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初等数论考试试卷一、 单项选择题：（1分/题20题=20分）1设为实数，为的整数部分，则(A)；2下列命题中不正确的是(B)整数的公因数中最大的称为最大公因数；整数的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】整数与它的绝对值有相同的倍数整数与它的绝对值有相同的约数3设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表为(C)4下列各组数中不构成勾股数的是(D)5，12，13； 7，24，25；3，4，5； 8，16，175下列推导中不正确的是(D)6模10的一个简化剩余系是(D) 7的充分必要条件是(A) 8设，同余式的所有解为(C)或 或或无解9、设f(x)=其中为f(x)的一个解，则:( ? )ABC D10则同余式：（ ）A有时大于p但不大于n; B不超过pC等于p D等于n11若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :( D )A3 B11 C13 D23 12若雅可比符号，则 ( C )AB;C;D13( A ) A 4 B 3 C 2 D 114 模12的所有可能的指数为：( A ) A1，2，4 B1，2，4，6，12 C1，2，3，4，6，12 D无法确定15 若模m的原根存在，下列数中，m不可能等于：( D ) A 2 B 3 C 4 D 12 16对于模5，下列式子成立的是 ( B )A B C D 17下列函数中不是可乘函数的是： ( C )A茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B欧拉函数；C不超过x的质数的个数；D除数函数；18若对模的指数是，0，0，则对模m的指数是( B )A B C D无法确定19，均为可乘函数，则( A )A为可乘函数； B为可乘函数C为可乘函数； D为可乘函数20设为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立A B C D二填空题：（每小题1分，共10分）21 3在45中的最高次n _21_；22 多元一次不定方程：，其中 ， ，N均为整数，有整数解的充分必要条件是_（ ， ，）N_；23有理数，能表成纯循环小数的充分必要条件是_（10，b）=1_；24 设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为_；25 威尔生（wilson）定理：_！+1为素数_；26 勒让德符号=_1_；27 若，则是模的平方剩余的充分必要条件是(欧拉判别条件)；28 在模的简化剩余系中，原根的个数是_；29 设，为模的一个原根，则模的一个原根为_g 与g+中的奇数_；30 _16_。三简答题：（5分题4题20分）31命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。32“若，通过模的简化剩余系，则也通过模的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。33求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。34设为的标准分解式，记为的正因数的和，为的正因数的个数，则？ ？ 为什么？四计算题。（7分题4题28分）35 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。36 解同余方程组37解同余式11(mod125)38求模13的所有原根。五、证明题：（7分/题2题=14分）39、试证：，（x，y）=1，y是偶数的整数解可写成： 这里，并且一为奇数，一为偶数。40、设a为正整数，试证： 其中表示展布在a的一切正因数上的和式。六、应用题：（8分）41、求30！中末尾0的个数。参考答案一单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。 二填空题：2121；22；23；24；25！+1为素数；261；27；28；29与中的单数；3016三简答题：31答：命题正确。 而必为2的倍数。86页32 正确证明见教材。33在摸的简化剩余系中与同余的数是数的平方剩余，故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。34 证明：若为可乘函数，则 分别令，它们为可乘函数，即得出。四计算题35解：因为，故原不定方程有解。 又原方程即 ，而易见方程有解 。所以原方程的一个解是所以，原方程的一切整数解是： t是整数36解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模567210有唯一解，分别解同余方程：，得， ，因此所给同余方程组的解是：即：37解：从同余方程， ， ， 是 得即是所给方程的一个解，于是所解为： 解毕。38解： 为其质因数 ，故g为模13的原根的主要条件是： ， 用 g=1，2，12逐一验证，得：2，6，7，11为模13的原根， 因为，故模13原根只有4个，即为所求。五、证明题：39证明：易验证所给的解为原方程的解，因y为偶数，原方程可化为： 但 而，所以（，）=1 由书中引理，我们可假设 =， =b 显然b， (，b)=1， 于是 X=b， z=+ ，y=2 因子为奇数，所以，b一定是一为奇，一为偶，证毕40证明：假定 ，-， 为的所有正约数，那末 ，-，也是的所有正约数，于是 = 再因为在的完全剩余系中任一数的最大公约数 必定是 ，-， 中某一个数，而