1有限元法简介.doc

1有限元法簡介1.1有限單法的形成在工程技術領域內，經常會遇到兩類典型的問題。其中的第一類問題，可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續梁、建築結構框架和桁架結構。我們把這類問題，稱為離散系統。如圖1-1所示平面桁架結構，是由6個承受軸向力的“杆單元”組成。儘管離散系統是可解的，但是求解圖1-2所示這類複雜的離散系統，要依靠電腦技術。圖1-1 平面桁架系統圖1-2 大型編鐘“中華和鐘”的振動分析及優化設計（曾攀教授）第二類問題，通常可以建立它們應遵循的基本方程，即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題，熱傳導問題，電磁場問題等。由於建立基本方程所研究的物件通常是無限小的單元，這類問題稱為連續系統。圖1-3 V6引擎的局部下面是熱傳導問題的控制方程與換熱邊界條件：（1- 1）初始溫度場也可以是不均勻的，但各點溫度值是已知的：（1- 2）通常的熱邊界有三種，第三類邊界條件如下形式：（1- 3） 儘管我們已經建立了連續系統的基本方程，由於邊界條件的限制，通常只能得到少數簡單問題的精確解答。對於許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如，圖1-3所示V6引擎在工作中的溫度分佈。這為解決這個困難，工程師們和數學家們提出了許多近似方法。在尋找連續系統求解方法的過程中，工程師和數學家從兩個不同的路線得到了相同的結果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，來源於固體力學中矩陣結構法的發展和工程師對結構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看，桁架結構等標準離散系統與人為地分割成有限個分區後的連續系統在結構上存在相似性。1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。他們把結構劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數，求得單元節點力與節點位移關係的單元剛度矩陣。1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜誌上發表了一組能量原理和結構分析論文。1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（finite element）這一術語。數學家們則發展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權餘量法。在1963年前後，經過J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發現只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權餘量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結構問題。我國的力學工作者為有限元方法的初期發展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結構矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。1.2 有限元法的基本思路有限元法的基本思路可以歸結為：將連續系統分割成有限個分區或單元，對每個單元提出一個近似解，再將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統近似的系統。下面用在自重作用下的等截面直杆來說明有限元法的思路。等截面直杆在自重作用下的材料力學解答圖1-4 受自重作用的等截面直杆圖1-5 離散後的直杆 受自重作用的等截面直杆如圖所示，杆的長度為L，截面積為A，彈性模量為E，單位長度的重量為q，杆的內力為N。試求：杆的位移分佈，杆的應變和應力。（1- 4）等截面直杆在自重作用下的有限元法解答1） 離散化如圖1-5所示，將直杆劃分成n個有限段，有限段之間通過一個鉸接點連接。稱兩段之間的連接點為結點，稱每個有限段為單元。第i個單元的長度為Li，包含第i，i+1個結點。2） 用單元節點位移表示單元內部位移第i個單元中的位移用所包含的結點位移來表示，（1- 5）其中為第i結點的位移，為第i結點的座標。第i個單元的應變為，應力為，內力為：（1- 6）（1- 7）（1- 8）3）把外載荷集中到節點上 把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結點上。圖1-6 集中單元重量4）建立結點的力平衡方程對於第i+1結點，由力的平衡方程可得：（1- 9）令，並將（1- 8）代入得：（1-10）根據約束條件，。對於第n+1個結點，（1-11） 建立所有結點的力平衡方程，可以得到由n+1個方程構成的方程組，可解出n+1個未知的接點位移。1.3 有限元法的計算步驟有限元法的計算步驟歸納為以下三個基本步驟：網格劃分，單元分析，整體分析。1.3.1網格劃分有限元法的基礎是用有限個單元體的集合來代替原有的連續體。因此首先要對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節點相連接。由單元、結點、結點連線構成的集合稱為網格。通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網格。圖1-7四面體四節點單元圖1-8 六面體8節點單元圖1-9 三維實體的四面體單元劃分圖1-10 三維實體的六面體單元劃分圖1-11 三角形3節點單元圖1-12 四邊形4節點單元圖1-13 平面問題的三角形單元劃分圖1-14 平面問題的四邊形單元劃分1.3.2單元分析對於彈性力學問題，單元分析，就是建立各個單元的節點位移和節點力之間的關係式。由於將單元的節點位移作為基本變數，進行單元分析首先要為單元內部的位移確定一個近似運算式，然後計算單元的應變、應力，再建立單元中節點力與節點位移的關係式。以平面問題的三角形3結點單元為例。如圖1-15所示，單元有三個結點I、J、M，每個結點有兩個位移u、v和兩個結點力U、V。圖1-15 三角形3結點單元單元的所有結點位移、結點力，可以表示為結點位移向量（vector）：結點位移結點力單元的結點位移和結點力之間的關係用張量（tensor）來表示，（1-12）1.3.3整體分析對由各個單元組成的整體進行分析，建立節點外載荷與結點位移的關係，以解出結點位移，這個過程為整體分析。再以彈性力學的平面問題為例，如圖1-16所示，在邊界結點i上受到集中力作用。結點i是三個單元的結合點，因此要把這三個單元在同一結點上的結點力彙集在一起建立平衡方程。圖1-16 整體分析i結點的結點力：i結點的平衡方程：（1-13）1.4有限元法的進展與應用有限元法不僅能應用於結構分析，還能解決歸結為場問題的工程問題，從二十世紀六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發展，為工程設計和優化提供了有力的工具。1.4.1演算法與有限元軟體 從二十世紀60年代中期以來，進行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應用領域，還開發了許多通用或專用的有限元分析軟體。理論研究的一個重要領域是計算方法的研究，主要有：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動力問題計算方法。目前應用較多的通用有限元軟體如下表所列：軟體名稱簡介MSC/Nastran著名結構分析程式，最初由NASA研製MSC/Dytran動力學分析程式MSC/Marc非線性分析軟體ANSYS通用結構分析軟體ADINA非線性分析軟體ABAQUS非線性分析軟體另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟體，例如金屬成形分析軟體Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟體SysWeld等。1.4.2應用實例有限元法已經成功地應用在以下一些領域：固體力學，包括強度、穩定性、震動和瞬態問題的分析；傳熱學；電磁場；流體力學。轉向機構支架的強度分析（劉道勇，東風汽車工程研究院動，用MSC/Nastran完成）圖1-17 轉向機構支架的強度分析金屬成形過程的分析（用Deform軟體完成）分析金屬成形過程中的各種缺陷。圖1-18 型材擠壓成形的分析。型材在擠壓成形的初期，容易產生形狀扭曲。圖1-19 螺旋齒輪成形過程的分析圖1-20 T形鍛件的成形分析焊接殘餘應力分析（用Sysweld完成）圖1-21 結構與焊縫佈置圖1-22 焊接過程的溫度分佈與軸向殘餘應力熱處理過程的分析BMW曲軸的感應淬火 （Induction quenching of crankshafts at BMW，用SysWeld軟體完成）在曲軸表面獲得壓應力，可以提高曲軸的疲勞壽命。曲軸的有限元模型有限元模型的局部沿格線52的殘餘應力分佈，紅線為預測的軸向應力與徑向應力之差，黑點為實測值。複雜形狀工件的組織轉變預測（石偉，用NSHT3D完成）預測工件的組織分佈和機械性能二分之一工件的有限元模型淬火3.06 min 時的溫度分佈淬火3.06 min 時的馬氏體分佈參考文獻S. I. Oh, W. T.