080【大学物理课件@北工大】大学物理Ⅰ-2.pdf

一 教学内容 一 教学内容 热学 波动与光学 量子物理热学 波动与光学 量子物理 二 教学考核 二 教学考核 期末考试成绩 平时成绩 期末总成绩期末考试成绩 平时成绩 期末总成绩 平时成绩平时成绩 20 热学热学 Thermology 研究与热现象有关的规律研究与热现象有关的规律 研究方法 研究方法 宏观法 宏观法 以实验为基础 研究系统与外界以实验为基础 研究系统与外界 的相互作用规律 的相互作用规律 微观法 微观法 对大量分子的行为作统计分析 对大量分子的行为作统计分析 建立宏观量与微观量的联系 建立宏观量与微观量的联系 热现象 热现象 大量分子无规则运动大量分子无规则运动 热运动热运动 的集的集 体表现体表现 热力学系统 热力学系统 由大量分子组成的系统由大量分子组成的系统 第一章第一章 气体动理论气体动理论 Kinetic Theory of Gases 主要内容 主要内容 压强公式压强公式 温度的微观解释温度的微观解释 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率 玻尔兹曼分布率玻尔兹曼分布率 分子的平均碰撞频率与平均自由程分子的平均碰撞频率与平均自由程 1 1 平衡态平衡态 Equilibrium State 在不受外界影响的条件下 系统的宏在不受外界影响的条件下 系统的宏 观性质不随时间改变的状态 观性质不随时间改变的状态 状态参量状态参量 描述平衡态的宏观量描述平衡态的宏观量 e g P V T E 内能内能 S 熵熵 P pressure SI单位 单位 Pa 1 Pa 1 N m2 其它单位 其它单位 1 mmHg 1 333 102 Pa 1 atm 1 013 105 Pa V volume SI单位 单位 m3 其它单位 其它单位 1 l 10 3 m3 1 cm3 10 6 m3 T temperature 摄氏温标摄氏温标 Celsius scale 单位 单位 开氏温标开氏温标 Kelvin scale 单位 单位 K T c Tk 273 15 目前 目前 Tmin 2 4 10 11K 激光冷却法激光冷却法 P V图图 A B P V 0 点点 平衡态平衡态 线线 准静态过程准静态过程 过程过程 中的每一时刻 系统都中的每一时刻 系统都 几乎处于平衡态几乎处于平衡态 两个系统的热平衡两个系统的热平衡 AB 导热板导热板 由导热板隔开的两个系由导热板隔开的两个系 统共同达到平衡态时统共同达到平衡态时 热平衡热平衡 此时此时 T A TB AB 绝热板绝热板 导热板导热板 C 与第三个系统达到热平衡的两个系统 互相与第三个系统达到热平衡的两个系统 互相 之间也达到热平衡 之间也达到热平衡 此时此时T A TC TB 热力学第零定律热力学第零定律 1 2 理想气体状态方程理想气体状态方程 Ideal Gas Equation of State RT M M PV mol 理想气体状态方程理想气体状态方程 Clapeyron s equation M 气体质量气体质量 kg R 8 31 J mol K Mmol 摩尔质量摩尔质量 kg mol 普适气体常量普适气体常量or摩尔气体常量摩尔气体常量 状态方程的另一形式 状态方程的另一形式 P nkT n 分子数密度分子数密度 m 3 k R NA 1 38 10 23J K 来历来历 RT M M V P mol 1 kTN M M V A mol 1 nkT 玻尔兹曼玻尔兹曼 Boltzmann 常量常量 1 3 压强公式 压强公式 Expression for Pressure 推导 理想气体分子模型 统计方法推导 理想气体分子模型 统计方法 理想气体分子模型理想气体分子模型 分子的行为犹如粒子 分子的行为犹如粒子 分子线度分子线度 1 分子间距分子间距 10 除碰撞外 分子之间以及分子与器壁之除碰撞外 分子之间以及分子与器壁之 间无相互作用 间无相互作用 碰撞是弹性的 碰撞是弹性的 分子的运动服从经典力学规律 分子的运动服从经典力学规律 分子速率分子速率 102m s ix v 在在 t时间内时间内 第第i分子对器壁的平均作用力分子对器壁的平均作用力 一次碰撞给予器壁的冲量 一次碰撞给予器壁的冲量 器壁侧面积 器壁侧面积 A 器壁器壁 分子 分子 ixixixix mvmvmvI2 分子分子 器壁 器壁 ixixix mvII2 在在 t时间内 碰撞的概率 时间内 碰撞的概率 1 L tv p ix 仅当分子距器壁仅当分子距器壁 0 ix v ixx FF 气体的压强气体的压强 A F P x 分子的平均平动动能分子的平均平动动能 2 1 3 v L mN 2 1 x vN L m i ix v L m 2 1 2 12 0 2 1 2 ix v ix v L m t n 3 2 2 2 1 3 2 vm V N 2 3 v V mN 32L L Fx t nP 3 2 压强公式 压强公式 Note 压强是统计量压强是统计量 1 4 温度的微观解释温度的微观解释 The Microscopic Interpretation of Temperature 状态方程 状态方程 P nkT kT t 2 3 温度是分子平均平动动能的标志温度是分子平均平动动能的标志 温度的微观解释温度的微观解释 Notes 