高等流体力学第4章.ppt

2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 1 第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 2 无粘性不可压缩流体的无旋运动是流体力学中一种理想化的简单模型 对无粘性不可压缩流体无旋运动的研究可以给出许多有用的结果 并可为研究复杂流动现象奠定基础 通过本章的学习 可以加深了解流体力学的某些基本规律 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 3 主要内容 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程组第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数第三节平面定常无旋运动的复势第四节定常绕流中柱体受力的复势表示第五节奇点分布法解平面势流问题第六节镜像法解平面势流问题第七节共形映射法解平面势流问题第八节无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 4 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动方程组 无粘性不可压缩流体的无旋流动是真实流体运动在一定条件下的一种简化 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程组 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 5 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动方程组 无粘性的假设 真实流体都具有粘性 在流动过程中粘性力对流动起一定的作用 试验表明 当流体绕流物体时 在物体的表面会形成很薄的一层区域 在这个薄层区域内 流体强烈有旋 粘性作用相当显著 流体粘性不能忽略 薄层外大部分区域 流体惯性力与粘性力之比很大 粘性作用可忽略 流体可作为无粘性处理 自然界中 惯性力远远大于粘性力的流动现象非常普遍 许多流动都可作为无粘性处理 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 6 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动方程组 不可压缩的假设 在自然界通常的条件下 流体 液体和气体 的运动速度较低 压缩性的影响可以忽略 可把液体和低速气体近似作为不可压缩流体 无旋的假设 涡保持性定理指出 在一定条件下 体力有势 正压 无粘性 如果在流体中初始时刻没有涡量的话 以后就永远不能具有涡量 无穷远均匀来流的定常绕流及从静止起动的非定常运动等都可用无旋运动模型进行处理 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 7 第一节一 无粘性不可压缩流体运动的基本方程及定解条件 一 无粘性不可压缩流体运动的基本方程及定解条件 由于非线性及速度与压强的耦合 求解很困难 只有在特定条件下才可能得到理论解 初始条件 边界条件 一组最简单的流体运动方程组 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 8 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动方程组二 速度势函数 二 速度势函数 如果在流动区域内 流体运动无旋 则可以证明必存在一个速度势函数 速度势函数 或速度势 代入不可压流体连续性方程 拉普拉斯方程 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 9 引入速度势函数的意义 速度势函数满足拉普拉斯方程 拉普拉斯方程是线性方程 在给定的边界条件下可以进行数学求解 求解方法比较成熟 在原基本方程组中 速度与压强耦合 引入速度势函数后 基本方程组转化为只需求解速度势就可以了 成为一个纯数学问题 在求得速度势和流动速度后 代入运动方程即可求解压强 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动方程组二 速度势函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 10 压强的求解 对于正压和体力有势流体 当流动无旋时 存在拉格朗日积分 正压函数 体力势 在流体密度不变 体力为重力时 有 第一节无粘性不可压缩流体无旋运动方程组二 速度势函数 在已知速度势函数及速度的条件下 压强函数可由此式求出 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 11 第一节三 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件 三 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件 初始条件 边界条件 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 12 关于速度势函数的说明 速度势满足拉普拉斯方程的条件 1 流动无旋 2 流体不可压 对于粘性不可压缩流体 如果运动无旋 则也存在速度势函数 且同样满足拉普拉斯方程 但边界条件要发生变化 什么变化 速度势满足拉普拉斯方程与流动是否定常无关 对于非定常流动 时间t在方程中以参数的形式出现 第一节三 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 13 无粘性不可压缩流体绕流分析 分析条件 不可压均匀来流速度为V 密度为 绕流物体为无穷长直圆柱 半径为a 不计重力 无速度环量 第一节三 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件 这是一个无粘性不可压无旋二维流动 存在速度势函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 14 速度势函数所满足的拉普拉斯方程为 第一节三 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件 边界条件 柱坐标下的拉普拉斯方程 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 15 应用分离变量法 求得速度势函数 第一节三 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件 速度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 16 圆柱壁上流体的速度 第一节三 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件 根据伯努利方程 圆柱壁上的压强 根据圆柱壁面上的压强分布 就可以求出圆柱受力 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 17 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 平面运动 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 平面运动指流场中各点流体速度都平行于某一固定平面 并且各物理量在此平面的垂直方向没有变化 说明 实际工程中 严格意义的平面运动不存在 但当物理量在某一方向的变化相对其他方向的变化很小 则可将此流动简化为平面运动 