人教版高三数学课件2.ppt

第七单元平面向量 第一节平面向量的概念及其线性运算 基础梳理 1 向量的有关概念及表示法 2 向量的线性运算 3 共线向量定理非零向量a与向量b共线的充要条件 存在唯一一个实数 使b a 题型一平面向量的有关概念 典例分析 例1 给出下列五个命题 两个向量相等 则它们的起点相同 终点相同 若 a b 则a b 在 ABCD中 一定有 若m n n p 则m p 若a b b c 则a c 其中不正确的个数是 A 2B 3C 4D 5 分析在正确理解有关概念的基础上 注意特殊情况是解决本题的关键 解选B 两个向量起点相同 终点相同 则两个向量相等 但两个向量相等 不一定有相同的起点和终点 故 不正确 a b 但a b方向不确定 所以a b不一定相等 故 不正确 正确 零向量与任一非零向量都平行 当b 0时 a与c不一定平行 故 不正确 学后反思 1 着重理解向量以下几个方面 向量的模 向量的方向 向量的几何表示 向量的起点和终点 2 判定两个向量的关系时 特别注意以下两种特殊的情况 零向量与任何向量共线 单位向量的长度为1 方向不固定 举一反三 1 已知下列命题 如果非零向量a与b的方向相同或相反 那么a b的方向必与a b中的一个方向相同 在 ABC中 必有 若 则A B C为一个三角形的三个顶点 若a与b均为非零向量 则 a b 与 a b 一定相等 其中真命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 解析 错误 a b 0时 就不满足结论 正确 错误 A B C三点还可以共线 错误 只有a与b同向时才相等 答案 B 题型二平面向量的线性运算 例2 如图 D E F分别为 ABC的三边BC AC AB的中点 求证 分析在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢 即用来分别表示待求的向量 证明因为所以 即 同理所以 故 学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合 求解此类问题应注意 1 结合图形 选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量 选择恰当的运算关系 2 注意特殊点的应用 如线段AB的中点为P 则有 其中O为任一点 举一反三 2 如图 在 OAB中 延长BA到C 使AC BA 在OB上取点D 使 DC与OA交于E 设试用a b表示向量和向量 解析 A是BC的中点 OA OB OC 即OC 2OA OB 2a b DC OC OD OC OB 2a b b 2a b 例3 设两非零向量a和b不共线 如果AB a b CD 3 a b BC 2a 8b 求证 A B D三点共线 题型三向量的共线问题 分析用向量法证明A B D三点共线 可以利用共线向量定理 得到BD AB 或AD AB等 BD AB说明直线BD和AB平行或重合 因为有公共点B 所以只能重合 从而由向量共线推出三点共线 证明 BC 2a 8b BD BC CD 2a 8b 3a 3b 5 a b BD 5AB 由向量共线定理得BD AB 又直线AB和BD有公共点B 因此A B D三点共线 学后反思 1 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 2 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 解题中应强调 直线AB和BD有公共点B 这一步骤 举一反三 3 设两个非零向量不共线 已知若A B D三点共线 试求k的值 解析 若A B D三点共线 则AB BD 从而存在唯一实数 使AB BD 即整理得 不共线 解得 2 k 8 即k的值为 8时 A B D三点共线 题型四向量知识的综合应用 例4 12分 已知向量其中为两个非零不共线向量 问 是否存在这样的实数 使向量d a b与c共线 分析运用向量共线的条件 确定是否存在实数k 使得 解要使 则应存在实数k 使 6 即 8 不共线 2 10 故存在这样的实数 满足 2 就能使与共线 12 学后反思设不共线 若则有本题正是利用这一结论构造方程组来求解的 举一反三 4 已知 ABC的三个顶点A B C及平面内一点P满足PA PB PC 0 若实数 满足AB AC AP 求 的值 解析 AB AC AP PB PA PC PA AP 即PB PC 2PA AP 又 PA PB PC 0 PB PC PA 3PA AP PA 3 即 3 10 如图 在 ABC中 点O是BC的中点 过点O的直线交直线AB AC于不同的两点M N 若AB mAM AC nAN 则m n 解析 如图 过点O作OD AB交于AC于点D 点O是BC的中点 D是AC的中点 由图知 NDO NAM 即 即 答案 2 考点演练 11 创新题 如图所示 点E F分别为四边形ABCD的对角线AC BD的中点 设BC a DA b 试用a b表示 解析 如图所示 取AB中点P 连接EP FP 在 ABC中 EP是与BC平行的中位线 在 ABD中 FP是与AD平行的中位线 在 EFP中 12 创新题 如图所示 