温度也是统计量 温度也是统计量 t nP 3 2 压强公式 压强公式 2 2 1 vm t kT t 2 3 m kT v 3 2 e g 氮气氮气 N2 T 0 smv 493 2 T 100 smv 576 2 当当T 0时 时 不再成立 不再成立 kT t 2 3 近代物理 当近代物理 当T 0时 时 0 t mol M RT3 方均根速率方均根速率 t nP 3 2 例例1 1 容积容积V 10l 气体质量 气体质量M 100g 若分子方均根速率若分子方均根速率 则压强则压强P mmHg smv 200 2 解 解 2 2 3 3 10333 1 1 200 10103 10100 100 1 3 mmHg nkTP 解法二 解法二 2 3 v V M 2 2 1 3 2 vm V N 2 3 v V M 2 3 v 2 3 v m n RT VM M P mol 解法三 解法三 2 3 v V M 1 5 能量的均分能量的均分 Equipartition of Energy 自由度自由度 degrees of freedom 确定一个物体的空间位置所必需的独立确定一个物体的空间位置所必需的独立 坐标数坐标数 e g 单原子分子 单原子分子 i 3 刚性双原子分子 刚性双原子分子 i 5 刚性多原子分子 刚性多原子分子 i 6 Notes 刚性分子只有平动和转动自由度 刚性分子只有平动和转动自由度 非刚性分子还有振动自由度 非刚性分子还有振动自由度 在低温下 分子的某些自由度可在低温下 分子的某些自由度可 能被 冻结 能被 冻结 用量子理论解释用量子理论解释 e g H2分子 分子 T 102 K i 3 平动平动 102 K T 103 K i 6 振动振动 e g 刚性双原子分子 刚性双原子分子 i 5 每个分子的平均 每个分子的平均 动能为动能为 其中 其中 kT 2 5 kTkT rt 2 3 能量均分定理能量均分定理 在平衡态下 分子热运动的每个自由度在平衡态下 分子热运动的每个自由度 的平均动能都相等 且等于的平均动能都相等 且等于 kT 2 1 理想气体的内能理想气体的内能 一般 一般 系统内能 所有粒子热运动动能 系统内能 所有粒子热运动动能 粒子之间相互作用势能粒子之间相互作用势能 理想气体内能 分子热运动动能之和理想气体内能 分子热运动动能之和 RT i M M E M M E mol mol mol 2 计算计算 一个分子的平均动能一个分子的平均动能 kT i 2 一摩尔气体的内能一摩尔气体的内能 RT i NE Amol 2 一定量气体的内能一定量气体的内能 可见 可见 一定量理想气体的内能是温度的函一定量理想气体的内能是温度的函 数 数 E T E T 例例1 2 一瓶一瓶H2气和一瓶气和一瓶He气 气 P V T均相均相 同 则同 则H2气的内能是气的内能是He气的气的倍 倍 解 解 RT i M M E mol 2 ee H H H H i i E E 22 思考思考 结果的微观解释 结果的微观解释 PV i 2 3 5 例例1 3 单原子气体 密度单原子气体 密度 压强 则分 压强 则分 子方均根速率为子方均根速率为 单位体积气 单位体积气 体内能为体内能为 解 解 mol M RT v 3 2 思考思考 其它解法 其它解法 单位质量气体内能 单位质量气体内能 P3 M PV3 P 2 3 2 3 P RT i M M V E mol V 2 1 PV V2 31 速率分布函数速率分布函数 定义 定义 Ndv dN vf v N 总分子数 总分子数 f v 表示速率在表示速率在v附近单位速率区间的分子附近单位速率区间的分子 数占总分子数的百分比 数占总分子数的百分比 性质 性质 1 0 dvvf 归一化条件归一化条件 1 6 分子速率的分布分子速率的分布 Distribution of Molecular Speeds dNv 速率在 速率在v v dv区间的分子数区间的分子数 Note 说某一速率的分子数占总分子数的百说某一速率的分子数占总分子数的百 分比分比 无意义无意义 e g f v v 0vv0v dvv2v1 N dN dvvf v 2 1 v v dvvf 速率在速率在v1 v2区间区间 的分子数占总分子数的分子数占总分子数 的百分比 的百分比 归一化归一化 曲线下总面积等于曲线下总面积等于1 麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率 1859年 年 Maxwell导出理想气体平衡态下 导出理想气体平衡态下 其中其中 kT m B kT m A 2 2 4 2 3 m 分子质量分子质量 k Boltzmann常量常量 T 温度温度 2 2 Bv eAvvf Maxwellian f v 1 0 dvvf满足满足 3 0 2 4 1 2 B dvev Bv 曲线形状 曲线形状 f v v 0 T1 m1 T2 m2 对应于 对应于 m1 m2 T2 T1 Note f v 中 中 v取取0 违背相对论 但当 违背相对论 但当 v c时 时 f v 0 影响可忽略 影响可忽略 or T1 T2 m2vp的分子数占的分子数占 总分子数的百分比 总分子数的百分比 v vp的分子数 的分子数 分子的平均速率 分子的平均速率 v v1 v2的分子的速率平方的平的分子的速率平方的平 