利用韦达定理求一元二次方程的根.doc

利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax2bxc0的两根分别为x1、x2，则有x1x2， x1x2.2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x 不妨假设 x1， x2不难得出 x1x2， x1x2.（法二）若一元二次方程的两根分别为x1、x2，则方程可以写成以下形式 a(xx1)(xx2)0 (a0) （双根式） 按照x的次数降幂排列，得 ax2a(x1x2)xax1x20 对比一元二次方程的一般式ax2bxc0，得 ba(x1x2)， cax1x2， x1x2， x1x2.3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x2pxq0的形式假设方程的两根分别为x1、x2，则有x1x2p，x1x2q. （二）已知一元二次方程两根分别为x1、x2，则方程可以写成以下形式 x2(x1x2)xx1x20.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x22x60的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x3)(x)0，解得， x13， x2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a1，b2，c6， b24ac82432， x2，于是有 x13， x2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2(x1x2)xx1x20形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x22x60，根据韦达定理有x1x22，x1x26.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x1a， x2a， （满足条件x1x22）且 (a)(a)6. （满足条件x1x26）于是有2a26， 则a28， 因此a2 x123， x22.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1： 解方程x26x250，根据韦达定理有x1x26，x1x225.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x13a， x23a， （满足条件x1x26）且 (3a)(3a)25. （满足条件x1x225）于是有9a225， 则a234， 因此a x13， x23.例2： 解方程x224x630，根据韦达定理有x1x224，x1x263.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x112a， x212a， （满足条件x1x224）且 (12a)(12a)63. （满足条件x1x263）于是有144a263， 则a2207， 因此a x112， x212.例3：解方程x214x480，根据韦达定理有x1x214，x1x248.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x17a， x27a， （满足条件x1x214）且 (7a)(7a)48. （满足条件x1x248）于是有49a248， 则a21， 因此a1 x1718， x2716.例4：解方程x218x400，根据韦达定理有x1x218，x1x240.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x19a， x29a， （满足条件x1x218）且 (9a)(9a)40 （满足条件x1x240）于是有81a240， 则a241， 因此a x19， x29.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x29x50，（法一）根据韦达定理有x1x2，x1x2.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得 x1a， x2a， （满足条件x1x2）且 (a)(a). （满足条件x1x2）于是有 a2， 则a2， 因此a x1， x25.（法二）a2，b9，c5， b24a