【数学分析课件@北师大】15Green公式.pdf

1 曲线和曲面上的积分 Green公式和 Stokes公式 2 内容提要 Green公式 说明平面上简单闭曲线C的 第 二型 曲线积分和C所围区域的积分之间的 关系及其对有界区域的推广 Stokes公式 R3中双侧曲面S上的 第二型 曲面积分与其边沿的 第二型 曲线积分的关 系 Gauss公式 Rn中n 1维双侧闭曲面S的 第 二型 曲面积分和S所围区域上的积分之间 的关系及其对有界区域的推广 3 Green定理 设C是平面R2中的一条分段光滑简单闭曲线 是C所围成的闭区域 C F P Q 是定 义在 上的光滑向量场 规定C的方向为逆 时针方向 则下列Green公式成立 其中r x y 表示在闭曲线C上沿逆时针的 方向积分 CC dxdy y P x Q QdyPdxdrF C 4 Green定理示意图 5 Green定理的证明 Green定理的一般证明是复杂 但思想很简 单 就是将 分成满足下列形式的小区域 k 的并 先在每一个上证明定理 然后加起来 这里仅对上面特殊区域证明定理 设 yyxyyx xxyxyx k 21 21 yyxyyx xxyxyx 21 21 6 Green定理证明 续1 由公式右端出发 C d c y y d c dyyxQ dyyyQyyQ dx x Q dydxdy x Q 12 2 1 7 Green定理证明 续2 同样的 C d a x x b a dxyxP dxxxPxxP dy y P dxdxdy y P 21 2 1 8 Green定理证明 续3 两式相加就得到 C QdyPdxdxdy y P x Q 9 Green公式例题1 计算曲线积分 其中L是由A 1 1 经B 3 2 到C 2 5 再回到A的 三角形闭路 解 记 ABC所围成的区域 此时L的方向 是正向 dyyxdxyx L 222 10 Green公式例题1 续 利用Green公式 3 2 46 2 2 2 2 24 311 2 1 3 2 34 2 1 2 1 222 dyyxdxdyyxdx dxdyyxdyyxdxyx x x x x L 11 一般形式的Green定理 设 是平面R2中的有界闭区域 其边界 由 有限多条分段光滑的简单闭曲线组成 F P Q 是定义在 上的光滑向量场 规定 的方向 正向 为 沿该方向前行 区域 保持 在左侧 则下列Green公式成立 dxdy y P x Q QdyPdxdrF 12 Green定理的推论 梯度场 积分与路径无关 定理 单连通开集 中的光滑向量场是梯度场的充要条件 区域面积计算公式 13 梯度场定理 单连通开集 设 是一个平面开集 如果任何 中的简单闭曲线C所围的区域都包含在 中 就说 是单连通的 设 是平面上的单连通开集 F P Q 是 中 的一个光滑向量场 则存在 中的数值函数 使得F 的充分必要条件是 y P x Q yx 14 梯度场定理证明 条件的充分性 假设条件 成立 则连结在 中任意两点的曲线积分仅与初始点和终点 有关 因此F是梯度场 条件的必要性 假设F 则 y P yx f xy f x Q yx 22 15 Green公式例题2 计算 其中C是绕原点 0 0 按逆时针方向的一条闭曲 线 解 C yx xdyydx 22 22 22 2222 yx xy yx y yyx x x 16 Green公式例题2 续 注意这个向量场在原点不连续 因此我们不 能得到所求的曲线积分为零 记Cr为以原点为心 r为半径的圆周 当r充分 小时 Cr包含在C所围成的区域内 由一般形式的Green公式 2 2222 r CC yx xdyydx yx xdyydx 17 区域面积计算公式 设 是平面上的有界闭区域 其边界 由有 限多条分段光滑的简单闭曲线组成 则 的 面积为 ydxxdyydxxdy 2 1 18 Stokes定理 设 是平面上的一个有界单连通闭区域 其边 界 为一条分段光滑的简单闭曲线 为曲面S的正则表示 S 称作曲面S的 边界 规定S的方向与 S的方向成右手螺旋 设F P Q R 为S上的一个光滑向量场 则 3 R SSS NdFRdzQdyPdxdrF rot 19 Stokes公式 续1 这个公式称作Stokes公式 其中r x y z 称作向量场的旋度 也记成curl F 这个公式是Green公式到三维欧氏空间曲面 上的推广 设 u v x u v y u v z u v h t u t v t t a b 逆时针方向 y P x Q x R z P y Q y R F rot 20 Stokes公式 续2 下面计算 注意下面记号的省略 S Pdx tvtudxtvtuztvtuytvtuxPPdx b aS dv v x du u x vuzvuyvuxPPdx S 21 Stokes公式 续3 由Green公式 计算得到 dudv u x zyxP vv x zyxP u Pdx S v x u z z P v x u y y P v x u x x P uv x P v x P u 2 u x v z z P u x v y y P u x v x x P vu x P u x P v 2 22 Stokes公式 续4 这就有 所以 vu yx y P vu xz z P u x P vv x P u S S dxdy y P dzdx z P dudv vu yx y P vu xz z P Pdx 23 Stokes公式 续5 类似地有 相加就得到所要的公式 SS dydz z Q dxdy x Q Qdx SS dzdx y R dydz y R Rdx 24 Stokes公式的简单记法 Stokes公式有下面的行列式记法 SS RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx 25 一般形式Stokes定理 设 是平面R2中的有界闭区域 其边界 由 有限多条分段光滑的简单闭曲线组成 R3为单射分片光滑 S S F P Q R 为S上的一个分片光滑向量场 则 其中S的方向 侧 与 S的方向成广义右手螺 旋 即站在S一侧 沿 S的方向前行 曲面S保 持在左侧 SSS NdFRdzQdyPdxdrF rot 26 梯度场定理 单面连通开集 设 R3是开集 如果任何 中 的简单闭曲线C 存在分片光滑单射 B2 B2 C 就说 是单面连通的 其中B2