均值 均值 解释 解释 2 1 2 1 2 1 2 1 22 v v v v v v v v dvvNf dvvNfv dvvf dvvfv 该区间分该区间分 子速率平子速率平 方之和方之和 该区间分该区间分 子数子数 练习练习 改变各式积分区间改变各式积分区间 说明物理意义说明物理意义 写出有限区间分子的平动动能之和写出有限区间分子的平动动能之和 及平均平动动能的表达式及平均平动动能的表达式 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值 最概然速率最概然速率 最可几速率最可几速率 vp f v v 0vp 由由0 dvvdf mol p M RT m kT v 22 得得 vp物理意义 物理意义 若将整个速率范围分成许多相等的小区若将整个速率范围分成许多相等的小区 间 则间 则vp所在区间的所在区间的dNv N最大 最大 平均速率平均速率v 0 dvvvfv 2 0 3 2 1 2 B dvev Bv 用途 计算分子的平均自由程用途 计算分子的平均自由程 方均根速率方均根速率 2 v 0 22 dvvfvv mol M RT 8 m kT 8 mol M RT3 m kT3 5 0 4 8 3 2 B dvev Bv Note 2 vvv p 0 等温膨胀过程 等温膨胀过程 dQ 0 dT 0 该过程中的摩尔热容该过程中的摩尔热容 C 0 C Q也也是过程量是过程量 若有限过程中若有限过程中C const 则有 则有 12 TTC M M Q mol e g 等体过程 等体过程 12 TTC M M Q V mol 等压过程 等压过程 12 TTC M M Q P mol Q还可通过热还可通过热 律计算 律计算 dQ 系统吸收的热量系统吸收的热量 Notes E是状态量 是状态量 有限过程 有限过程 Q E2 E1 A 热力学第一定律热力学第一定律 无限小过程 无限小过程 dQ dE dA dE 系统内能的增量系统内能的增量 dA 系统对外做的功系统对外做的功 热热 律本质 能量守恒 它普遍适律本质 能量守恒 它普遍适 用于任何系统用于任何系统 固 液 气固 液 气 的任何过的任何过 程程 准静态或非准静态准静态或非准静态 2 2 等体过程等体过程 isochoric process V const dA 0 因因dTC M M dQ V mol P V 1 2 O 摩尔定体热容摩尔定体热容 RdT i M M dE mol 2 dQ dE 于是对有限等体过程有 于是对有限等体过程有 12 TTC M M Q V mol 适用于任何过程适用于任何过程 故故 R i CV 2 常量常量 2 1212 TTR i M M EE mol 另外有 另外有 12 TTC M M V mol 2 3 等压过程等压过程 isobaric process P const P V 12 O 因因dTC M M dQ P mol 摩尔定压热容摩尔定压热容 又又dTC M M dE V mol 得得RCC VP 迈耶迈耶 Mayer 公式公式 R i CP 2 2 or 常量常量 由由dQ dE dA RT M M PV mol P const RdT M M PdV mol RdT M M dA mol 于是对有限过程有 于是对有限过程有 12 TTC M M Q P mol 此外此外 1212 TTC M M EE V mol 1212 TTR M M VVPA mol 因此因此1 2 2 2 12 ii RCCAEEQ VP 仅适用于等压过程仅适用于等压过程 2 4 等温过程等温过程 isothermal process T const dE 0 P V 1 2 O 1 2 ln V V RT M M mol 2 1 ln P P RT M M mol dQ dA 2 1 V V pdV 2 1 V V mol V dV RT M M AQ 于是于是 2 5 绝热过程绝热过程 adiabatic process dQ 0 dE dA 0 0 dAdE RT M M PV mol 绝热过程方程的推导绝热过程方程的推导 P V 1 2 O adiabat isotherm 0 PdVdTC M M V mol RdT M M VdPPdV mol 对 积分 得对 积分 得 1 CPV 泊松泊松 Poisson 公式公式 或或 2 1 CTV 3 1 CTP 绝热过程方程绝热过程方程 V dV P dP 比热容比比热容比 V P C C 其中其中 ratio of specific heat C1 C2 C3是常量是常量 Note 过程方程是状态方程在特定过程中退过程方程是状态方程在特定过程中退 化的结果化的结果 e g 等体过程 等体过程 C T P 等压过程 等压过程 C T V 等温过程 等温过程 CPV 绝热过程中功的计算绝热过程中功的计算 2 1 V V PdVA 此外 还有此外 还有 A E2 E1 2 1 11 V V dV V VP 1 1 1 2 111 V VVP 2 6 绝热自由膨胀绝热自由膨胀 free expansion P2 V2 T2 P1 V1 T1 不是准静态过程不是准静态过程 但仍服从热但仍服从热 律律 绝热绝热 Q 0 于是于是E2 E1 0 T2 T1 P V 1 2 O isotherm 自由膨胀自由膨胀 A 0 