《求二次函数的解析式》-经典课件.ppt

用待定系数法求二次函数的解析式 河南省息县五中敖勇 1 已知抛物线y ax2 bx c 0 问题1 经过点 1 0 则 经过点 0 3 则 经过点 4 5 则 对称轴为直线x 1 则 当x 1时 y 0 则a b c a b c 0 c 3 16a 4b c 5 顶点坐标是 3 4 则h k 3 a x 3 2 4 4 问题2 2 已知抛物线y a x h 2 k 对称轴为直线x 1 则 代入得y 代入得y h 1 a x 1 2 k x1 x2 求出下表中抛物线与x轴的交点坐标 看看你有什么发现 1 0 3 0 2 0 1 0 4 0 6 0 x1 0 x2 0 y a x x a 0 交点式 问题3 温故而知新 二次函数解析式有哪几种表达式 一般式 y ax2 bx c a 0 顶点式 y a x h 2 k a 0 特殊形式 交点式 y a x x1 x x2 a 0 2 顶点式 已知抛物线顶点坐标 h k 通常设抛物线解析式为 求出表达式后化为一般形式 3 交点式 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 求出表达式后化为一般形式 1 一般式 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 求抛物线解析式的三种方法 如果要求二次函数解析式y ax2 bx c a 0 中的a b c 至少需要几个点的坐标 思考 已知图象上三点或三对的对应值 通常选择一般式 已知图象的顶点坐标 对称轴和最值 通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1 x2 通常选择交点式 y x 确定二次函数的解析式时 应该根据条件的特点 恰当地选用一种函数表达式 函数模型的选择 已知抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交于A 1 0 B 3 0 并且过点C 0 3 求抛物线的解析式 例题选讲 解 设所求的二次函数为y ax2 bx c 由条件得 0 a b c0 9a 3b c 3 c 得 a 1b 2c 3 故所求的抛物线解析式为y x2 2x 3 一般式 y ax2 bx c 交点式 y a x x1 x x2 顶点式 y a x h 2 k 例1 已知抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交于A 1 0 B 3 0 并且过点C 0 3 求抛物线的解析式 例题选讲 解 设所求的二次函数为y a x 1 x 3 由条件得 点C 0 3 在抛物线上 所以 a 0 1 0 3 3 得 a 1 故所求的抛物线解析式为y x 1 x 3 即 y x2 2x 3 一般式 y ax2 bx c 交点式 y a x x1 x x2 顶点式 y a x h 2 k 例1 一般式 y ax2 bx c 交点式 y a x x1 x x2 顶点式 y a x h 2 k 例2 已知抛物线的顶点在 3 2 且与x轴两交点的距离为4 求此二次函数的解析式 解 设函数关系式y a x 3 2 2 例题选讲 抛物线与x轴两交点距离为4 对称轴为x 3 过点 5 0 或 1 0 把 1 0 代入得 4a 2 用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成 一设 二代 三解 四还原 一设 指先设出二次函数的解析式 二代 指根据题中所给条件 代入二次函数的解析式 得到关于a b c的方程组 三解 指解此方程或方程组 四还原 指将求出的a b c还原回原解析式中 方法小结 1 已知二次函数的图像过点 0 0 1 3 2 7 三点 则该二次函数关系式为 2 若二次函数的图像有最高点为 1 6 且经过点 2 8 则此二次函数的关系式 3 若二次函数的图像与x轴的交点坐标为 1 0 2 0 且过点 3 4 则此二次函数的关系式为 小试牛刀 1 已知一个二次函数的图象经过 1 8 1 2 2 5 三点 求这个函数的解析式 1 根据下列条件 求二次函数的解析式 2 已知抛物线的顶点坐标为 1 2 且通过点 1 10 1 已知抛物线经过 2 0 0 2 2 3 三点 3 已知抛物线与x轴交点的横坐标为 2和1 且通过点 2 8 解 设所求的二次函数为y a x 1 2 3 由题意得 2 已知抛物线的顶点为 1 3 与y轴交点为 0 5 求抛物线的解析式 点 0 5 在抛物线上 a 3 5 得a 2 故所求的抛物线解析式为y 2 x 1 2 3 即 y 2x2 4x 5 4 二次函数y ax2 bx c的对称轴为x 3 最小值为 2 且过点 0 1 求此函数的解析式 4 抛物线的对称轴是x 2 且过点 4 4 1 2 求此抛物线的解析式 5 已知二次函数的对称轴是直线x 1 图象上最低点P的纵坐标为 8 图象经过点 2 10 求这个函数的解析式 6 已知抛物线的顶点在原点 且过 2 8 求这个函数的解析式 7 抛物线y