数列 重点题型总结.doc

数列 重点题型总结 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结数列一数列的概念数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 如nanNn+ （1）已知*2()156n=，则在数列na的最大项为_（答125）； （2）数列n a的通项为1+=bnanan，其中ba,均为正数，则n a与1+n a的大小关系为_（答na?）；，由关系式 （4）一给定函数)(naf=得到的数列)(xfy=的图象在下列图中，并且对任意)(1Nnaann+1a1na+n a满足*，则该函数的图象是（）（答A）A BC D二等差数列的有关概念1等差数列的判断方法定义法1na(nad d+?=+为常数）或+?11(?2)nnnnaaaan+?=?。 如设na是等差数列，求证以bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。 2等差数列的通项1 (1)naand=+?或()nmaanm d=+?。 如 (1)等差数列na中，1030a=，2050a=，则通项na=（答210n+）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答833da）.4等差中项若,a Ab成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2bA+=。 提醒 （1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素1a、d、n、na及n S，其中即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2,2ad ada ad ad?+（公差为d）；3,3ad adadad?+,（公差为2d）三等差数列的性质1当公差0d时，等差数列的通项公式 (1)nn nSna=+1a、d称作为基本元素。 只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，偶数个数成等差，可设为，11 (1)naanddnad=+?=+?是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211()222dddnan?=+?是关于n的二次函数且常数项为0.2若公差则为常数列。 3当mn+0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d=，pq=+时,则有qpnmaaaa+=+，特别地，当2mnp+=时，则有2mnpaaa+=.如 （1）等差数列na中，12318,3,1nnnnSaaaS?=+=，则n_（答27）； （2）在等差数列A、1S SB、1S SC、1,S SD、1S Sna中，10110,0aa，且S?都大于0S?都大于0S S?都大于0,SS?都大于01110|aa，nS是其前n项和，则210,S?都小于0，都小于0，都小于0，都小于0，1112,S219,S?2021,S25S?67,220,S?2122（答B）(,p q4若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb+(k、p是非零常数)、*)p nq+aN、232,nnnnnS SSSS?，也成等差数列，而n aa成等比数列；若na是等比数列，且0na，则lg等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。 na是等差数列.如（答225）1n?时，5在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd=偶奇；项数为奇数2SSa?=奇偶中，21 (21)nSna?=?中（这里a中即na）；: (1):奇偶SSkk=+。 如 （1）在等差数列中，S1122，则6a_（答2）； （2）项数为奇数的等差数列中间项与项数na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的（答5；31）.6若等差数列na、nb的前n和分别为n A、n B，且()f nnnAB=，则2121(2 (21)1) (21)nnnnnnabnnabABfn?=?.如设n a与nb是两个等差数列，它们的前n项和分别为n S和n T，若3413?+=nnTSnn，那么=nnba_（答6827nn?）7“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。 法一?00aa关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如 （1）等差数列中，125a=，917SS=，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 由不等式组?+0011nnnnaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二因等差数列前n项是*nN。 na（答前13项和最大，最大值为169）；0a， （2）若a?na是等差数列，首项xxxxa+xxxx0a0n S成立的最大正整数n是（答4006）8如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab=.四等比数列的有关概念aq qa1等比数列的判断方法定义法1(nn+=为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa+?= (2)n。 如 （1）一个等比数列为_na共有21n+项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na+（答56）； （2）数列是等比数列。 2等比数列的通项na中，n S=41na?+1(2n)且1a=1，若nnnaab21?+=，求证数列nb11nnaa q?=或n m?nmaa q=，。 如设等比数列na中，166naa+=21128na a?=，前n项和n S126，求n和公比q.（答6n=，12q=或2）3等比数列的前n和当1q=时，1n Sna=；当1q时，1(1a)1nnqSq?=11naa qq?=。 如 （1）等比数列中，q2，S99=77，求9963aaa+?（答44）； （2）)(10=n10=nkknC的值为_（答2046）；特别提醒等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q=和1q两种情形讨论求解。 4等比中项若,a Ab成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。 提醒不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,()a bab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_（答AB）提醒 （1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素ab。 如已知两个正数1a、q、n、na及个，即知3求2； （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，aaa aqaqqqn S，其中1a、q称作为基本元素。 只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余222,（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。 （答15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质 （1）当mnpq+=+时，则有mnpaaa a=?，特别地2q。 如有四个数，其中前q，当2mnp+=时，则有2mnpaaa=?.如 （1）在等比数列na中，3847124,512aaa a+=?，公比q是整数，则10a=_（答512）；log+?（答10）。 a （2）各项均为正数的等比数列na中，若569aa?=，则3132310=loglogaaa+ (2)若na是等比数列，则|na、*(,)p nq+ap qN、nka成等比数列；若b、nn成等比数列，则n nab、nnab成等比数列；若na是等比数列，且公比1q?，则数列232,nnnnnS SSSS?，是常数数列0，它不是等比数列.如也是等比数列。 当1q=?，且n为偶数时，数列232,nnnnnS SSSS （1）已知x+?0a，则且1a+，设数列x+?nx满足1log1logananxx+=+(*)nN，且12100x100x+=101x102x200+=.（答=100100a，则）；S的 （2）在等比数列值为_n a中，n S为其前n项和，若140,1330101030+=SSSS20（答40）为递减数列；若 (3)若0,010,1aq1，则na为递增数列；若10,1aq,则na1aq，则为摆动数列；若na为递减数列；若10,01aqna为递增数列；若0q，则na1q=，则?=1na为常数列. (4)当1q时，baqqaqqaSnnn+=?+?111，这里0ab+=，但0,0ab，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据n S，判断数列na是否为等比数列。 如若na是等比数列，且3nn Sr=+，则r（答1） (5)mnm n+=mnnmSSq SSqS+=+.如设等比数列n a的公比为q，前n项和为n S，若12,nnnSS S+成等差数列，则q的值为_（答2）1n?时， (6)在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS=偶奇；项数为奇数21SaqS=+奇偶. (7)如果数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列的前n项和为S（Nn)(1N+nan，则n a是等差数列；若(S11?=，则n an），关于数列n a有下列三个命题若(+=anbnaSn=ann a既是等差数列又是等比数列；若)n)Rb、2，则nn a是等比数列。 这些命题中，真命题的序号是（答）五.数列的通项的求法公式法17,84等差数列通项公式；等比数列通项公式。 如已知数列?,3219,1615,13试写出其一个通项公式_（答11n212nan+=+）已知n S（即12()f nnaaa+=?）求na，用作差法11, (1), (2)nnnSSnaSn?=?。 如已知na的前n项和满足2log (1)1n Sn+=+，求na（答3,12,2nnnan=）；数列na满足12211125222nnaaan+=+?，求na（答1n14,21,2nnan+=）已知12()f nnaaa=?求na，用作商法 (1),()(f n1), (2)1)nfnf nan=?=?。 如数列n a中，,11=a对所有的2n都有2321naaaan=?，则=+53aa_（答6116）若1()f nnnaa+?=求na用累加法11221()()()nnnnnaaaaaaa?=?+?+?1a+ (2)n。 如已知数列na满足11a=，nnaann+=?111 (2)n，则n a=_（答121+）nan=+?已知1()f nnnaa+=求na，用累乘法121121nnnnnaaaaaaaa?=? (2)n。 如已知数列n a中，21=a，前n项和n S，若nnanS2=，求n a（答4 (1)nan n=+）已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地， （1）形如nb+（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求11,a=1nnakab?=+、1nnaka?=na。 如已知132nnaa?=+，求na（答123?1nna?=a?）；已知111,32nnnaaa?=+，求na（答1153?2nnna?+=?）； （2）形如11nnnakab?=+的递推数列都可以用倒数法求通项。 如已知1111,31nnnaaaa?=+，求na（答132nan=?）；已知数列满足1a=1，11nnnnaaa a?=，求na（答21nan=）注意 （1）用2n，当需运用关系式1?n?=nnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（1n=时，a11Sa=?S）； （2）一般地当已知条件中含有na与n S的混合关系时，常1?n=nnS，先将已知条件转化为只含5nnSa+=，求na或n S的关系式，然后再求解。 如数列na满足1114,3naS=+na（答14,34?1,2nnnan?=）六.数列求和的常用方法1公式法等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式1123 (1)2 (1)1232 （1）等比数列的前n项和S2nn n+=+?，2221612 (1) (21)nn nn+=+?，33332n nn+=?.如na，则2232221n aaaa+?_（答413(n?）； （2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。 二进制即“逢2进1”，如2)1101表示二进制数，将它转换成十进制形式是?11111(转换成十进制数是_13212021210123=+，那么将二进制?1xx2)个（答xx21?）2分组求和法在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.如求=?+?+?3倒序相加法若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.如求证35 (21)nnnnCCCnC+=?2()1x+1357 (1)(2+?1)nnSn?（答 (1)nn?）012 (1)2?；nnn+已知2xf x=，则111 (1) (2) (3)f (4)()2()3()4ffffff+_（答72）4错位相减法如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.如 （1）设求数列nnT= （2）设函数na为等比数列，121 (1)2nnnTnanaaa?=+?+?，已知11T=，a=，24T=，q=na的首项和公比；求数列nT的通项公式.（答112；122n+?）；)1? (4)()1?()(2=?8=xxgxxf，数列n a满足12,()naf a=a(na=?2x)()1+Nnagann，求证数列1n a是等比数列；令12()h x (1) (1)xa=?+? (1)nnax+?，求函数)(xh在点3=x处的导数)38(h，并比较)38(h与nn?22的大小。 （答略；8()38 (1)2?1nhn=?+，当1n=时，)38(hnn?22；当2n=时，)38(hnn?22）5裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有111 (1)1n nnn+()n nkkn+11111()1211kkkk?+1kk+1111 (1) (2)2 (1) (1