在 ABO中 OC OA OD OB AD与BC交于点M 设OA a OB b 1 用a b表示OM 2 在线段AC上取一点E 在线段BD上取一点F 使EF过点M 设OE pOA OF qOB 求证 解析 1 设 则 AD OD OA 由三点A M D共线 则AM AD共线 故有 而由三点C M B共线 则CM CB共线 故有联立 故OM 2 又EF EM共线 故 即得成立 qb pa pa qb 第二节平面向量的基本定理及坐标表示 基础梳理 1 两个向量的夹角 1 定义已知两个非零向量a和b 作OA a OB b 则 AOB 叫做向量a与b的夹角 2 范围向量夹角 的范围是0 180 a与b同向时 夹角 0 a与b反向时 夹角 180 3 向量垂直如果向量a与b的夹角是90 则a与b垂直 记作a b 2 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 使 其中 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj 把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a x y 其中x叫a在x轴上的坐标 y叫a在y轴上的坐标 设OA xi yj 则向量OA的坐标 x y 就是终点A的坐标 即若OA x y 则A点坐标为 x y 反之亦成立 O是坐标原点 3 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 2 向量坐标的求法已知A B 则AB 即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标 3 平面向量共线的坐标表示设a b 其中b 0 则a与b共线 题型一平面向量基本定理 例1 如图 在 OAB中 OC 15OA OD 12OB AD与BC交于点M 设OA a OB b 以a b为基底表示OM 分析本题可用待定系数法 设OM ma nb m n R 再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组 确定m n的值 解设OM ma nb m n R 则AM OM OA m 1 a nb 因为A M D三点共线 所以 即m 2n 1 而CB OB OC 又因为C M B三点共线 所以 即5m n 1 由 解得 所以 学后反思 1 在平面向量基本定理的应用中 当基底确定后 向量的表示是唯一的 合理地选取基底会给解题带来方便 2 解决该类问题 用基底表示向量是基本方法 还应注意三角形法则 中点坐标公式的熟练应用 举一反三 1 如图 PQ过 ABO的重心G OA a OB b OP ma OQ nb 试求的值 解析 G是 ABO的重心 又GP GQ 即 3 题型二平面向量的坐标运算 例2 已知点A 1 2 B 2 8 以及 求点C D的坐标和CD的坐标 分析根据题意可设出点C D的坐标 然后利用已知的两个关系式列方程组 求出坐标 解设点C D的坐标分别为由题意得因为所以有和解得和所以点C D的坐标分别是 0 4 2 0 从而CD 2 4 学后反思向量的坐标是向量的另一种表示形式 它只与起点 终点 相对位置有关 三者中给出任意两个 可求第三个 在求解时 应将向量坐标看作一个 整体 运用方程的思想求解 向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算 必须熟练掌握 2 已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 且CM 3CA CN 2CB 求M N及MN的坐标 举一反三 解析 A 2 4 B 3 1 C 3 4 CA 1 8 CB 6 3 CM 3CA 3 24 CN 2CB 12 6 设M x y 则CM x 3 y 4 3 24 M 0 20 同理可求N 9 2 因此MN 9 18 M 0 20 N 9 2 MN 9 18 题型三平面向量的坐标表示 例3 平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 若 a kc 2b a 求实数k 2 设d x y 满足 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 由两向量平行的条件得出关于k的方程 从而求出实数k的值 2 由两向量平行及 d c 1得出关于x y的两个方程 解方程组即可得出x y的值 从而求出d 解 1 a kc 2b a 又a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 k 2 d c x 4 y 1 a b 2 4 又 d c a b 且 d c 1 解得或 d 或 学后反思 1 与平行有关的问题 一般地 可考虑运用向量平行的充要条件 用待定系数法求解 2 向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法 也为点共线 线平行问题的处理提供了简单易行的方法 解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征 