ax2 bx c经过 0 0 与 12 0 最高点的纵坐标是3 求这条抛物线的解析式 8 已知抛物线与X轴交于A 1 0 B 1 0 并经过点M 0 1 求抛物线的解析式 9 已知抛物线y 2x2 8x 9的顶点为A点 若二次函数y ax2 bx c的图像经过A点 且与x轴交于B 0 0 C 3 0 两点 试求这个二次函数的解析式 10 已知二次函数y ax2 bx c的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求a b c 解 二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2又 抛物线的顶点在直线y x 1上 当y 2时 x 1 顶点坐标为 1 2 设二次函数的解析式为y a x 1 2 2又 图象经过点 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x 11 已知抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 请写出满足此条件的抛物线的解析式 解 抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 a 1或 1又顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 顶点为 1 5 或 1 5 所以其解析式为 1 y x 1 2 5 2 y x 1 2 5 3 y x 1 2 5 4 y x 1 2 5展开成一般式即可 12 已知 抛物线y ax2 bx c的图象如图所示 1 求此抛物线的解析式 2 当x取何值时 y 0 3 将抛物线作怎样的一次平移 才能使它与坐标轴仅有两个交点 并写出此时抛物线的解析式 x y o A B D C 1 5 2 5 13 已知 抛物线y ax2 bx c的图象如图所示 1 求此抛物线的解析式 2 当x取何值时 y 0 3 将抛物线作怎样的一次平移 才能使它与坐标轴仅有两个交点 并写出此时抛物线的解析式 x y o A B D C 1 5 2 5 14 已知 抛物线y ax2 bx c的图象如图所示 1 求此抛物线的解析式 2 当x取何值时 y 0 3 将抛物线作怎样的一次平移 才能使它与坐标轴仅有两个交点 并写出此时抛物线的解析式 x y o A B D C 1 5 2 5 15 已知 抛物线y ax2 bx c的图象如图所示 1 求此抛物线的解析式 2 当x取何值时 y 0 3 将抛物线作怎样的一次平移 才能使它与坐标轴仅有两个交点 并写出此时抛物线的解析式 x y o A B D C 1 5 2 5 2 抛物线y x2 2x 3的开口向 对称轴 顶点坐标 当x时 y最 值 与x轴交点 与y轴交点 1 二次函数y 0 5x2 x 3写成y a x h 2 k的形式后 h k 一 复习 3 二次函数y x2 2x k的最小值为 5 则解析式为 4 已知抛物线y x2 4x c的的顶点在x轴上 则c的值为 2 抛物线的顶点是 2 3 则m n 当x时 y随x的增大而增大 3 已知二次函数的最小值为1 则m 1 抛物线y x2 2x 3的开口向 对称轴 顶点坐标 当x时 y最 值 与x轴交点 与y轴交点 5 已知一个二次函数的图象经过 1 10 1 4 2 7 三点 求这个函数的解析式 6 已知一个二次函数的图象经过点 6 0 且抛物线的顶点是 4 8 求它的解析式 4 m为时 抛物线的顶点在x轴上 1 已知四点A 1 2 B 0 6 C 2 20 D 1 12 试问是否存在一个二次函数 使它的图像同时经过这四个点 如果存在 请求出关系式 如果不存在 请说明理由 巩固提高 2 若抛物线y ax2 bx c的对称轴为x 2 且经过点 1 4 和点 5 0 求此抛物线解析式 3 已知二次函数的图像过点A 1 0 B 3 0 与y轴交于点C 且BC 求二次函数关系式 实际应用 有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 施工前要先制造建筑模板 怎样画出模板的轮廓线呢 分析 通常要先建立适当的直角坐标系 再写出函数关系式 然后再根据关系式进行计算 放样画图 x y 16 20 20 有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 解法一 根据题意可知 抛物线经过 0 0 20 16 和 40 0 三点 可得方程组 所求抛物线解析式为 有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 设抛物线为y a x 20 2 16 解法二 根据题意可知 点 0 0 在抛物线上 所求抛物线解析式为 设抛物线为y ax x 40 解 根据题意可知 点 20 16 在抛物线上 有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 知识应用 解 根据题意得顶点为 1 4 由条件得与x轴交点