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 18 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 空间轴对称运动 空间轴对称运动指在流场中存在对称轴 所有流体质点都在通过轴线的平面内运动 而且所有这些过轴线的平面内的运动情况都是相同的 例如 炮弹在空中直线飞行 排气管内气体的流动等 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 19 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 一 不可压缩流体平面运动的流函数 1 流函数的定义 流函数的定义 直角坐标系中 直角坐标系中的标量函数 当其满足 则称这个标量函数 为流函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 20 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 流函数的定义 柱坐标系中 柱坐标系中的标量函数 当其满足 则称这个标量函数 为柱坐标下的流函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 21 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 2 流函数的性质 1 等流函数线是流线 等流函数线上 d 0 平面运动的流线方程 说明 以下各项性质与流体是否具有粘性无关 即不论是粘性流体或者非粘性流体都适用 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 22 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 2 平面内任意两点的流函数的差值等于通过这两点的流体的流量 过任一非流线的曲线AB上微元dl的流量 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 23 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 3 流函数可能是多值函数 假设流过内边界L0的总流量Q0不为零 即 如果封闭曲线P0DBAP0绕内边界n周 则有 说明 是多值的 它们之间相差Q0的整数倍 尽管流函数可能是多值的 但速度是单值的 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 24 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 4 流函数 的值是 速度矢量势B 的模 根据不可压缩流体连续性方程 速度的散度为零 定义 速度矢量势B 另一方面 比较 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 25 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 5 流函数 满足 方程 平面流动的流体涡量只有z轴方向分量 方程 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 26 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 3 流函数所满足的方程 根据无粘性 不可压缩 体力有势条件下的亥姆霍兹方程以及流函数的定义和性质 可得 无粘性不可压缩流体平面运动流函数满足的方程 定常条件下 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 27 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 4 无粘性不可压缩流体的平面无旋运动 无旋条件下 方程转化为拉普拉斯方程 无旋条件下 1 无粘性不可压缩流体平面无旋运动的运动方程 无粘性不可压缩流体平面无旋运动的运动方程 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 28 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 2 无粘性流体的流函数应满足的边界条件 无粘性流体在固壁边界上应满足无渗透与无分离条件 其中 固壁平动速度 固壁转动角速度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 29 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 边界条件为 沿周界积分 固壁静止时 无粘性流体的流函数应满足的静止固体壁面上的边界条件 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 30 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 无粘性不可压缩流体平面无旋运动的基本方程及定解条件 边界条件 运动方程 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 31 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数一 平面运动的流函数 说明 无粘性不可压缩流体的平面无旋流动同时存在速度势函数和流函数 并且速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程 无粘性不可压缩流体的平面无旋流动问题可归结为速度势函数或流函数的拉普拉斯方程的求解问题 通过求解可得到速度势函数或流函数 根据速度势函数或流函数与速度的关系即可求得速度场及压强分布 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 32 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数二 斯托克斯函数 二 不可压缩流体空间轴对称运动的斯托克斯函数 1 斯托克斯函数的定义 斯托克斯函数的定义 柱坐标系中 柱坐标系中的标量函数 当其满足 则称这个标量函数 为斯托克斯函数 通常把不可压缩流体空间轴对称运动中的流函数称为斯托克斯函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 33 斯托克斯函数的定义 球坐标系中 球坐标系中的标量函数 当其满足 则称这个标量函数 为球坐标下的斯托克斯函数 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数二 斯托克斯函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 34 2 斯托克斯函数的性质 1 在对称轴平面上的等流函数线即为流线 2 过对称轴平面内任两点流函数值的差乘以2 等于通过这两点任意曲线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量 3 对于无粘性不可压缩流体空间轴对称的无旋运动 斯托克斯函数满足 柱坐标系 球坐标系 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数二 斯托克斯函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 35 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数二 