§4.4_有理函数的积分.pptVIP

1 4 4有理函数的积分 有理函数的积分 小结作业 可化为有理函数的积分举例 rationalfunction 第四章不定积分 2 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之 一 有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 真分式 假分式 3 例 多项式的积分容易计算 有理真分式的积分 只讨论 多项式 真分式 有理函数 多项式 真分式 分解 若干部分分式之和 4 有理真分式可以分解为一些最简单的分式之和 如因此 有下列问题需要解决 1 哪几类分式是最简分式 部分分式 2 怎样把一个有理真分式分解为若干个部分分式之和 3 如何求各类部分分式的积分 如果这三个问题解决了 则有理真分式的积分问题也就解决了 从而有理函数的积分问题也就解决了 5 对一般有理真分式的积分 代数学中下述定理起着关键性的作用 定理 6 部分分式 最简分式 7 用此定理有理函数的积分就易计算了 且由下面的例题可看出 有理函数的积分是初等函数 系数的确定 一般有两种方法 1 等式两边同次幂系数相等 2 赋值 8 例求 解 由多项式除法 有 说明 当被积函数是假分式时 应把它分为一个多项式和一个真分式 分别积分 假分式 9 例求 解 比较系数 因式分解 10 11 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将值代入 例求 解 1 1 赋值 12 于是 13 例求 解 比较系数 二次质因式 14 15 15 你遇到某位异性 双方一见钟情 情投意合 觉得对方就是你携手共度未来的良伴 于是不消多久 两人决定同居了 开始的几个星期 你们如胶似漆 想看两不厌 还有说不完的甜言蜜语 不过好景不长 蜜月期刚完 你们的感情就开始变味了 起初只是一些鸡毛蒜皮的小事 譬如你发现即使灯开着 对方还是要用手电筒阅读书报 对方不准你吃芹菜 硬说嚼芹菜的声音是它痛苦的声音 终于有一天 你赫然撞见你的阿娜答正在用你的牙刷清理马桶 该是分手的时候了 其实这就是部分方式积分法的核心概念 有时候 处于同一分母里的一对函数无法一同被积分 你试过了各种方法 结果都无济于事 它们合不来就是合不来 无意妥协 那就只有散伙啰 妙的是 这对水火不容的冤家函数一分开 成为两个互不相干的方式 一切困难烟消云散 这题积分便易如反掌 16 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列 其中A B a p q都为常数 分别讨论上述几种类型的不定积分 并设 四种典型部分分式的积分之和 n为大于1的正整数 17 18 19 20 21 用递推公式 22 应重点提高计算的 1 部分分式法 此法一般运算较繁 2 拆项法 分项积分法 3 换元法 4 配方法 有理函数积分是三角函数有理式积分 无理函数积分的基础 熟练程度和技巧 一般有以下方法 23 例求 分析 解 原式 分项 凑微分 从理论上看 可用部分分式法 但计算复杂 故不宜轻易使用 应尽量考虑其它方法 约去公因子 配方 24 例求 解 原式 这是有理函数的积分 如按部分分式法很麻烦 使分母为单项 作变换 分析 分母是100次多项式 如作一个适当的变换 而分子为多项 除一下 化为和差 的积分 25 或 分项 26 技巧 例求 解 原式 27 例求 解 是二次质因式 原式 递推公式 法一 不能再分解 28 求 解 原式 回代 递推公式 法二 29 提示 解 例 分母是二次质因式的真分式的不定积分 30 求 求 求 练习 31 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过 有限次四则运算 构成的函数称之 一般记为 如 二 可化为有理函数的积分举例 1 三角函数有理式的积分 和分部积分法讨论过一些 对于三角函数有理式的积分 曾用换元法 是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数 回答是肯定的 32 由三角学知识 可通过变换 事实上 由 半角变换 或称万能代换 则 表示 化为有理函数的积分 33 u的有理函数 34 提示 解 例 35 说明 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分 因为这种代换不一定是最简捷的代换 请看如下积分 36 例求 解法一 回代 37 法二 不用万能代换公式 比较以上两种解法 便知万能代换不一定是最佳方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能代换 38 1 尽量使分母简单 基本思路 或分子分母同乘以某个 因子 把分母化为 的单项式 或将分母整个看成一项 2 尽量使 的幂降低 用倍角公式或积化和差公式以达目的 为此常利 39 类型 解决方法 作代换去掉根号 通常先将 配方 再用三角变换化为三角函数有理式的积分或 直接利用积分公式计算 2 简单无理函数的积分 40 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去 解 简单无理函数的积分 例 41 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去 简单无理函数的积分 例 设 即x u3 2 则 42 回代 例 解令 原式 43 例求 解 先将无理函数的分子或分母有理化 分析 原式 44 练习 1993年考研数学一 5分 解 令 分部积分 回代 45 练习 解 法一 三角代换 法二 倒代换 46 2 简