数学建模复习题--西北农林科大学计算机系.doc

数学模型复习资料10级计算机数学模型复习资料西北农林科大学 计算机专业相信这些都是重点的东西，大家一定要认真复习，争取考好数模，祝大家考试顺利第一部分（简答题）1叙述模型和数学模型的概念，并举例说明.（1）模型是指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。（2）对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型.2写出数学建模过程流程图;数学建模过程流程图为：实际问题抽象、简化、假设确定变量、参数归结数学模型 数学地、数值地 求解模型估计参数否 检验模型(用实例或有关知识)符合否？是评价、推广并交付使用产生经济、社会效益3建立数学模型的基本步骤有哪些？1模型准备(背景、目的、现象、数据、特征)2模型假设(合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对,或反映不了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力,不断修改或补充假设)3模型构成(建立数学结构)4模型求解(包括推理、证明、数学地或数值地求解)5模型分析(数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析)6模型检验(接受实际检验、往往在假设上)7模型应用(取决于建模的目的)4写出5个数学模型按照应用领域分类的模型名称.按模型的应用领域分类 数学模型 5写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称.按建模的数学方法分类数学模型 6写出5个数学模型按照建模目的分类的模型名称.按建模目的来分类 数学模型 7. 长方形椅子摆放问题、人口问题（习题8）、习题9.这些以小题形式出现（1）椅子摆放问题认真看书，要知道模型的假设和模型。（6-7页）（2）人口问题也要知道模型是怎么建的，两种模型，指数增长和阻滞增长（9-13页）（3）习题8和习题9的解答过程如下（考小题，这里大家要理解是如何做的）（23页）8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻的人口为,单位时间内人口的增量与成正比（其中为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.解：现考察某地区的人口数，记时刻的人口数为（一般是很大的整数）,且设为连续可微函数.又设.任给时刻及时间增量,因为单位时间内人口增长量与成正比, 假设其比例系数为常数.则到内人口的增量为： .两边除以,并令,得到 解为 如图实线所示， 指数模型 当充分大时 它与Logistic模型相近. Logistic模型 o t 9为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：（1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是支球队比赛呢？解：（1）方法一：以时间为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程为纵坐标， 第一天的行程可用曲线（）表示 ，第二天的行程可用曲线（）表示，（）（）是连续曲线必有交点,两天都在时刻经过地点. x d 方法二：设想有两个人， () 一人上山，一人下山，同一天同 时出发，沿同一路径,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为(即t时刻走的路程为),同样设从山顶到山下旅店的路函数为,并设山下旅店到山顶的距离为(0).由题意知：,.令,则有，由于,都是时间t的连续函数,因此也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,使,即.（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. 队需赛场，若，则需赛轮.8传染病模型、战争模型、房室模型、军备竞赛模型.注：这几个模型大家要能够理解模型是如何建立的要写得出相应的模型，一定要记得住写得出。传染病模型（三个）见课本【136页（5）式，137页（9）式，139页（14）式】战争模型见课本【148页（1）式，149页（3）式150页（8）（9）式】房室模型见课本【154页（3）式】军备竞赛模型见课本【181页（1）式，军备竞赛模型要能够计算它的平衡点所以181页（2）式-182页（3）（4）（5）式都要明白。9层次分析模型（写出层次结构图、层次分析步骤等）.这里给出两个例子：层次分析模型大家要能够根据题目的已知条件画出层次结构，【课本231页】几个基本步骤要知道，【课本235页】那些图作为参考大家要理解是怎么构造的。（1）于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.越海方案的最优经济效益解：目标层 建筑就 业岸间商 业当地商业收入省时 准则层修隧道建桥梁设渡轮 方案层 （2）述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）建立层次结构模型；（2）构造成对比较阵；（3）计算权向量并做一致性检验；（4）计算组合权向量并做组合一致性检验 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.10循环比赛（由得分向量写出竞赛图或邻接矩阵、双向连通图、排名次等）.循环比赛虽然考小题，但是这里把练习答案附上，以便大家能更好更深刻理解，怎么样根据题画图写矩阵和排名次。7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.21345解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3.所以此竞赛图是双向连通的. 等都是完全路径. 此竞赛图的邻接矩阵为 令，各级得分向量为， ， ， 由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.第二部分（大题） 老师给出的重点大题，大家一定要能够做得出来，相信大题肯定在这部分中出做大题的时候，大家一定要仔细，如果不能完全把题做出来，你还记得的步骤或者是公式一定要写上去，不要留空。差分方程看书【205页，207页】2知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和.设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 -（5）当8时，显然有 -（6）从而 2，在单位圆外下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 故点稳定平衡条件为 由于老师说了，差分方程模型是100%要考的，所以加多个题目，至于出什么大家自己去衡量。（2.1）在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和.设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： -（1） -（2）从上述两式中消去可得 ， -（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 -（4）当8时，显然有 -（5）从而 2，在单位圆外下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 故点稳定平衡条件为 捕鱼模型在课本【77页】课后练习【201页】1，2题也要会做3设某渔场鱼量(时刻渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.（1）求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）试确定捕捞强度,使渔场单位时间内具有最大持续产量,并求此时渔场鱼量水平.解：（1）.变化规律的数学模型为 记,令 ，即 -（1） ， （1）的解为： 当时，（1）无实根，此时无平衡点； 当时，（1）有两个相等的实根，平衡点为. ， 不能断定其稳定性.但 及 均有 ，即不稳定； 当时，得到两个平衡点： ， 易知 ， ， 平衡点不稳定 ，平衡点稳定. （2）最大持续产量的数学模型为： 即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于.4.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：其中和的意义与Logistic模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，又单位捕捞量为.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平.解：变化规律的数学模型为 记 令，得 ，平衡点为 . 又， 平衡点是稳定的，而平衡点不稳定. 0 最大持续产量的数学模型为：由前面的结果可得 ，令得最大产量的捕捞强度从而得到最大持续产量，此时渔场鱼量水平量纲分析模型也是100%要考的，大家一定要会做，还要看书【46页】5.深水中的波速与波长、水深、水的密度和重力加速度有关，试用量纲分析方法给出波速的表达式.解：设,， 的关系为=0.其量纲表达式为=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲. -4分量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 ，即 的基本解为= = 由量纲定理 得 , , ，其中是未定函数 . 线性规划问题也是出题重点，一点要会做，相信会出大题的。注意看书【82页】6某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：品种原材料能源消耗(百元)劳动力(人)利润(千元)甲2144乙3625现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.解：设安排生产甲产品件，乙产品件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为 模型的求解： 用图解法.可行域为：由直线组成的凸五边形区域. 直线在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当过的交点时，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.7. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲5220乙4510 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物