学案7空间向量在立体几何中的应用.ppt

学案7空间向量在立体几何中的应用 从近两年的高考看 利用空间向量证明平行与垂直 求异面直线所成的角 线面角及二面角大小是高考的热点 题型主要是解答题 难度属中等偏高 主要考查向量的坐标运算 空间想象能力和运算能力 预计2012年仍将以考查用向量方法证平行与垂直 求三类角大小为主 重点考查数量积运算 空间想象能力和运算能力 1 平面的法向量直线l 取直线l的 则叫做平面 的法向量 2 直线l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 则l 方向向量a 向量a u v 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 3 设直线l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 则l 若平面 的法向量u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 则 4 空间的角 1 若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2 l1与l2所成的角为 则cos u v a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 u v 0 u v a1a2 b1b2 c1c2 0 cos 2 已知直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u l与 的夹角为 则sin 3 已知二面角 l 的两个面 和 的法向量分别为v u 则与该二面角 5 空间的距离 1 一个点到它在一个平面内的距离 叫做点到这个平面的距离 2 已知直线l平行平面 则l上任一点到 的距离都 且叫做l到 的距离 cos 相等或互补 正射影 相等 3 和两个平行平面同时的直线 叫做两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做两个平面的 两平行平面的任两条公垂线段的长都相等 公垂线段的叫做两平行平面的距离 也是一个平面内任一点到另一个平面的距离 4 若平面 的一个为m P是 外一点 A是 内任一点 则点P到 的距离d 垂直 公垂线段 长度 法向量 如图在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H为BC的中点 1 求证 FH 平面EDB 2 求证 AC 平面EDB 考点1用向量证明平行 垂直问题 证明 四边形ABCD为正方形 AB BC 又EF AB EF BC 又EF FB EF 平面BFC EF FH AB FH 又BF FC H为BC的中点 FH BC FH 平面ABC 以H为坐标原点 HB为x轴正方向 HF为z轴正方向 建立如图所示的坐标系 设BH 1 则A 1 2 0 B 1 0 0 C 1 0 0 D 1 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 分析 建立空间直角坐标系 利用向量方法做出证明 评析 利用直线的方向向量和平面的法向量 可以判定直线与直线 直线与平面 平面与平面的平行和垂直 如图 ABEDFC为多面体 平面ABED与平面ACFD垂直 点O在线段AD上 OA 1 OD 2 OAB OAC ODE ODF都是正三角形 1 证明 直线BC EF 2 求棱锥F OBED的体积 解析 分析 根据条件建立空间直角坐标系 利用向量坐标运算证明 求解 考点2用向量方法求线面角 如图 已知三棱锥P ABC中 PA 平面ABC AB AC PA AC AB N为AB上一点 AB 4AN M S分别为PB BC的中点 1 证明 CM SN 2 求SN与平面CMN所成角的大小 解析 1 证明 设PA 1 以A为原点 AB AC AP所在直线分别为x y z轴正向建立空间直角坐标系如图所示 则P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 N 0 0 S 1 0 所以CM 1 1 SN 0 因为CM SN 0 0 所以CM SN 评析 1 本题考查异面直线垂直 线面角的求法 空间直角坐标系的建立等知识 重点考查了在空间直角坐标系中点的坐标的求法 同时考查空间想象能力和推理运算能力 难度适中 2 利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 解析 如图 在矩形ABCD中 点E F分别在线段AB AD上 AE EB AF FD 4 沿直线EF将 AEF翻折成 A EF 使平面A EF 平面BEF 1 求二面角A FD C的余弦值 2 点M N分别在线段FD BC上 若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折 使C与A 重合 求线段FM的长 考点3用向量方法求二面角 分析 1 建立空间直角坐标系后 求两个面的法向量所成的角 2 用待定系数法求解 解析 1 取线段EF的中点H 连接A H A E A F及H是EF的中点 A H EF 又 平面A EF 平面BEF A H 平面A EF A H 平面BEF 2 设FM x 则M 4 x 0 0 翻折后C与A 重合 CM A M 故 6 x 2 82 02 2 x 2 22 2 2 得x 经检验 此时点N在直线BC上 FM 评析 利用空间向量方法求二面角 可以有两种办法 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 或 注意 利用空间向量方法求二面角时 注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 解析 考点4简单的距离问题 如图 BCD与 MCD都是边长为2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 2 1 求点A到平面MBC的距离 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 分析 建立坐标系后 代入点到平面的距离公式 可求点A到平面MBC的距离 解析 取CD中点O 连接OB OM 则OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 所以MO 平面BCD 取O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如图 OB OM 则各点坐标分别为C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 2 1 设n x y z 是平面MBC的法向量 则BC 1 3 0 BM 0 3 3 由n BC得x y 0 由n BM得y z 0 取n 1 1 BA 0 0 2 则d 评析 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面间的距离 异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容 可以和多种知识相结合 是诸多知识的交汇点 本题考查了点到平面的距离和垂直 夹角问题 这是命题的方向 要给予高度重视 解析 考虑到高考命题重点内容常考常新 稳中求变的原则 在高考复习中要特别注意空间向量的应用 但不能忽视传统的几何证明方法 综合法 而且任意把两种方法有机地融合在一起 寻找最佳的解题策略 由于在向量运算中可以出现变量 因此注意函数思想在立体几何中的应用以及开放性问题 探索性问题等 由于几何模型的引入 有关概率与立体几何的综合应用也不应当忽视 立体几何中的向量方法与算法的融合 三角变换的融合也应当引起足够的重视 1 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 2 角的计算与度量总要进行转化 这体现了转化的思想 主要将空间角转化为平面角