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行列式总结范文 （一）行列式定义定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数符号为正，逆序数为奇数，符号为负。 例1nnDn000000100xx00?计算行列式.解nD不为零的项一般表示为！anaaannnn?1122?,故!)1? (2)2?)(1(nDnnn?.1.2行列式的性质行列式有如下基本性质 1、行列式的行列互换，行列式不变； 2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号； 3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数； 4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变； 5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。 例2一个n阶行列式ijnaD?的元素满足,2,1?,jinjiaaij?则称反对称行列式，证明奇阶数行列式为零.证明由知jiijaa?iiiiaa?，即niaii?,2,1,0?.故行列式可表示为0000321323132231211312?nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD?,由行列式的性质AA?，0000)1?(0000321323132231211312321323132231211312?nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD?nnD1?.为奇数时，得当n,nnDD?因而得0?nD.2求解行列式的技巧2.1行列式的常用技巧常用的行列式解法技巧包括化三角形解行列式法，降阶法，递（逆）推公式法，利用范德蒙行列式解行列式法，数学归纳法等等。 2.1.1化三角形解行列式法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积，因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。 这是计算行列式的基本方法重要方法之一。 因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。 但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。 因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例3abbbbabbbbabbbbaDn?阶行列式计算.解这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不变，得abbbabbbabbbbnaabbbnababbnabbabnabbbbnaD?1111)1?()1?()1?()1?()1?(?)(b)1?(0000000001)1?(1?n?banababababbbbna?.例4计算行列式2101044614753124025973313211?D.解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算?5?41?2?323132143111231112310010202041020410010202153021530022xx22D?4?5?234321-12-31112310204-10304100-10-xx0xx-12000100022-200026?5?24112310204112 (1) (1) (6)?1xx020001000006?符号说明 (2)+3 (1)表示把第1行的3倍加到第2行上， (3)-2 (1)表示第3行减去第2行的2倍，其他此类符号依此类推。 2.1.2降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 例5计算行列式aaaaaDn00010000000000001000?.解按第1行展开0001000000000)1?(000000000000?aaaaaaaaDnn！?222)1? (1)1?(?nananananannna.2.1.3递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起nD与1?nD的递推关系式，逐步推下去，从而求出nD的值,有时也可以找到nD与1?nD,nD的递推关系，最后利用,1D2D得到nD的值.用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 例6计算行列式?1?1?1?00000000000000?nD.解将行列式按第展开，有n,)(?21?nnnDDD?112(),nnnnDDDD?112(),nnnnDDDD?得nnnnnnDDDDDD?)()(1223221?同理，得nnnDD?1,所以?n?.,;,)1(11?nnnnD例7计算ayyyxayyxxayxxxaDn?.解xaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaDnn?0?1010010001)(00111)()(?nnxayDya.同理11)()(?nnnyaxDxaD,联立解得)(,)(yxyxxayyaxDnnn?）,时当yx?,?121122112()()()2(x a)() (2)()() (1)nnnnnnnnDax Dx axax DxaxDnx axaxanx?.2.1.4利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去等等)把所求行列式化成已知的或简单的形式，其中范德蒙行列式就是一种。 这种变形法是计算行列式最常用的方法。 例8计算行列式21-n221-n2211-n1222212121111111?nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD?.解把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此推直到把新的第行的1?n倍加到第n行，便得范德蒙行列式1212222n111112111()nijn ij?n?n?nnxxxDxxxxxxxx?.例9计算行列式xyxzyzzyxzyxD222?.解运用行列式的性质，对其进行处理xyzyzxzyzyyzxzxyzyxzyxDzy?22222)1)()3(xzyzxyzxzyzxyyxzyzxyxzyxzyxx?222222)1()3()()()(yzxzxyxzyzxy?.2.1.5数学归纳法当nD与1?nD是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。 因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。 