中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(5)-三切线组合.doc

圆压轴题八大模型题（五）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5 三切线组合直角梯形ABCD中，ADBC，B90，以AB为直径的半圆O与CD相切于点E. 图(2)图(3)图(1)(4)求证：COAE, DOBE.(3)求证：CO2CBCD；(1)AD4，BC9，求AB；(2)求证：4ADBCAB2.【分析】(1)法一：如图(a)过点D作DFBC,ABDF12.法二：如图(b)由OBCDAO,或COEODE得：r24936,r6,AB12.(a)(b)(2) 由OBCDAO,或COEODE得：r2ADBC,( )2ADBC,4ADBCAB2(3)由RtCBORtCOD得：CO2CBCD.(4)CFECOGEGD90,COAE,DOBE. 图(6)图(5)图(4)(6)求证：DG=AG.(7)求证：EP=FP.(5)求证：EP=FP.(8)若AB=2，AD=2，求BC和EF的长.【分析】(5)由CBEFDA,CBCE,DADE得,EPFP.(6)由CBCE,CBECEBDEG;CBDA得CBED,DEGD.DGEG,又EGGA,DGAG.(7)EFDA,得, 又DGGA,得EPFP.(8)由AB24ADBC得：（2）242BC,BC2.5,CFBC2.5,BF5.在RtABF中，AF3.由ADBF得,EFAF3【典例】（2018湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC1，则AEBE_.图a图5-1【分析】连接 OE，由切线长定理可得AOEDOE，BOEEOC，再根据DOEEOC180，可得AOB90，继而可证AEOOEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.解：如图，连接 OE，AD、AB与半圆 O 相切， OEAB，OA平分DOE，AOEDOE，同理BOEEOC，DOEEOC180，AOEBOE90，即AOB90，ABOBAO90，BAOAOE90，ABOAOE，OEABEO90，AEOOEB，AE：OEOE：BE，AEBEOE1，答案：1.【点拨】由切线长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外，往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等，或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形，构建基本的图形模型，综合运用解决问题。【变式运用】1.(2016大庆)如图，在RtABC中，C90，以BC为直径的O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.(1)求证：MH为O的切线.(2)若MH，tanABC，求O的半径.(3)在（2）的条件下分别过点A、B作O的切线，两切线交于点D，AD与O相切于N点，过N点作NQBC，垂足为E，且交O于Q点，求线段NQ的长度.解：（1）连接OH、OM，H是AC的中点，O是BC的中点，OH是ABC的中位线，OHAB，COHABC，MOHOMB，图5-2又OBOM，OMBMBO，COHMOH，在COH与MOH中，COHMOH（SAS），HCOHMO90，MH是O的切线；图b（2）MH、AC是O的切线，HCMH，AC2HC3，tanABC，BC4，O的半径为2.（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，AC与AN都是O的切线，ACAN，AO平分CAD，AOCN，AC3，OC2，图c由勾股定理可求得：AO，ACOCAOCI，CI，由垂径定理可求得：CN，设OEx，由勾股定理可得：CN2CE2ON2OE2，（2x）24x2，x，CE，由勾股定理可求得：EN，由垂径定理可知：NQ2EN2.(2016广西梧州)如图，AB、BC、CD分别与O切于E、F、G，且ABCD连接OB、OC，延长CO交O于点M，过点M作MNOB交CD于N（1）求证：MN是O的切线；（2）当OB6cm，OC8cm时，求O的半径及MN的长(1)如图所示，连接OE、OF、OG.OE、OF、OG都是O的半径，OEOGOG.AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G，图5-2OEBOFBOFCOGC90.在RtOEB和RtOFB中，RtOEBRtOFB，则OBEOBF.同理可证RtOFCRtOGC，则OCFOCG.图dABCD,OBEOBFOCFOCG180，即OBFOCF90，则BOC180OBFOCF90. MNOB，NMCMOB180BOC90，即OMMN,又OM是O的半径，MN是O的切线。(2)如图所示，由（1）可得，在RtOBC中，OFBC，BOC90。由勾股定理得，则，即10OF48,故OF4.8.OMOF4.8，MCOMOC12.8。由（1）知，OCBMCN，NMCBOC90，则NMCBOC，因此，即，故。综上所述，O的半径为4.8cm，MN的长为9.6cm.3.（2018湖北襄阳）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线， E为O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CBCE(1)求证：DADE；(2)若AB6，CD4，求图中阴影部分的面积解：（1）证明：连结OE，OC.图5-3BN切O于点B，OBN90.OEOB，OCOC，CECB，OECOBC.OECOBC90.CD是O的切线.AD切O于点A，DADE.（2）过点D作DFBC于点F，则四