斯托克斯函数 说明 对于无粘性不可压缩流体空间轴对称的无旋运动问题 可以通过两种方式求解 求解速度势函数满足的拉普拉斯方程 求解斯托克斯函数所满足的方程 斯托克斯流函数满足的方程不是拉普拉斯方程 求解具有较大的困难 因此通常不采用解斯托克斯流函数的方法对无粘性不可压缩流体空间轴对称的无旋运动问题进行研究 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 36 第三节平面定常无旋运动的复势 第三节平面定常无旋运动的复势 无粘性不可压缩流体平面无旋运动的速度势和流函数满足柯西 黎曼条件 因此 可以通过复变函数求解解析函数的方法对流场进行求解 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 37 第三节平面定常无旋运动的复势一 复势 一 复势 调和函数 和 满足柯西 黎曼条件 因此可组成一个解析函数 平面无旋运动的复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 38 第三节平面定常无旋运动的复势一 复势 1 复势与流场速度的关系 复速度 共轭复速度 复速度的虚部为y向速度分量 复速度的模 复速度的模是速度的绝对值 复速度的实部为x向速度分量 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 39 第三节平面定常无旋运动的复势一 复势 复速度和共轭复速度的另一种表示 为速度方向与x的夹角 流场速度 复势与速度的关系 根据流动无旋的特点 求得速度后 可由伯努利方程求得压强 无粘性不可压缩流体平面无旋运动的求解归结为复势求解 求得复势 即得速度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 40 第三节平面定常无旋运动的复势一 复势 2 复势与速度环量及流量的关系 复速度对某一闭合回路的积分 复势与速度环量及流量的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 41 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 说明 无粘性不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数和流函数构成了复势W z 如果求得了流场的复势 也就求得了流动速度 在许多情况下 求复势往往要比通过求解拉普拉斯方程来求速度势函数或流函数容易 因此利用求复势来得到流体流动速度的方法是流体力学的一种重要的研究方法 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 42 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 二 平面基本流动的复势 1 均匀直线流 速度大小为V 方向为 的均匀直线流 流动复势为 速度大小为V 方向为 的均匀直线流 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 43 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 2 点源 汇 对于放置在原点处 流量为Qs的源 汇 流动复势为 对于放置在z z0点 流量为Qs的源 汇 流动复势为 大于零对应 源 小于零对应 汇 称作点源 汇 的强度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 44 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 流线是一族从原点出发的射线 等势线是以原点为圆心的圆周族 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 45 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 流体速度与离开原点的距离成反比 根据速度与速度势函数或流函数的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 46 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 包围原点闭合回路的积分 根据复势与速度环量及流量的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 47 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 3 点涡 对于放置在原点处 环量为 的点涡 流动复势为 对于放置在z z0点 环量为 的点涡 流动复势为 大于零对应逆时针流动 小于零对应顺时针流动 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 48 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 流线是一族以原点为圆心的圆周族 等势线是过圆心的直线 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 49 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 流体速度与离开原点的距离成反比 根据速度与速度势函数或流函数的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 50 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 包围原点闭合回路的积分 根据复势与速度环量及流量的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 51 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 4 涡源 涡汇 放置在同一点上的源与涡的叠加 对于放置在原点处 强度为Qs的源与环量为 的涡叠加所得流场 流动复势为 对于放置在z z0点 强度为Qs的源与环量为 的涡叠加所得流场 流动复势为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 52 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 流线和等势线皆为对数螺旋线 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 53 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 根据速度与速度势函数或流函数的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 54 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 包围原点闭合回路的积分 根据复势与速度环量及流量的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 55 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 5 偶极子 在实轴上离原点等距离两侧各放置一个源和一个汇 流量均为Qs 当两个点源 汇 向原点靠拢重合时所形成的流动奇点称为偶极子 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 56 