例10计算行列式xaaaaaxxxDnnn?1232100000100001?.解结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当2?n时，21221222)(1axaxaaxxaxaxD?假设kn?时，有kkkkkkaxaxaxaxD?12211?则当1?kn时，把1?kD按第一列展开，得11221111)(?kkkkkkkkkaaxaxaxaxxaxDD?12111kkkkkxa xaxa xa?由此，对任意的正整数n，有nnnnnnaxaxaxaxD?12211?.2.1.6加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 它要求1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算。 根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。 加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。 例11计算n阶行列式nnnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxD?321321321321.解1100nnnaaDD?1211002,1100100niaaaxinxx?第行减第1行1211000000000njnjaaaaxxxx?11njnjaxx?.例12计算)2(?nn阶行列nnaaaaD?1111111111111111321?，其中120na aa?解先将nD添上一行一列，变成下面的1?n阶行列式nnaaaD?1110111011101111211?显然，nnDD?1.将1?nD的第一行乘以1?后加到其余各行，得nnaaaD?0010010011111211?因0?ia，将上面这个行列式第一列加第)1,2(?nii?列的11?ia倍，得111122111111111100000100?000100000niinnnnaaaDDaaaa?1212110000111?a a100nnniiiinaaaaaa?.2.2求解行列式的其它技巧学习中还会有其他类型的行列式，下面对一些不是很常用的行列式的解法，如拆项法，因式分解法等进行归纳2.2.1拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算。 例13计算行列式nnnnnaaaaaaaaaD?21221211.解nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaD?2122121212212111221000?nnnnDaaaa?i?niinnnaDa121?1121?1?.2.2.2因式分解法如果行列式D是某个变数x的多项式)(xf，可对行列式施行某些变换，求出)(xf的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(xg，则)()(xcgxfD?，再比较)(xf与)(xg的某一项的系数，求出c值.例14计算行列式1321321311321?xnxnxnDn?.解时1?x,0?nD所以，nDx|1?.同理)1?(,2?nxx?均为nD的因式,又因为ix?与)(jijx?各不相同nDnxxx|)1?()2)(1(?所以，但nD的展开式中最高次项1?nx的系数为1，故)1()2)(1(?nxxxDn?.（二）计算n阶行列式的若干方法举例n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。 下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 例4浙江大学xx年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学xx年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值12312341345121221nnnnDnnn?分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。 注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。 然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解11(2,)n(2,)n11111111111211111000311112000111110001000000100000xx1 (1)200020000001001 (1)()2iinnirrirrnnnDnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnn nnn(? (1)(?2)12 (1)12 (1)?1)12nnn nnnn?4降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 例 1、计算20阶行列式xx3181920212171819321161718201918321D?分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*201次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。 但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。 注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算解1120xx8(1,(2,20)19)1111111231819202111112121718193111113211617181911111201918321xx11111111130222240022221 (1)?22120000022100000iiiiirrD?182例2计算n阶行列式00010000000000001000naaaDaa?解将Dn按第1行展开1000000000000 (1)?0000000001000nnaaaaDaaaa?12 (1)? (1)?nnnnaa?2nnaa?.例2计算n（n2）阶行列式0001000000001000aaDaa?解按第一行展开，得?100000000000010000001000naaaaDaaa?再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到?1112222111nnnnnnnDaaaaaa?例2计算ayyyxayyxxayxxxaDn?解111)() (1010010001)(000?nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD?同理11)()(?nnnyaxDxaD联立解得)(,)(yxyxxayyaxDnnn?）当yx?