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矢量分析作业第二章 习题 2 1 说出下列数量场所在的空间区域 并求出其等值面 1 1 u AxByCzD 解 令 0 1 uu AxByCzD 解得等值面方程为 0 1 0AxByCzD u 因此 原数量场为除去平面0AxByCzD 之外的其它所有空间 而等值面为与 0AxByCzD 平行的平面 0 1 0AxByCzD u 2 22 arcsin z u xy 解 令 0 22 arcsin z uu xy 解得等值面方程为 222222 0 sin0 0 xyuzxy 由于 22 1 z xy 即 22222 0 zxyy 因此 原数量场为公共顶点在原点 且关 于xOy平面对称的两个圆锥面及其内部 不含原点 而等值面方程表示一族顶点在原点的 圆锥面 不含原点 2 求数量场 22 xy u z 经过点 1 1 2 M的等值面方程 解 令 2222 11 2 xy z 解得 22 0 xyz z 3 已知数量场uxy 求场中与直线240 xy 相切的等值线方程 解 数量场uxy 的等值线方程为 xyC C为常数 或 C y x 由于导数 2 C y x 所以斜率为 2 C x 又由于直线240 xy 的斜率为 1 2 因此若 相切 必有 2 111 222 Cy yx xx 将其代入直线方程 解得2 1xy 这是 等值线与直线的切点 进一步得2C 因此 经过该点的等值线方程为2xy 4 求矢量场 222 Axy ix yjzy k 的矢量线方程 解 矢量线应满足方程 222 dxdydz xyx yzy 即 22 22 1 2 dxdy xyx y dxdz xyzy 解 1 式 dxdy yx 得 22 1 yxC 解 2 式 dxdz xz 得 2 zC x 因此 所求矢量线方程为 22 1 2 yxC zC x 其中 1 C 2 C为任意常数 5 求矢量场 22 Ax iy jxy zk 通过点 2 1 1 M的矢量线方程 解 矢量线应满足方程 22 dxdydz xyxy z 即有 方程 22 dxdy xy 解得 1 11 C xy 1 及方程 11 1 dxdy dz xy z xyxy 或 lnln ln dxydz 解得 2 xyC z 2 将点 2 1 1 M代入 1 2 式 解得 12 3 2 2 CC 因此 过点 2 1 1 M的矢量线方程为 113 2 2 xy xyz 习题 3 1 求数量场 232 2ux zy z 在点 2 0 1 M 处沿 24 23lxixy jz k 方向的方向导 数 解 在点 2 0 1 M 处 方向l 的模长为 22 2 2 3 5l 其方向余弦为 43 cos cos0 cos 55 而 在 点 2 0 1 M 处 数 量 场 在 各 方 向 上 偏 导 数 为 3 24 M M u xz x 40 M M u yz y 222 3212 M M u x zy z 因此 43 coscoscos4124 55 M uuuu lxyz 2 求数量场 22 3ux zxyz 在点 1 1 1 M 处沿曲线 23 xt ytzt 朝t增大的一 方的方向导数 解 曲线 23 xt ytzt 朝t增大的一方的切矢方向数为1 dx dt 2 dy t dt 2 3 dz t dt 因此 在点 1 1 1 M 处 1 M dx dt 2 M dy dt 3 M dz dt 其方向余弦为 123 cos cos cos 141414 而数量场在点 1 1 1 M 处的偏导数为 6 7 M M u xzy x 1 M M u x y 2 325 M M u xz z 因此 12324 coscoscos715 1441414 M uuuu lxyz 3 数量场 23 ux yz 在点 2 1 1 M 处沿哪个方向的方向导数最大 这个最大值是多少 解 32322 234412 M M uxyz ix z jx yz kijk 数量场沿梯度方向 M u 的方向导数为最大 且最大值为 222 44124 11 5 用以下二法求数量场uxyyzzx 在点 1 2 3 P处沿其矢径方向的方向导数 1 直接应用方向导数公式 解 数 量 场uxyyzzx 在 点 1 2 3 P处 的 偏 导 数 为 5 P P u yz x 4 M P u xz y 3 P P u xy z 点 1 2 3 P的 矢 径 为23rijk 其 方 向 余 弦 为 12 cos cos 1414 3 cos 14 因此 在点 1 2 3 P处 沿矢径方向的方向导数为 12322 coscoscos543 1441414 P uuuu lxyz 2 将方向导数作为梯度在该方向上的投影 解 数量场uxyyzzx 在点 1 2 3 P处的梯度为 543 P P uuu uijkijk xyz 点 1 2 3 P处的矢径方向为 0 123 141414 r rijk r 因此 梯度在该方向上的 投影为 0 12322 543 1441414 P P u ur l 6 求数量场 222 23326uxyzxyxyz 在点 0 0 0 O与 1 1 1 A处梯度的大 小和方向余弦 又问在哪些点上的梯度为0 解 23 42 66 uxyiyxjzk 326 O uijk 大小为 7 方向余弦为 32 cos cos 77 6 cos 7 63 A uij 大小为3 5 方向余弦为 21 cos cos 55 cos0 若要梯度为0 则有 230 420 660 xy yx z 解之得 2 1 1xyz 即在点 2 1 1 M 处 梯度为 0 7 通过梯度求曲面 2 24x yxz 上一点 1 2 3 M 处的法线方程 解 曲面 2 24x yxz 上一点 1 2 3 M 处的法矢就是曲面在该点的梯度 而曲面在点 1 2 3 M 处的梯度为22 M M uuu uijkijk xyz 因此 过点 1 2 3 M 处的法线方程为 1 23 212 xyz 8 求数量场 22 352uxyz 在点 1 1 3 M处沿其等值面朝Oz轴正向一方的法线方向 导数 u n 解 6102uxiyj