2 7 循环过程循环过程 Cyclic Process 系统经历一系列变化后又回到初态的整系统经历一系列变化后又回到初态的整 个过程 个过程 P V O A 热机热机 致冷机致冷机 正循环正循环 A 0 逆循环逆循环 A1 2 Q 系统从系统从H2吸热量吸热量 1 Q 向向H1放热量放热量 A 外界对系统做功外界对系统做功 卡诺循环卡诺循环 Carnot cycle S Carnot 1796 1832 French engineer 1824年 提出年 提出Carnot cycle 由两条等温由两条等温 线和两条绝热线线和两条绝热线 构成构成 正循环正循环 卡诺热机卡诺热机 P V T1 T2 O d a b c 逆循环逆循环 卡诺致冷机卡诺致冷机 卡诺热机卡诺热机 Carnot engine 的效率的效率 推导推导 ab QQ 1 cd QQ 2 又又 1 2 1 1 cb VTVT 1 2 1 1 da VTVT d c a b V V V V ab A a b mol V V RT M M ln 1 cd A d c mol V V RT M M ln 2 于是于是 1 2 1 Q Q 1 2 1 T T 思考思考 在卡诺循环中 两条等温线下的面积在卡诺循环中 两条等温线下的面积 是否相等 两条绝热线下的面积是否是否相等 两条绝热线下的面积是否 相等 相等 例例2 2 1mol理想气体作卡诺循环理想气体作卡诺循环 T1 400K T2 300K 在 在400K的等温线上起始体积的等温线上起始体积 V1 0 001m3 终止体积 终止体积V2 0 005m3 求气体 求气体 在每一循环中 从高温热源吸收的热量在每一循环中 从高温热源吸收的热量Q1 所做净功 所做净功A 传给低温热源的热量 传给低温热源的热量Q2 解 解 P V T1 T2 O d ab c V1V2 ab QQ 1 001 0 005 0 ln40031 8 1 1035 5 3 J ab A 1 2 1 ln V V RT M M mol 1 Q A 1 QA J 3 1034 1 AQQ 21 AQQ 12 J 3 1001 4 1 1 2 1 T T Q 卡诺致冷机卡诺致冷机 Carnot refrigerator 的致冷的致冷 系数系数 21 2 TT T w 可证可证 SUMMARY R i CV 2 系统对外做功系统对外做功 2 1 V V PdVA 过程量过程量 系统吸热系统吸热 CdT M M dQ mol 过程量过程量 理想气体内能增量理想气体内能增量 12 TTC M M E V mol 取决于始末态取决于始末态 热热 律律 dQ dE dA Q E2 E1 A 等体过程等体过程 A 0 Q E 等压过程等压过程 12 TTC M M Q P mol 1212 TTR M M VVPA mol RCC VP 1 2 2 2 ii RCCAEQ VP 等温过程等温过程 E 0 2 1 1 2 lnln P P RT M M V V RT M M AQ molmol 绝热过程绝热过程 Q 0 E A 0 1 CPV 2 1 CTV 3 1 CTP 绝热过程方程绝热过程方程 VP CC 绝热自由膨胀绝热自由膨胀 非准静态过程非准静态过程 Q A E 0 T2 T1 热机效率热机效率 1 2 1 1 Q Q Q A 卡诺热机 卡诺热机 1 2 1 T T 循环过程循环过程 E 0 Q A 致冷机的致冷系数致冷机的致冷系数 21 22 QQ Q A Q w 卡诺致冷机 卡诺致冷机 21 2 TT T w EXERCISES 理想气体的状态变化遵从理想气体的状态变化遵从PV2 B的规律的规律 B 为正常数为正常数 则当体积由 则当体积由V1膨胀至膨胀至2V1时 气时 气 体对外做功体对外做功A 解 解 1 1 2V V PdVA 思考思考 设气体分子自由度为设气体分子自由度为i 则则 E Q 11 4 2 4V Bi Q V iB E 1 1 2 2 V V dV V B 1 2V B 解 解 KmolJR i CV 8 20 2 某理想气体的比热容比某理想气体的比热容比 7 5 处于温度 处于温度 为为T的平衡态 则该气体的定容摩尔热容量的平衡态 则该气体的定容摩尔热容量 CV 一个分子的平均转动动能 一个分子的平均转动动能 r 分子的转动自由度为分子的转动自由度为5 3 2 5 72 i i C C V P kTkT r 2 1 2 5 i 思考思考 若已知一个分子的平均转动动能为若已知一个分子的平均转动动能为 则则 Cv kT 2 3 1mol的理想气体在等压过程中温度上升的理想气体在等压过程中温度上升1K 内能增加内能增加20 78J 则气体对外做功为 则气体对外做功为 气体吸收热量为气体吸收热量为 解 解 12 VVPA AEEQ 12 思考思考 其它解法 其它解法 若为等体过程 结果 若为等体过程 结果 若为绝热过程 结果 若为绝热过程 结果 12 TTR M M mol R J31 8 J09 29 答 答 如图 如图 MT为等温线 为等温线 MQ为绝热线 则在为绝热线 则在 AM BM CM三种准静态过程中 温度升高的三种准静态过程中 温度升高的 是是过程 气体吸热的是过程 气体吸热的是过程 过程 BM CM CM P V A C O B M T Q 类似地 可判定类似地 可判定BM AM是放热过程 