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 偶极子分析 设 在x h 0 处放置一点源 强度为Qs 在x h处放置一点汇 强度为 Qs 流动复势为 令 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 57 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 偶极子流动复势 称 为偶极矩 偶极子放置在原点 且偶极子方向与x轴平行时 偶极子的复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 58 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 当偶极子放置在z z0点 且偶极子方向与x轴平行时 则偶极子的复势为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 59 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 当源放置在正x轴上 汇放置在负x轴上 偶极子指向正x轴方向时 偶极矩Mt 0 当源放置在负x轴上 汇放置在正x轴上 偶极子指向负x轴方向时 偶极矩Mt 0 定义 从汇指向源的方向为偶极子方向 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 60 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 流线为与x轴相切的圆周族 等势线为与y轴相切的圆周族 根据复势与速度势函数及流函数的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 61 第三节平面定常无旋运动的复势二 平面基本流动的复势 根据速度与速度势函数或流函数的关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 62 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示 单位长度柱体所受流体作用力和作用力矩的求解 求流场复势 求物体表面流体速度分布 根据伯努利方程求物面压强分布 将压强分布对剖面周线积分 求单位长度柱体所受合力 将压强力矢量对原点的力矩沿剖面周线积分 求单位长度柱体所受合力矩 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 63 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示一 布拉修斯定理 一 布拉修斯定理 布拉修斯定理包括 布拉修斯公式 定常绕流时 柱体受力的复速度表示式 布拉修斯合力矩公式 定常绕流时 柱体所受力矩的复速度表示式 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 64 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示一 布拉修斯定理 根据柱体周界上微元弧段的受力及力矩分析 可以推得柱体所受合力和合力矩 布拉修斯公式 柱体剖面周线 复速度 x向受力 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 65 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示一 布拉修斯定理 布拉修斯合力矩公式 积分实部 复速度 柱体所受合力矩 柱体剖面周线 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 66 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示二 儒可夫斯基升力公式 二 儒可夫斯基升力公式 研究无穷远均匀来流的绕流问题 假设在绕流物体周界C以外无奇点 则对任一包围物体周界C的圆周C1 复速度在C1外域中可以展开为罗朗级数 其中 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 67 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示二 儒可夫斯基升力公式 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 68 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示二 儒可夫斯基升力公式 代入布拉修斯公式 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 69 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示二 儒可夫斯基升力公式 儒可夫斯基公式 无粘性不可压缩流体的平面定常无旋绕流 流体作用在柱体上的合力与均匀来流速度垂直 称作升力 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 70 第四节定常绕流中柱体受力的复势表示二 儒可夫斯基升力公式 同理 可得合力矩公式 合力矩不仅与来流速度大小及方向有关 还与复速度罗朗级数中1 z2项的系数有关 即与柱体剖面的周界形状和方位有关 复速度dW dz罗朗级数中的1 z2项的系数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 71 第五节奇点分布法解平面势流问题 第五节奇点分布法解平面势流问题 奇点分布法 由于复势为解析函数 因此具有可迭加性 若干复势的线性组合可以代表某种平面组合流动的复势 简单流动 均匀直线流 点源 汇 点涡 涡源 涡汇 偶极子等 称作流体力学奇点 可以通过分布适当的奇点 使得它们的复势的线性组合满足具体问题的边界条件 那么这个组合复势就是所求问题的解了 奇点分布法 奇点迭加法 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 72 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 一 无环量圆柱定常绕流 1 无环量圆柱定常绕流的复势 无穷远处均匀来流V 定常绕过半径为a的圆柱的流动 其复势可以看作无穷远处均匀直线流V 的复势与在原点的偶极矩为Mt 2 V a2的偶极子的复势的迭加 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 73 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 1 复势的组合 平行x轴的均匀直线流的复势 放置在原点的偶极子的复势 Mt为偶极矩 组合流场的复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 74 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 2 组合复势的分析 驻点的位置 说明组合流场有两个驻点 a 0 和 a 0 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 75 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 过驻点的流线 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 76 