时,?121122112()()()2(xa)() (2)()() (1)nnnnnnnnDax Dxaxax DxaxDnxaxaxanx?例3计算n阶行列式12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax?解首先建立递推关系式按第一列展开，得?1111112321100010000010010000000111，010000010001nnnnnnnnnnnnxxxxDxaxDaxDaxxxaaaaax?这里1nD?与nD有相同的结构，但阶数是1n?的行列式现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得?2212221213211221nnnnnnnnnnnnnnnnDx xDaax Da xa?x xDaa xa?x Daxax?axa?，因111Dxaxa?，故111nnnnnDxa xaxa?最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当1n?时，显然成立设对1n?阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确由?121112111，、nnnnnnnnnnnnDxDax xa xaxaaxa xaxa?可知，对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例3证明n阶行列式2100001210001000121000012nDn?证明按第一列展开，得2100001000001210001210002000121000121000012000012nD?其中，等号右边的第一个行列式是与nD有相同结构但阶数为1n?的行列式，记作1nD?；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与nD有相同结构但阶数为2n?的行列式，记作2nD?这样，就有递推关系式122nnnDDD?因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当1n?时，12D?，结论正确当2n?时，221312D?，结论正确设对1kn?的情形结论正确，往证kn?时结论也正确由?122211nnnDDDnnn?可知，对n阶行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立6利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；.)把所求行列式化成已知的或简单的形式。 其中范德蒙行列式就是一种。 这种变形法是计算行列式最常用的方法。 例1计算行列式1221222n121212121122111111nnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx?解把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1212222n111112111()nijn ij?n?n?nnxxxDxxxxxxxx?例2计算1n?阶行列式122111n11111ab112221222222a b211212n1111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaa b?abbaa babbDaa b?aba b?b?其中1210na aa?解这个行列式的每一行元素的形状都是n kikiab?，k?0，1，2，n即ia按降幂排列，ib按升幂排列，且次数之和都是n，又因0ia?，若在第i行（i?1，2，n）提出公因子nia，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即?21111112222112122211111211111111.1nnnjnnnnniiijijij i?nj i?nijnnnnnnnbbbaaabbbbbDa aaab aa baaaaabbbaaa?例4计算行列式nnn2nnnn2nnnnxxxxxxxxxxxxD?122212222121111?解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式nnnn2nnnnn2nnnnn2nnnyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxyP?11111122221222221211111)(?=?j?i?nijinixxxy11)()(易知nD等于)(yP中1?ny的系数的相反数,而)(yP中1?ny的系数为?j?k?nijinkxxx11)(,因此,?k?j?nnijiknxxxD11)(例 5、计算n阶行列式11112222 (1) (2) (1) (1) (2) (1)1211111nnnnnnnnnananaaananaaDananaa?解显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。 先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到 (1)2222211111111121 (1)? (1) (2) (1) (1) (2) (1)n nnnnnn?nnnnananaaDananaaananaa?上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得 (1) (1)2211 (1)?()() (1)?()nnnnnj i n?j in?Danianjij?5.消去法求三对角线型行列式的值例6求n阶三对角线型行列式的值 （1）的构造是主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。 解用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第n行减去第n1行的倍，则第n行变为最后所得的行列式为 （2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为93）又主对角线下方的元全为0。 故注3一般的三对角线型行列式的值等于 （3）中各数的连乘积，即。 （4）也可以按上述消去法把次对角线元的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。 全部消去，得到一个三角型行列式，它9.因式分解法如果行列式D是某个变数x的多项式)(xf，可对行列式施行某些变换，求出)(xf的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(xg，则)()(xcgxfD?，再比较)(xf与)(xg的某一项的系数，求出c值.例8计算行列式1321321311321?xnxnxnDn?.解:注意1?x时，,0?nD所以，nDx|1?.同理)1?(,2?nxx?均为nD的因式又ix?与)(jijx?各不相同所以nDnxxx|)1?()2)(1(?