应学会利用这一点来构造函数和方程 以便用函数与方程的思想解题 3 2009 徐州模拟 设坐标平面上有三点A B C i j分别是坐标平面上x轴 y轴正方向的单位向量 若向量AB i 2j BC i mj 那么是否存在实数m 使A B C三点共线 即AB BC 举一反三 解析 假设存在满足条件的m 根据题意可知 i 1 0 j 0 1 AB 1 0 2 0 1 1 2 BC 1 0 m 0 1 1 m 由A B C三点共线 即AB BC 得1 m 1 2 0 解得m 2 当m 2时 A B C三点共线 题型四向量的综合应用问题 例4 12分 已知O 0 0 A 1 2 B 4 5 及OP OA tAB 试问 1 t为何值时 P在x轴上 在y轴上 P在第二象限 2 四边形OABP能否成为平行四边形 若能 求出相应的t值 若不能 请说明理由 分析利用向量相等 建立点P x y 与已知向量之间的关系 表示出P点的坐标 然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征 从而解决问题 解 1 O 0 0 A 1 2 B 4 5 OA 1 2 AB 3 3 OP OA tAB 1 3t 2 3t 2 若P在x轴上 则2 3t 0 解得t 若P在y轴上 则1 3t 0 解得 4 若P在第二象限 则解得 6 2 OA 1 2 PB PO OB 3 3t 3 3t 8 若四边形OABP为平行四边形 则OA PB 而无解 10 四边形OABP不能成为平行四边形 12 学后反思 1 向量的坐标表示 实际上是把向量的运算代数化 从而实现了数与形的有机结合 这样 很多的几何问题都可以转化为代数的运算 体现了向量的优越性 2 利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法 而利用方程 组 是求解的重要工具 这一方法需灵活应用 举一反三 4 如图所示 已知点A 4 0 B 4 4 C 2 6 求AC和OB交点P的坐标 解析 方法一 设P x y 则OP x y OP OB共线 OB 4 4 4x 4y 0 又CP x 2 y 6 CA 2 6 且向量CP CA共线 6 x 2 2 6 y 0 解由 组成的方程组 得x 3 y 3 点P的坐标为 3 3 方法二 设OP tOB t 4 4 4t 4t 则AP OP OA 4t 4t 4 0 4t 4 4t AC 2 6 4 0 2 6 由AP AC共线的充要条件知 4t 4 6 4t 2 0 解得 OP 4t 4t 3 3 P点坐标为 3 3 易错警示 例1 已知点A 1 2 点B 3 6 则与AB共线的单位向量为 错解由A 1 2 B 3 6 知AB 2 4 错解分析与AB共线有两种情况 一是同向共线 一是反向共线 错解 中忽略了反向共线这一情况 正解与AB同向时为与AB反向时为 例2 已知A 1 1 B 1 3 C 1 5 D 2 7 向量AB与CD平行吗 直线AB平行于直线CD吗 错解 AB 1 1 3 1 2 4 CD 2 1 7 5 1 2 又 2 2 4 1 0 AB CD AB CD 错解分析在证三点共线或直线平行时 直接由AB CD得AB CD 这是不正确的 因为向量平行与直线平行存在一定的差异 向量平行不等于对应的直线平行 还可能出现直线的重合 而直线平行时 对应的向量平行 所以解题时应区分开这一点 正解 AB 1 1 3 1 2 4 CD 2 1 7 5 1 2 又 2 2 4 1 0 AB CD 又 AC 1 1 5 1 2 6 AB 2 4 A B C三点不共线 直线AB与直线CD不重合 AB CD 10 2009 湖南 如图 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起 若AD xAB yAC 则x y 考点演练 解析 以AB所在直线为x轴 以A为原点建立平面直角坐标系 如图 令AB 2 则AB 2 0 AC 0 2 过D作DF AB交AB的延长线于F 由已知得DF BF 则AD AD xAB yAC 2x 2y 即有解得 答案 另解 所以 11 若对几个向量存在n个不全为零的实数使得成立 则称这几个向量为 线性相关 依此规定 求 线性相关 的实数 写出一组数值即可 不必考虑所有情况 解析 由 线性相关 定义可知即所以取 则 12 已知 ABC中 A 7 8 B 3 5 C 4 3 M N分别是AB AC的中点 D是BC的中点 MN与AD交于F 求DF 解析 如图所示 A 7 8 B 3 5 C 4 3 AB 3 7 5 8 4 3 AC 4 7 3 8 3 5 D是BC的中点 AD AB AC 3 5 4 又 M N分别为AB AC的中点 F为AD的中点 DF AD 1 75 2 第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例 基础梳理 1 平面向量的数量积 1 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 把数量 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 