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 驻点坐标代入 圆心在原点 半径为a的圆周 说明组合复势满足以原点为圆心 a为半径的圆周的边界条件 说明组合复势可以反映出以圆周为边界的某种流动 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 77 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 圆内流场及圆外流场 圆内部分的流动可看作为在圆周内的原点上放置一偶极矩为Mt的偶极子造成的 复势为 流场可分为圆内流场和圆外流场两部分 圆外部分流动可看作为无穷远处速度为V 的均匀直线流绕流半径为a的圆柱造成的 复势为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 78 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 分析结论 无穷远处均匀来流V 定常绕过半径为a的圆柱的流动 可以看作由无穷远处均匀直线流动V 与放置在原点的偶极矩为Mt 2 V a2的偶极子的流动的迭加所构成 流动的复势为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 79 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 2 无环量圆柱定常绕流的分析 无环量圆柱定常绕流流场的速度分布 流场复速度 圆柱表面复速度 驻点处速度为零 在 2处 速度达到最大值 最大速度为2V 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 80 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 2 无环量圆柱定常绕流时的圆柱受力 根据伯努利方程 流场内任一点压强 圆柱表面压强 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 81 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 定义 压强系数 则 圆柱表面压强系数 在 2处 cp 3 压强最小 流速最快 前后驻点处cp 1 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 82 第五节奇点分布法解平面势流问题一 无环量圆柱定常绕流 圆柱所受合力 说明当圆柱作无环量定常绕流时 既不承受升力 也不存在阻力 称为 达朗伯佯谬 达朗伯佯谬产生的原因是假设流体无粘性定常绕流 因此速度和压强对称分布 流体对圆柱合力为零 真实流体具有粘性 使得流体对圆柱表面产生摩擦力 而且由于流动不对称 圆柱后出现尾涡 流体将对圆柱产生压差力 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 83 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 二 有环量圆柱定常绕流 1 有环量圆柱定常绕流的复势 可以证明 有环量的圆柱定常绕流的复势 是在无环量圆柱定常绕流的复势上迭加一个放置在原点 环量为 的点涡的复势 2 有环量圆柱定常绕流的复速度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 84 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 3 流场驻点 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 85 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 1 假设 0 zs1在圆外 zs2在圆内 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 86 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 2 两个驻点重合 在圆与虚轴的交点上 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 87 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 3 两个驻点关于虚轴对称 并且都落在圆周上 随着 的减小 两个驻点将顺着圆周向两边分开 为零时 两个驻点将落在实轴上 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 88 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 4 圆周表面速度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 89 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 5 圆柱上的压强分布及压强系数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 90 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 6 作用在圆柱上的合力 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 91 柱体固定 均匀来流以速度V 绕流该圆柱时 柱体受力 柱体相对静止流体以匀速v0运动时 柱体受力 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 受力与来流垂直 称为升力 该升力是由于存在环量的缘故 足球里的 香蕉球 乒乓球里的 弧圈球 皆是由此原因造成的 儒可夫斯基升力公式 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 92 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 93 说明 奇点迭加法的关键在于寻找一组适当的流体力学奇点 在这些流体力学奇点迭加后的组合流场中 存在这样的流线 该流线的形状恰好是所研究问题的边界的形状 奇点迭加法带有某种程度的 凑合 的含义 因此也可将其称为 奇点凑合法 第五节奇点分布法解平面势流问题二 有环量圆柱定常绕流 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 94 第六节镜像法解平面势流问题 第六节镜像法解平面势流问题 在求解无界域物体绕流问题时 可以用某个流体力学奇点来代替这个物体 这样就可容易地求得流场的复势 例如求机翼升力时 可用点涡代替机翼以求解流场 但在流场中存在直线边界或圆周边界时 单纯依靠 奇点分布法 进行流场的求解则会变得比较困难了 此时可采用镜像法求解流场复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 95 第六节镜像法解平面势流问题 镜像法的基本思想 设以C为边界的区域 之外存在一组流体力学奇点S 在 内放置另一组奇点S 让这两组奇点的组合构成的流场中恰好存在一条流线 该流线就是区域 的边界 奇点S 称为奇点S关于边界C的镜像 由奇点S和S 构成的组合流场的复势就是所求的 之外区域 中流场的复势 镜像法的关键 确定镜像点 要求确定的镜像点不能在原区域中 即保证原区域的奇性 组合流场中存在一条流线 该流线应与区域的边界重合 