但nD的展开式中最高次项1?nx的系数为1，所以)1?()2)(1(?nxxxDn?注此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.（三）行列式计算7种技巧7种手段一.7种技巧:【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=DT111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa?技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa?技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面111b a112b a11b a11121221222222122211212nnnnnninnnnnnnnnnnaaab ab ab aaaabb ab abaaaa?技巧4:行列式具有分行(列)相加性11121111211112111221212121212nnntttttntntttntttnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcaaaaaaaaa?技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112112212121212nnsssnststsntntttntttnnnnnnnnnaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaa?技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积111111111111111111110000mmnmmmmnmmmnnnnnmnnnaaaabbaabbaabbbb?技巧7:拉普拉斯按一行(列)展开定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,)n(1,2,)nnnikikkjkjk?k?Da Aia Aj?二.7种手段:【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122aaa aa aaa?,111213212223112233122331132132112332122133132231313233aaaaaaa a aa a aa aaa aaa aaaaaaaa?手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件)定义:1212121112121222()1212 (1)?nnnnnp ppppnpp ppnnnnaaaaaaa aaaaa?运用数学软件Matlab按定义计算4阶行列式:syms a b cd ef gh ij kl mn opA=a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,pA=a,b,c,de,f,g,hi,j,k,lm,n,o,pdet(A)ans=a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式111212221000nnniiinnaaaaaaa?,112122112000niiinnnnaaaaaaa?,1212()nn?其余未写出元素均为零,1 (1)2212 (1)?()n nnn?其余未写出元素均为零手段4:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0aaeibbfjgkddhl?手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000aeibfjcgkdhl?手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0akaeibkbfjckcgkdkdhl?手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式1212222n111112111()nijn ij?n?n?nnxxxxxxxxxxx?三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用计算下列行列式的值:习题1:1xx4318?解答:1xx41182 (4)30 (1) (1)?013?2 (1)81 (4) (1)4318?手段1习题2:0000000000bfdace解答:123412341234()12341234123433112aaaa432400000 (1)?0000004,3,1,4,2,(?) (3142)3,00000 (1)?00000p p p ppppppppp?bfda aaaaceppppppppbfdabcdace?观察行列式中元素的位置及由级排列中各数不能相等知因此手段2习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151?技巧5,手段4习题4:3333333333333333xxxx?解答:412213141423333333333333333333333333333313331333133300133300133300013330000000iixxxxxxxxxxxxxrrxxxxrrxxxxrrxxxxrrxxxxx?技巧2,技巧3,技巧5,手段3习题5:1112a b13a b14a b12a b22a b23a b24a b13a b2333a b34a b14a b24a b34a b44a ba ba b解答:1112a b13a b14a b12a b22a b2324a b13a b2333a b34a b14a b24a b34a b44a b22a b23a b24a b12a b13a b14a b12a b13a b14a b112333a b34a b12a ba b233334a b13a ba b222324a b14a b24a b34a b44a b24a b34a b44a b24a b34a b44a b,a ba ba baa ba ba ba b?按第一列展开12b13a b14a b22a b2324a b23a b3334a b12a b13a b14a b12a b13a b14a b22a b2324a b22a b23a b24a b24a b34a b44a b2333a b34a b2342342112142333a b34a b242333a b34a b12234234,0,(a ba ba ba bbbbbbbDa a bba ba b ba ba aaaaaaa?由于行列式和有两行元素成比例因此值为32342114bb24233334a b2342122312142434232334242414a ba b2112a b43322334a ba b2332a b14abab2112ab32ab234334ab14abab122123)()()()()()()()()()(bbba b ba ba baaaa abba b ba abba abbaa ba bba baba ba bababab?32ab34ab43ab314ab111)()()i iiiiabab?