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三角函数的最值问题 高三备课组 1一 基础知识1 配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性 转化为二次函数在闭区间上的最值问题 如求函数可转化为求函数上的最值问题 的最值 2 化为一个角的三角函数 再利用有界性求最值 如函数 的最大值是 3 数形结合 常用到直线斜率的几何意义 例如求函数 的最大值和最小值 4 换元法求最值 利用换元法将三角函数问题转化为代数函数 此时常用万能公式和判别式求最值 利用三角代换将代数问题转化为三角函数 然而利用三角函数的有界性等求最值 例如 设实数x y满足则的最大值为 二重点难点 通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值 三思维方式1认真观察函数式 分析其结构特征 确定类型2根据类型 适当地进行三角恒等变形或转化 这是关键的步骤 3在有关几何图形的最值中 应侧重于将其化为三角函数问题来解决 四特别说明注意变换前后函数的等价性 正弦 余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响 含参数函数的最值 解题要注意参数的作用和影响 1 化为一个角的三角函数 再利用有界性求最值 二 题型剖析 P 66 函数Y acosx b a b为常数 若 求bsinx acosx的最大值 练习 求函数的最值 并求取得最值时的值 思维点拨 三角函数的定义域对三角函数有界性的影响 2 转化为闭区间上二次函数的最值问题 练习 是否存在实数a 使得函数在闭区间上的最大值是1 若存在 求出对应的a值 若不存在 试说明理由 例2P 66 思维点拨 闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路 3 换元法解决同时出现的题型 例4 求函数的最小值 思维点拨 遇到与相关的问题 常采用换元法 但要注意的取值范围是 以保证函数间的等价转化 4 图象法 解决形如型的函数 例4P 66例3 求函数的最大值和最小值 思维点拨 在用数形结合法解题时 作图一定要准确 本题若改为方程有一解 则的范围又该怎样呢 三 课堂小结 1 求三角函数最值的方法有 配方法 化为一个角的三角函数 数形结合法 换元法 基本不等式法 2 三角函数最值都是在给定区间上取得的 因而要特别注意题设所给出的区间 3 求三角函数的最值时 一般要进行一些三角变换以及代数换元 须注
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