是放热过程 理由理由 考虑循环考虑循环CMQC A 0 吸热吸热 但但 Q QCM QQC 而而QC放放 热热 故故CM吸热吸热 理由 理由 TB TC TT TM 思考思考 P V图上等温线两侧的温度分布有图上等温线两侧的温度分布有 何特点何特点 对本题 的其它分析方法 对本题 的其它分析方法 解 解 m kT v 8 一定量的氮气经绝热压缩一定量的氮气经绝热压缩 压强变为原来的压强变为原来的 2倍倍 问气体分子平均速率变为原来的几倍 问气体分子平均速率变为原来的几倍 A B C D 5 2 2 5 1 2 7 2 2 7 1 2 1 1 1 2 1 2 T P T P 1 1 2 1 2 P P T T 7 1 1 2 2 v v 1 2 1 2 T T v v D 7 2 5 7 15 7 22 思考思考 方均根速率是原来的几倍 方均根速率是原来的几倍 若为单原子或多原子气体若为单原子或多原子气体 结果 结果 若氮气经绝热压缩若氮气经绝热压缩 体积变为原来体积变为原来 的的1 2 结果 结果 理想气体初态为理想气体初态为 T V 绝热膨胀到 绝热膨胀到2V 再 再 经等容过程使温度恢复为经等容过程使温度恢复为T 再经等温过程 再经等温过程 压缩到原体积压缩到原体积V 则在此循环过程中 则在此循环过程中 A 气体向外界放热气体向外界放热 B 气体对外界做功气体对外界做功 C 气体内能增加气体内能增加 D 不确定不确定 解 解 P V O V2V 此为逆循环 此为逆循环 A 玻尔兹曼熵公式玻尔兹曼熵公式 热力学概率热力学概率 一个宏观状态一个宏观状态 中所包含的微观状态数中所包含的微观状态数 lnkS 定义 定义 k Boltzmann常量常量 热力学概率举例 热力学概率举例 计算计算N个分子空间分布的微个分子空间分布的微 观状态数观状态数 N左 左 N右 右 0 N 1 1 N 1 2 N 2 N 0 1 N C 2 N C N N C N左 左O N 2 图形表示图形表示 当当N很大时很大时 对于均匀分布的那个宏观态 有对于均匀分布的那个宏观态 有 N i i N NN N CC 0 2 2 其热力学概率最大其热力学概率最大 每一微观状态出现的概率相同每一微观状态出现的概率相同 最大的最大的 宏观状态宏观状态 平衡态平衡态 出现的概率最大出现的概率最大 Notes 涨落涨落 fluctuation 接近平衡态的那些宏观态会以一接近平衡态的那些宏观态会以一 定的概率出现定的概率出现 平衡态的状态参平衡态的状态参 量会有局部起伏量会有局部起伏 远离平衡态的宏观状态实际上不远离平衡态的宏观状态实际上不 可能出现可能出现 e g N左 左 N 概率 概率 1 2N 设设 N 6 02 1023 23 102 102 N 则则 宇宙年龄宇宙年龄 1018秒秒 与与是一是一 致的 致的 lnkS 2 1 12 T dQ SS R 在信息论中在信息论中 定义定义信息熵 信息熵 ln 1 bitPPKS N i ii K 1 ln2 N是事件的可能性的种数是事件的可能性的种数 Pi是第是第 i 种可能性的概率种可能性的概率 信息熵信息熵 事件信息量的缺损值事件信息量的缺损值 熵的概念的推广熵的概念的推广 e g 天气预报天气预报 信息熵 信息熵 S 0 97 bit 信息量 信息量 Info 1 S 0 03 bit 降水概率降水概率80 S 0 72 bit Info 0 28 bit 降水概率降水概率0 S 0 Info 1 bit 降水概率降水概率60 SUMMARY 过程可逆性的概念过程可逆性的概念 热热 律的两种表述律的两种表述 热热 律的微观意义律的微观意义 克劳修斯熵公式 克劳修斯熵公式 2 1 12 T dQ SS R 玻尔兹曼熵公式 玻尔兹曼熵公式 lnkS 熵是状态量熵是状态量 熵是系统无序程度的量度熵是系统无序程度的量度 熵增加原理 熵增加原理 孤立系统中的过程孤立系统中的过程 S 0 熵熵 EXERCISES 下列说法中 哪些是正确的 下列说法中 哪些是正确的 可逆过程一定是平衡过程 可逆过程一定是平衡过程 平衡过程一定是可逆的 平衡过程一定是可逆的 不可逆过程一定是非平衡过程 不可逆过程一定是非平衡过程 非平衡过程一定是不可逆的 非平衡过程一定是不可逆的 A B C D 答案 答案 A 理由 可逆过程理由 可逆过程无摩擦的准静态过程无摩擦的准静态过程 答 答 热力学第二定律的克劳修斯叙述和开尔文热力学第二定律的克劳修斯叙述和开尔文 叙述各是怎样的 叙述各是怎样的 热量不能自动地从低温物体传向高温热量不能自动地从低温物体传向高温 物体 物体 从单一热源吸热并把它全部转变为功从单一热源吸热并把它全部转变为功 的循环过程是不存在的 的循环过程是不存在的 气体的两条绝热线不能相交于两点 是因气体的两条绝热线不能相交于两点 是因 为违背为违背 气体的 气体的 等温线和绝热线不能相交于两点 是因为违等温线和绝热线不能相交于两点 是因为违 背背 解 解 热力学第一定律热力学第一定律 热力学第二定律热力学第二定律 理由 理由 P V O 绝热线绝热线 绝热线绝热线 若交于两点若交于两点 则则 可构成一循环可构成一循环 如图 在此循如图 在此循 环中环中 Q 0 A 0 违背热违背热 律 律 理由 理由 见见 例例3 1 答案 答案 A 一绝热容器被隔板分成两半 一半是真空 一绝热容器被隔板分成两半 