗 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 空间所有向量的集合 p p xa yb zc x y z R a b c 叫做空间的一个基底 a b c都叫做基向量 二 空间直角坐标系 例题讲解 例4 如图 M N分别是四面体OABC的边OA BC的中点 P Q是MN的三等分点 用向量OA OB OC表示OP和OQ 三 向量的直角坐标运算 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 空间向量坐标运算法则 关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化 为此在利用向量的坐标运
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