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文档简介

第10章向量的数量积和向量积向量函数微分法 知识逻辑关系图 导数的几何意义和物理意义 向量函数连续定义 重点 向量函数导数及其几何意义难点 空间曲线弧微分 设a ax ay az b bx by bz 且 为常数 1 a b ax bx ay by az bz 2 a ax ay az 3 4 复习 10 3 向量函数的微分和积分 一 向量函数1 向量函数定义 连续的向量函数和空间曲线有着密切的联系 2 向量函数的几何意义向量函数起点定在O点 当t变化时终点描绘出图形是一条空间曲线 直线 r t x0 at y0 bt z0 ct 摆线 r t a t sint a 1 cost 0 螺旋线的参数方程 取时间t为参数 解 让我们欣赏几个向量函数表示的空间曲线 3 向量函数极限定义 则称向量r t 的极限为r0或称向量r t 按模收敛r0 定理 若则称向量函数在t t0连续 例已知螺旋线计算 连续 二 向量函数导数与微分1 定义 向量函数在t0处的导数 向量函数 2 向量值函数的导数与微分运算法则 1 2 3 4 5 证 5 3 注意 1 r t 的几何意义 2 向量函数导数物理意义 设r t 为沿空间曲线运动质点位置t 作为质点开始运动起时间 例1求螺旋线 在点 0 2 2 处的切线方程 向上飞行 求 1 滑翔机速度和加速度 2 滑翔机t时刻的速率 3 如果有的话 求滑翔机的速度正交于加速度的时刻 例3证明定长度的向量函数的导向量与r t 垂直证明 如当我们跟踪以原点为中心的球面上运动的质点时 位置向量有一个等于球面半径的固定长度 如图 运动路径的速度向量与运动路径相切 例一质点以常角速度w0在半径为R的圆上运动 求其速度与加速度 解 r Rcos Rsin 0 Rcos Rsin 0 W02 Rsin Rcos 0 W0 yr 0 xz 起点定在O点 当t 变化时终点描绘出图形是一条空间曲线弧 三 弧微分 向量函数 弧微分 设 在 a b 内有连续导数 其图形为AB 弧长 或 平面曲线弧 我们已经得到了弧微分公式 空间曲线 弧微分 例 求螺旋线 r t cost sint t 0 t 2 弧的长度 注1 例证明 简证 M 注2设某质点在空间中运动轨道为r t t 其中t被看作为质点开始运动起的时间值则 向上滑行 求滑翔机的
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