一半是真空 另一半是理想气体 若把隔板抽出 气体将另一半是理想气体 若把隔板抽出 气体将 进行自由膨胀 达到平衡后进行自由膨胀 达到平衡后 A 温度不变 熵增加 温度不变 熵增加 B 温度升高 熵增加 温度升高 熵增加 C 温度降低 熵增加 温度降低 熵增加 D 温度不变 熵不变 温度不变 熵不变 理由 理由 自由膨胀后 自由膨胀后 E不变不变 T不变 不变 孤立系统内的不可逆过程孤立系统内的不可逆过程S增加 增加 波动与光学波动与光学 Waves and Optics 波动波动 振动的传播振动的传播 光的波动性光的波动性 干涉 衍射 偏振干涉 衍射 偏振 振动振动 物理量物理量随时间的周期性变化随时间的周期性变化 位移 电流强度 电场强度位移 电流强度 电场强度 第一章第一章 振动振动 Oscillations 本章内容 本章内容 简谐振动运动学简谐振动运动学 简谐振动动力学简谐振动动力学 简谐振动的合成简谐振动的合成 1 1 简谐振动运动学简谐振动运动学 Kinematics of Simple Harmonic Motion 振动的描述振动的描述 定义定义 cos 0 tAx 简谐振动表达式简谐振动表达式 or振动方程振动方程 0 2 o A A t x T x 位移位移 或其它物理量或其它物理量 t 时间时间 e g 参量参量 角频率角频率 angular frequency T f 2 2 SI单位 单位 rad s or s 1 Note 仅依赖于系统本身的性质 与初仅依赖于系统本身的性质 与初 始条件无关 始条件无关 e g 弹簧振子 弹簧振子 m k 2 单单摆 摆 l g 2 并联 并联 21 kkk 串联 串联 21 111 kkk 长 长 n l0 0 nkk 关于弹簧的弹性系数 关于弹簧的弹性系数 A 振幅振幅 amplitude SI单位 单位 m Notes A依赖于振动的初始条件 依赖于振动的初始条件 cos 0 tAx sin 0 tAdtdxv 2 2 22 v xA A与振动的能量有关 与振动的能量有关 e g 弹簧振子 弹簧振子 kp EEE 2 2 1 kA 2 2 0 2 0 v x 0 初相初相 initial phase 单位 单位 rad Notes 0依赖于振动的初始条件 依赖于振动的初始条件 00 cos Ax 00 sin Av 0 0 0 x v arctg 通常取通常取 0 t 0 相相 phase 单位 单位 rad Notes 对应于对应于t时刻振动的状态 时刻振动的状态 cosAx sinAv vx 对于给定的简谐振动 对于给定的简谐振动 A 已知已知 可用来比较两个同频率简谐振动可用来比较两个同频率简谐振动 的步调 的步调 若若 2 1 其它值 则其它值 则取取 k2 12 k为整数为整数 12 12 k k为整数为整数 12 同相同相 反相反相 当当时时 称振动称振动2超前超前 12 0 当当时时 称振动称振动2滞后滞后 0 12 0 负向位移应增大 负向位移应增大3 2 0 t 又 又 t 1s时时 2 于是于是cmtx 3 23 4cos 2 3 4 1 3 22 1 s X 2 3 2 3 1 2 例例1 2 质点的振动规律用余弦函数描述 其质点的振动规律用余弦函数描述 其 速度 时间曲线如图 则其初位相应速度 时间曲线如图 则其初位相应 为为 v m s t s vm vm 2 O 解 解 cos 0 tAx设设 sin 0 tAdtdxv则则 sin 0 tvm 令令t 0 有有 0 sin2 mm vv 2 1sin 0 旋矢图 旋矢图 t 0 正向速度应增大 正向速度应增大6 5 0 XO 6 56 0 或 1 2 简谐振动动力学简谐振动动力学 Dynamics of Simple Harmonic Motion 作用力 能量 动力学方程作用力 能量 动力学方程 作用力作用力 沿振动方向的合力沿振动方向的合力 cos 0 tAx由由 xtAa 2 0 2 cos xmmaF 2 特点特点 F 方向 与位移方向相反方向 与位移方向相反 大小 与位移大小成正比大小 与位移大小成正比 证 证 对任意闭合路径对任意闭合路径L x1 x2 x1 F 是保守力 是保守力 2 1 2 x xL xdxmFdx 有有 0 1 2 2 x x xdxm X x1x2 O 能量能量 0 x p FdxE cos 2 1 0 222 tAm 22 2 1 AmEE kp 守恒守恒 设设x 0处处 Ep 0 则有则有 2 2 1 mvEk 又又 22 2 1 xm 0 2 x xdxm sin 2 1 0 222 tAm Note 若系统中有多个保守力作用 则若系统中有多个保守力作用 则Ep 是这些力的势能之和 是这些力的势能之和 e g 竖直弹簧振子 竖直弹簧振子 O x X 原长位置原长位置 平衡位置平衡位置 Ep 0 重弹 ppp EEE 2 2 1 kx 平均动能与平均势能 平均动能与平均势能 22 4 1 AmEE pk 例例1 3 弹簧振子总能量为弹簧振子总能量为E1 若其振幅增为 若其振幅增为 原来的两倍 重物质量增为原来的四原来的两倍 重物质量增为原来的四 倍 则振子总能量变为倍 则振子总能量变为 解 解 22 2 1 AmE 2 2 1 kA 1 4EE 例例1 4 系统作谐振动 周期为系统作谐振动 周期为T 以余弦函 