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 96 第六节镜像法解平面势流问题一 圆定理 一 圆定理 圆定理 若在的圆周之外无界流场中存在流体力学奇点 其复势为 则当流场中放入的圆周固壁后 流场的复势为 式中 的定义是除z之外将中所有的虚数i改为 i 原流场的复势 镜像的复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 97 第六节镜像法解平面势流问题一 圆定理 证明 的奇点zi的都在圆外 不在内增加新奇点 保证了区域内的奇性 首先 可以证明的奇点在圆内 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 98 第六节镜像法解平面势流问题一 圆定理 圆周上 圆周上的复势 其次 复势虚部为零 即 0 说明圆周即为流线 该流线即为固壁边界 说明流场中放入圆周固壁后 该组合复势仍能保证原区域的奇性 同时 该组合复势所表示的流场中存在一条流线 该流线与圆周固壁的边界重合 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 99 第六节镜像法解平面势流问题一 圆定理 例题 已知 速度为V 的均匀直线来流 方向与x轴成 角 流场中有一半径为a的圆柱 求 绕流无环量圆柱的流场复势 解 与x轴成 角 大小为V 的均匀直线来流 流场复势为 该复势对于圆周的镜像复势为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 100 第六节镜像法解平面势流问题一 圆定理 根据圆定理 圆周固壁之外流场的复势为 速度为V 方向与x轴成 角的均匀直线来流 绕流无环量圆柱的流场复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 101 第六节镜像法解平面势流问题二 平面定理 二 平面定理 平面定理 1 若在y 0的上半平面中存在流体力学奇点 其复势为f z 则当流场中放入y 0的平面固壁后 上半平面流场复势为 平面定理 2 若在x 0的右半平面中存在流体力学奇点 其复势为f z 则当流场中放入x 0的平面固壁后 右半平面流场复势为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 102 第六节镜像法解平面势流问题二 平面定理 例题 已知 在第一象限直角区域内z0处放置一个环量为 的涡 求 当流场中放置了y 0和x 0的固壁后 流场的复势与复速度 解 流动区域由x 0和y 0两直线固壁构成边界 可分开进行考虑 1 无限域内z0处点涡的复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 103 2 放入固壁x 0后的流场复势 3 再放入固壁y 0后的流场复势 第六节镜像法解平面势流问题二 平面定理 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 104 4 复速度 第六节镜像法解平面势流问题二 平面定理 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 105 第七节共形映射法解平面势流问题 第七节共形映射法解平面势流问题 当流动区域比较复杂 如绕机翼的流动等 时 采用奇点迭加法和镜像法很难求得区域内的流动复势 采用复变函数中的共形映射法则可以比较好地解决区域边界比较复杂时的流动复势的求解问题 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 106 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 一 共形映射法的基本思想 对无穷远处速度为V 方向为 角的均匀来流绕周线为C的形状复杂的物体的流动问题进行求解 寻找一个解析函数z f F z z f 将z平面上复杂周线C变换为 平面上形状简单的周线C z f 将C外的区域映射到 平面上周线C 外的区域 求解问题变为辅助平面 上速度为V 的均匀来流绕周线为C 的物体的流动 W W F z W z 辅助平面 上的流动复势 物理平面z上的流动复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 107 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 1 物理平面与辅助平面对应关系的分析 说明 平面上的等势线及流线对应到z平面上仍为等势线和流线 1 等势线及流线的对应关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 108 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 2 复速度的对应关系 平面和z平面上复速度的对应关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 109 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 3 速度环量及流量的对应关系 平面和z平面上速度环量及流量的对应关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 110 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 2 定常绕流的复势 问题 无穷远处有一速度为V 方向为 的均匀直线来流绕过物体C 解析函数将z平面上C的外部映射到 平面上半径为a的圆周C 的外部 问题转化 平面上速度大小为m V 方向为 的均匀来流绕过半径为a的圆柱C 解析函数将z平面上C的边界映射到 平面上半径为a的圆周C 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 111 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 在映射平面 上 所求问题的复势 物理平面上物体C定常绕流的复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 112 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 物理平面上的复速度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 113 第七节共形映射法解平面势流问题一 共形映射法的基本思想 物理平面的复速度 物理平面的复势 要最终确定复势或复速度 还必须确定环量值 求解物理平面上物体C的定常绕流问题 关键在于寻找映射函数 解析函数 z f 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 114 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基假定及环量的确定 二 儒可夫斯基假定及环量的确定 1 儒可夫斯基假定 儒可夫斯基假定 对于具有尖后缘翼型的定常绕流问题 当流动冲角不大以至无严重流动分离时 翼型上下两股气流总在尖后缘上汇合 下股气流不会绕过尖后缘流至翼型上侧 上股气流也不会绕过尖后缘流至翼型下侧 在尖后缘处 流动速度是有限值 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 115 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基假定及环量的确定 2 尖后缘翼型定常绕流的环量值 解析函数z f 将物理平面z上的周界C映射到变换平面 