并规定零向量与任一向量的数量积为0 2 一向量在另一向量方向上的投影 定义设 是a和b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 当0 90 时 它是正数 当90 180 时 它是负数 当 90 时 它是0 a b的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 或 4 a b a b 5 cos 是a与b的夹角 3 向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 数乘结合律 3 a b c a c b c 分配律 4 平面向量数量积的坐标表示 1 a b 2 a b 3 a b 4 若a与b夹角为 则cos 5 若c的起点坐标和终点坐标分别为则 5 平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步 1 选好基向量 2 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 3 通过向量运算研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 4 把运算结果 翻译 成几何关系 典例分析 题型一数量积的运算 例1 已知向量且x 求a b及 a b 分析利用数量积的坐标运算及性质 注意x的取值范围 回忆三角函数的公式变换 解又 x a b 学后反思与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型 解答此类问题 除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式 向量模 夹角的坐标运算公式外 还应掌握三角恒等变换的相关知识 分析求模类型 1 已知a sinx b cosx cosx 且b 0 1 若a b 求x的取值集合 2 求f x a b的最小正周期 举一反三 解析 1 a b a b 0 即 sinx cosx cosx 0 x的集合为 2 f x a b sinx cosx cosx 周期 题型二模与垂直问题 例2 已知 a 4 b 8 a与b的夹角是120 1 计算 a b 4a 2b 2 当k为何值时 a 2b ka b 分析 1 利用公式求解 2 利用向量垂直的充要条件 通过坐标表示列方程求k 解由已知 a b 4 8 16 1 2 若 a 2b ka b 则 a 2b ka b 0 即16k 16 2k 1 2 64 0 k 7 学后反思 1 利用数量积求模问题是数量积的重要应用 根据实际合理选择以下公式 a a a b 若a x y 则 a 2 非零向量a b a b 0是非常重要的性质 它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效 应熟练掌握 若则a b 举一反三 2 已知向量m 1 1 向量n与向量m的夹角为 且m n 1 1 求向量n 2 设向量a 1 0 向量 若n a 0 试求 n b 的取值范围 解析 1 设n x y 由已知得即解得或 n 1 0 或 0 1 2 a 1 0 n a 0 n 0 1 故 题型三夹角问题 例3 12分 已知a b都是非零向量 且 a b a b 求a与a b的夹角 分析由公式可知 求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积 本题中 a b a b 的充分利用是求数量积的关键 考虑怎样对条件进行转化 解方法一 由 a b a b 得 所以 4 而 所以 a b a 8 设a与a b的夹角为 则 10 由于0 180 所以 30 12 方法二 设由 a b a b 得所以即所以 故设a与a b的夹角为 8 则 10 由于0 180 所以 30 12 学后反思 1 求两个向量的夹角 需求得a b及 a b 或得出它们的关系 注意夹角的取值范围是 0 180 正确理解公式是关键 2 向量有两种表示形式 即坐标法和几何法 解题时要灵活选择 本题通过比较两种方法发现 利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观 举一反三 3 已知 a b 3 a和b的夹角为45 求当向量a b与 a b的夹角是锐角时 的取值范围 解析 a b a b cos45 a b与 a b的夹角为锐角 a b a b 0 即把a b 3 代入上式得 解得 或 又a b与 a b的夹角为锐角 所以 即 1 所以 题型四综合应用问题 例4 已知向量若函数f x a b在区间 1 1 上是增函数 求t的取值范围 分析先求出f x 的表达式 然后利用导数与函数单调性的关系及增函数的性质求解 注意x的取值范围 解因为f x a b 所以 若f x 在 1 1 上是增函数 则在 1 1 上 0 所以 而当t 5时 在 1 1 上满足 0 即若f x 在 1 1 上是增函数 则t的取值范围为 5 学后反思新课标强调向量的工具性 要求加强向量与三角函数 函数 解析几何 立体几何等知识的联系 因