以余弦函 数表达振动时 初相为零 则在数表达振动时 初相为零 则在0 t T 2范围内 系统在范围内 系统在t 时刻动时刻动 能和势能相等 能和势能相等 解 解 按题意按题意tAx cos 22 2 1 xmE p 2 2 A x 22 4 1 Am 4 34 或 t 因此因此 4 1 t 思考思考 其它解法其它解法 24 T 8 T 4 3 2 t 24 3T 8 3T 3 4 4 X 旋矢图 旋矢图 动力学方程动力学方程 0 2 2 2 x dt xd 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 特点 特点 零阶导数项系数决定角频率零阶导数项系数决定角频率 简谐振动 简谐振动 cos 0 tAx x dt xd 2 2 2 Note 方程的通解 方程的通解 tCtCx sincos 21 cos 0 tA 这里这里 2 2 2 1 CCA 120 CCtg A 0由由初始条件决定初始条件决定 平衡条件 平衡条件 0sin 0 kxmg sin 0 xxkmgF 例例1 5 弹簧振子置于光滑斜面上弹簧振子置于光滑斜面上 如图如图 求 求 动力学方程 动力学方程 k m 解 解 kx 任意位置任意位置x处受力 处受力 0 2 2 x m k dt xd 2 m k 2 2 dt xd mF 牛牛 特殊情形 特殊情形 0 水平水平 90 竖直竖直 动力学方程不变动力学方程不变 角频率不变角频率不变 例例1 6 竖直悬挂的弹簧振子 平衡时弹簧的竖直悬挂的弹簧振子 平衡时弹簧的 伸长量为伸长量为x0 则此振子自由振动的周 则此振子自由振动的周 期期T 解 解 2 T 平衡条件 平衡条件 0 0 kxmg g x k m 0 g x T 0 2 思考思考 若置于倾角为若置于倾角为 的斜面上 平衡时伸长量为的斜面上 平衡时伸长量为 x0 则 则T sin 2 0 gxT k m 2 很小很小 定轴转动定律 定轴转动定律 M J sinmglM 22 dtd 例例1 7 求求复摆复摆 compound pendulum 如图如图 的动力学方程 的动力学方程 解 解 逆时针为正逆时针为正 mgl l 质心质心 0 2 2 l g dt d 2 l g 0 2 2 J mgl dt d 2 J mgl 测测J的一种方法的一种方法 特殊情形 特殊情形 单摆 单摆 simple pendulum l m 2 mlJ 例例1 8 如图 细杆质量为如图 细杆质量为m 长为长为l 绕 绕O轴的转动轴的转动 惯量为惯量为ml2 3 当杆竖 当杆竖 直静止时 弹簧为原直静止时 弹簧为原 长 求杆作微小振动长 求杆作微小振动 的周期 的周期 解 解 lkl l mgM 2 定轴转动定律 定轴转动定律 M J 逆时针为正逆时针为正 2 2 kl mgl O k 3 2 mlJ 于是于是得得0 2 2 3 2 2 ml klmg dt d ml klmg 2 2 3 2 3 2 2 2 klmg ml T 思考思考 k 0与 与g 0各对应于什么情形各对应于什么情形 22 dtd 1 3 简谐振动的合成简谐振动的合成 Addition of Simple Harmonic Motions 同一直线上同频率振动的合成同一直线上同频率振动的合成 两个振动的合成两个振动的合成 cos 1011 tAx cos 2022 tAx cos 021 tAxxx 0 A OX 1 A 2 A 旋矢图 旋矢图 cos 2 102021 2 2 2 1 AAAAA 202101 202101 0 coscos sinsin AA AA tg Notes 若若 20 10 2k k 0 1 2 则则A A1 A2 max 若若 20 10 2k 1 k 0 1 2 则则A A1 A2 min 多个振动的合成多个振动的合成 2 1 1 cos niitaxi cos 0 1 tAxx n i i 旋矢图 旋矢图 0 A OX R 2 sin2 n RA 2 sin 2 a R 2 sin 2 sin n aA Notes 若若 2k k 0 1 2 则则A na max X O 若若 2k k 0 1 2 则则A 0 min 但但n 2k k 为整数为整数 规律 规律 当当 时 两个相邻主极大之时 两个相邻主极大之 间有间有 n 1 个极小 个极小 e g n 4 0 X O X O O X 3 2 X O 2 2 X O 例例1 9 两个简谐振动的振动曲线如图 则它两个简谐振动的振动曲线如图 则它 们合成的余弦振动的初相为们合成的余弦振动的初相为 o A A 2 t x 42 x1 x2 解 解 旋矢图 旋矢图 1 A X O 2 A 21 AA 合振动 合振动 0 2 例例1 10 两振动合成 两振动合成 合振动振幅为合振动振幅为20cm 它与它与 振动振动1的相位差为的相位差为 1 6 振动振动1振振 幅为幅为cm 则振动则振动2振幅为振幅为cm 振动振动1与与2的相位差为的相位差为 1 2 310 解 解 旋矢图 旋矢图 10 cos 2 11 2 1 2 2 cmAAAAA A OX 1 A 2 A 1 2 0 2 cos 21 22 2 2 1 AA AAA 0 2 21 旋矢图 旋矢图 1 O X 1 A 2 A 2 合振动不是简谐振动 合振动不是简谐振动 