上的圆周C 设尖后缘点B对应变换平面 上的B 点 由于B点的外角为2 B 点的外角为 z f 在B点的保角性破坏 因而必然有 根据儒可夫斯基假定 B点的流动速度值有限 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 116 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基假定及环量的确定 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 117 为尖后缘点B的映象点的极角 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基假定及环量的确定 尖后缘翼型定常绕流时环量的表达式 可用于尖后缘翼型定常绕流时环量的计算 如翼型不具有尖后缘 则无法从理论上求环量 只能由实验测定 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 118 3 翼型绕流环量产生的原因 假设在流场中有一翼型 作一包围该翼型的封闭流体线 翼型启动前 沿C的速度环量为零 由开尔文定理 沿C的速度环量将始终保持为零 翼型启动 速度为V0 此时后缘点A处流动速度达到很大的值 压强降低 机翼下侧的流体将绕过A点流向驻点B 由于流动是从低压向高压方向进行 流动形成分离 产生逆时针涡旋 并在尾部脱落 由于沿C的总环量为零 在翼型上必然同时产生一个与脱落漩涡的涡强相等 方向相反的涡 涡的作用使得驻点向后缘点移动 直到移到后缘点 翼型上下两侧的两股流动在后缘点汇合 此时不再有涡从翼面脱落 附着在翼型上的涡的强度也不再发生变化 机翼的环量保持恒定 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 119 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 三 儒可夫斯基变换及其应用 1 儒可夫斯基变换函数 儒可夫斯基变换函数 b为实常数 儒可夫斯基函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 120 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 2 儒可夫斯基函数的几何性质 1 z平面上半宽长为b的直线段变换为 平面上半径为b的圆周 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 121 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 2 z平面上长短半轴分别为a1 b1的椭圆变换为 平面上半径为a的圆周 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 122 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 3 z平面上的圆弧变换为 平面上的偏心圆周 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 123 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 4 z平面上的对称机翼变换为 平面上的偏心圆周 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 124 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 5 z平面上的儒可夫斯基机翼变换为 平面上的偏心圆周 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 125 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 3 儒可夫斯基变换的应用 例题 已知 速度为V 冲角为 的均匀来流绕流儒可夫斯基翼型 求 流动的复势 复速度 环量及升力 解 进行儒可夫斯基变换 将z平面上的机翼映射为 平面上的偏心圆 圆心为 0 半径为a 由于dz d 1 2 在 平面上对应的流速为1 2V 冲角为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 126 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 复势 平面上的复势 z平面上的复势 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 127 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 复速度 平面上的复速度 z平面上的复速度 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 128 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 129 第七节共形映射法解平面势流问题二 儒可夫斯基变换及其应用 速度环量 升力 儒可夫斯基升力公式 根据参数之间的关系和几何关系 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 130 第八节空间轴对称流动一 基本流动 第八节无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动 空间轴对称运动 空间轴对称运动指在流场中存在对称轴 所有流体质点都在通过轴线的平面内运动 而且所有这些过轴线的平面内的运动情况都是相同的 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 131 第八节空间轴对称流动一 基本流动 一 基本流动 1 均匀流 速度为V 且平行于z轴的均匀流 流动无旋且轴对称 因此存在速度势函数和流函数 柱坐标中的速度分量为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 132 第八节空间轴对称流动一 基本流动 柱坐标中的速度势函数和流函数 积分 柱坐标系中 速度为V 且平行于z轴的均匀无旋轴对称流动的速度势函数和流函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 133 第八节空间轴对称流动一 基本流动 球坐标中的速度势函数和流函数 代换柱坐标中的势函数和流函数 球坐标系中 速度为V 的均匀无旋轴对称流动的速度势函数和流函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 134 第八节空间轴对称流动一 基本流动 2 点源 汇 坐标原点有一强度为Qs的点源 则在球坐标系中流动为径向流动 在球坐标中 半径为R处的速度分量可以表示为 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 135 第八节空间轴对称流动一 基本流动 球坐标中的速度势函数和流函数 积分 球坐标系中 点源流动的速度势函数和流函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 136 第八节空间轴对称流动一 基本流动 柱坐标中的速度势函数和流函数 代换球坐标中的势函数和流函数 柱坐标系中 点源流动的速度势函数和流函数 2020 3 10 高等流体力学第四章无粘性不可压缩流体的无旋运动 137 第八节空间轴对称流动一 基本流动 3 偶极子 空间流中 位于同一点上的等强度的