技巧7,手段1,手段6习题6:444443333322222 (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)123411111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?解答:4321?22222533333444444321?4321?22222,111111234 (1)? (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)111114321 (1)? (1)? (4) (3) (2) (1) (4)aaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444 (3) (2) (1) (4) (3) (2) (1)4!3!2!1!288aaaaaaaaa?技巧2,手段7习题7:12211000010000000001nnnxxxxaaaaxa?解答:111121232212112112121,1000100 (1)?0000011,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnDxDxDaxxDxDaDxDaDxDaDxDaDxax xxDxaxaxaxa?按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:技巧7,手段3习题8:()ababcdcd?其余未写出元素均为零:解答:22 (22)2122 (1)2 (1)2221,23,2,221,23,2,000000 (1)?00()()()nnnnnnnDnnnnnnabcdabDabcdcdD DadbcDadbcDadbc?将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得（五）线性代数行列式经典例题例1计算元素为aij=|ij|的n阶行列式.解方法1由题设知，11a=0，121a?，1,1,nan?，故011102120nnnDnn?1,1,2iir r?inn?011111111n?1,1jnjn?1211021 (1)?2 (1)020001nnnnnn?其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第n列方法xx102120nnnDnn?11,2,?,1111111120iir r?innn?12,?,1001xx31jjnnnn?=12 (1)?2 (1)nnn?例2.设a,b,c是互异的实数,证明:的充要条件是a+b+c=0.证明:考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数.于是=所以的充要条件是a+b+c=0.例3计算Dn=121100010nnnxxaaaxa?解方法1递推法按第1列展开，有Dn=x D1?n+（1）1?na n11111nxxx?=x D1?n+a n由于D1=x+a1，2211xDaxa?，于是Dn=x D1?n+a n=x（xD2?n+a1?n）+an=x2D2?n+a1?nx+an=?=x1?nD1+a2x2?n+?+a1?nx+an=111nnnnxa xaxa?方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，?，第n列的x1?n倍分别加到第1列上12cxD?21121010010000nnnnxxxaxaaaxa?213cx c?32121231010000100010nnnnnnxxxaxax aaaaxa?=?=0111xfx?nr?按展开1 (1)n?f?1111nxxx?=111nnnnxa xaxa?方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式Dn2132111x1xnnx?1122000000000nnnnnnnxxxaaaaaakxxx?n?按c展开x1?n kn=x1?n(1?nnxa+21?nnxa+?+xa2+a1+x)=111nnnnaaxa xx?方法4nrnD?按展开1 (1)n?na?1000100001xx?+21 (1)n?na?0000100001xx?+?+212 (1)?na?1000000001xx?+21 (1)(?)nax?100000000xxx?=（1）1?n（1）1?na n+（1）2?n（1）2?n a1?nx+?+（1）12?n（1）a2x2?n+（1）n2(a1+x)x1?n=111nnnnaaxa xx?例4计算n阶行列式11212212nnnnnabaaaabaDaaab?(12bb0nb?)解采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素12,na aa?，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素12112122121000nnnnnnaaaabaaDaabaaaab?升阶213111nrrrrrr?12121100100100nnaaabbb?1112,?1jjbjn?111211121000000000nnaaaaabbbbb?=112bb1 (1)nnnaabbb?这个题的特殊情形是121212nnnnaxaaaaxaDaaax?=11()nniixxa?可作为公式记下来例5计算n阶“三对角”行列式Dn=00010001000001?解方法1递推法Dn1?按c展开(?)?D1?n (1)00001000001n?1?按r展开(?)?D1?n?D2?n即有递推关系式Dn=()?D1?n?D2?n(n?3)故1nnDD?12()nnDD?递推得到1nnDD?12()nnDD?223()nnDD?221()nDD?而1(?)D?，2D+1+22?，代入得1nnnDD?1nnnDD?（2.1）由递推公式得1nnnDD?12()nnnD?2D2?n1nn?n?1?n?1nn?时，当时，当1)?(n111?nnn方法2把D n按第1列拆成2个n阶行列式D n=00010001000001?00010001000000001?上式右端第一个行列式等于D1?n，而第二个行列式00010001000000001?12,iicacin?0000100001000001?=n于是得递推公式1nnnDD?，已与（2.1）式相同方法3在方法1中得递推公式D n=()?D1?n?D2?n又因为当?时D1=?=?2221D?=2(?)?=22?=?33D3=?1?100=3(?)?-2?()?=()?22(?)?=?44于是猜想11nnnD?，下面用数学归纳法证明当n=1时，等式成立，假设当n?k时成立当n=k+1是，由递推公式得D1?k=()?Dk?D1?k=()?11kk?kk=?2