同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成 两个等幅振动 两个等幅振动 cos 011 tAx cos 022 tAx e g 2 cos 2 cos2 0 1212 21 ttAxx 若若 1212 2 2 sin 2 sin n aA 0 A OX R 2k Amax na 2k 但但n 2k Amin 0 若频率相近若频率相近 拍拍 拍频 拍频 fb f2 f1 轨迹为椭圆或直线轨迹为椭圆或直线 同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成 非简谐振动非简谐振动 相互垂直的同频率简谐振动的合成相互垂直的同频率简谐振动的合成 相互垂直的不同频率简谐振动的合成相互垂直的不同频率简谐振动的合成 若频率为若频率为整数比整数比 李萨如图形李萨如图形 EXERCISES 质点沿质点沿X轴以轴以x 0为平衡位置作谐振动 频为平衡位置作谐振动 频 率为率为0 25Hz t 0时 时 x 0 37cm v 0 则 则 振幅为振幅为 振动的数值表达式为 振动的数值表达式为 解 解 旋矢图 旋矢图 又又f 2 故故 5 0cos 107 3 3 SItx 107 3 3 mA 0 X O A dt Ad 5 0 1 s 思考思考 若题中若题中x 0 37cm v 0 结果 结果 若题中若题中x 0 v 1 57cm s 结果 结果 5 0cos107 3 3 SItx 2 5 0cos 01 0 SItx 解 解 两个谐振动的振动曲线如图所示 则两个谐振动的振动曲线如图所示 则x1的的 相位比相位比x2的相位超前的相位超前 由图 由图 x1比比x2在时间上超前在时间上超前3T 8 o x2x1 t x 4 3 8 3 2 因此 相位超前因此 相位超前 质量质量m 10g的小球与轻弹簧组成的振动系的小球与轻弹簧组成的振动系 统 按统 按x 0 5cos 8 t 3 的规律作自由振动 的规律作自由振动 式中式中t以秒作单位 以秒作单位 x以厘米作单位 求以厘米作单位 求 振动的圆频率 周期 振幅和初相 振动的圆频率 周期 振幅和初相 振动的速度 加速度的数值表达式 振动的速度 加速度的数值表达式 振动的能量 振动的能量 平均动能和平均势能 平均动能和平均势能 解 解 由由x 0 005cos 8 t 3 SI 知 知 8 s 1 T 2 0 25 s A 0 005 m 0 3 v dx dt 0 126sin 8 t 3 SI a d2x dt2 3 16cos 8 t 3 SI JAmE 522 1090 7 2 1 JAmEE pk 522 1095 3 4 1 思考思考 弹簧的弹性系数弹簧的弹性系数 解 解 单摆的悬线长单摆的悬线长l2 1 5 m 在顶 在顶 端固定点的下方端固定点的下方0 45 m处有一处有一 小钉 如图示小钉 如图示 设两方摆动均较设两方摆动均较 小 则单摆的左右两方振幅之小 则单摆的左右两方振幅之 比比A1 A2为为 l1 l2 摆动过程中机械能守恒 有摆动过程中机械能守恒 有 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 AmAm 于是于是 1 2 2 1 A A 2 1 l l 84 0 5 1 45 0 5 1 质量为质量为m的质点与倔强系数为的质点与倔强系数为k的轻弹簧构的轻弹簧构 成一个弹簧振子竖直悬挂 零势能 参考成一个弹簧振子竖直悬挂 零势能 参考 点选在质点平衡位置处 则振动势能点选在质点平衡位置处 则振动势能kx2 2 x 从平衡位置算起从平衡位置算起 是是 A 物体重力势能和弹性势能之和物体重力势能和弹性势能之和 B 物体重力势能和弹性势能之差物体重力势能和弹性势能之差 C 弹簧的弹性势能弹簧的弹性势能 D 物体的重力势能物体的重力势能 答案 答案 A 思考思考 若将势能零点选在弹簧原长处若将势能零点选在弹簧原长处 答案答案 验证 验证 平衡时平衡时 mg kx0 0 重弹 pp EE 2 2 kx 2 2 2 0 2 0 mgxkxxxk 如图 在一铅直悬挂的弹簧下系一质量为如图 在一铅直悬挂的弹簧下系一质量为 m的物体 再用此弹簧改系一质量为的物体 再用此弹簧改系一质量为4m的物的物 体 最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧体 最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧 并并 联后悬挂质量为联后悬挂质量为m的物体 则这三个系统的的物体 则这三个系统的 周期值之比为周期值之比为 A B C D 2 1 2 12 2 1 1 2 1 2 14 1 2 1 m 4m m 解 解 kmT 2 2 11 kmT 42 2 22 kmT4 2 2 33 2 1 2 1 321 TTT 1 2T 2 1 T C 一质点同时参与了三个简谐振动 它们的一质点同时参与了三个简谐振动 它们的 振动方程分别为振动方程分别为 3 cos 1 tAx 3 5cos 2 tAx cos 3 tAx 其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为x 解 解 旋矢图 旋矢图 XO 2 A 3 A 1 A 合矢量为零合