两个向量的叉积.doc

精品文档1.8 两向量的向量积定义1.8.1 两个向量a与b的向量积（外积）是一个向量，记作ab ，它的模是|ab| = |a| |b| sinq其中q 为a与b间的夹角. ab的方向与a与b都垂直，并且按a，b，ab的顺序构成右手标架O；a，b，ab（下图）. 定理1.8.1 两个不共线向量a与b的向量积的模，等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积. 定理1.8.2 两向量a与b共线的充要条件是a b = 0. 证 当a与b共线时，由于sin(a、b) = 0，所以 |ab|=|a| |b| sin(a、b) = 0，从而ab=0；反之，当ab = 0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或sin(a、b) = 0，a / b，因零矢可看成与任向量都共线，所以总有a / b，即a与b共线.定理1.8.3 向量积满足下面的运算律: (1) 反交换律a b = -b a，; (2) 分配律 (a + b) c = a c + b c，c (a + b) = c a + c b.(3) 数因子的结合律(la) b = a (lb) = l(a b) (l为数). 证 （略）.定理1.8.4 设a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k，则ab = (aybz -azby)i(azbx -axbz)j (axby -aybx)k. 证 由向量积的运算律可得a b = (ax i + ay j + az k) (bx i + by j + bz k)=axbx i i + axby i j + axbz i kaybx j i ayby j j aybz j k azbx k i + azby k j +azbz k k. 由于ii = jj = kk = 0，ij = k, jk = I， k i = j, 所以 ab = (aybz -azby)i(azbx -axbz)j(axby -aybx)k. 为了帮助记忆，可利用三阶行列式符号将上式形式地写成 使用时可按第一行展开. 例1 设a = (2, 1, -1)，b=(1, -1, 2)，计算ab . 解 = i5j 3k. 例2 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积. 解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例3 设刚体以等角速度w 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度. 解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量n表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是n的方向. 设点M到旋转轴l的距离为a , 再在l轴上任取一点O作向量r =, 并以q 表示n与r的夹角, 那么a = |r| sinq . 设线速度为v, 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v的大小为 |v| =| n|a = |n|r| sinq ; v的方向垂直于通过M点与l轴的平面, 即v垂直于n与r, 又v的指向是使n、r、v符合右手规