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利用小波变换提高数字全息信噪比利用小波变换提高数字全息信噪比 摘要 摘要 光学和数字全息需要解决的基本问题是在图像重构过程中出现的散斑噪声 因为散斑 降低了信噪比 SNR 目前很多方法都可以减小散斑噪声 以提高数字全息信噪比 现利用 小波滤波的方法来提高数字全息重构过程中的信噪比 提供了实验结果 实验结果证明该方 法是可行的 关键词 关键词 数字全息 小波变换 信噪比的改善 1 引言引言 数字计算机技术和 CCD 相机的发展 为运用数字技术记录和重构的全息理 论奠定了物质基础 1 随之产生了数字光学以及数字全息 数字全息继承了传 统光学的优点和缺点 数字全息可以同时改变光场的相位和振幅 整个光场的信 息可以被测量或者保存到电脑中 但是零阶衍射以及散斑噪声同样存在 降低了 重构过程的信噪比 零阶衍射可以通过原始的全息矩阵减去所有像素平均振幅的 全息矩阵消除 同样也可以通过高通滤波器消除 2 4 散斑的出现导致不能准确 地对图像解码 虽然前人提出很多方法来消除散斑 但是只有一部分是有效的 5 9 最简单的是通过傅里叶滤波法 但是此方法由于一般物体的光场包含孔隙 缝隙 阴影而受到限制 这是因为傅里叶变换是将原函数扩展成无穷时间域中的 正弦波和余弦波的正交函数 当用滤波后的图像来计算相位的时候 在范围的测 量上会出现误差 Symlet 小波近似对称而使得图像的范围容易处理 10 17 因为 小波滤波是用于图像滤波的一个强大的工具 所以我们已经应用小波过滤来平滑 或减少小波的斑点噪声 现介绍如何通过小波滤波在数字全息的重构阶段来降低散斑噪声并提高 SNR 包括利用 MatLab 实现小波滤波技术的步骤细节以及实验结果 2 数字全息的基本理论数字全息的基本理论 在数字全息中 全息图通过传统光学方式记录 并且存储在数字图像系统中 如果全息图的强度条纹可以通过某种算法表达 那么真实的图像就可以通过数字 样本全息图重构 全息图上的平面波衍射通过菲涅尔一基尔霍夫衍射公式得到 2 exp 11 cos 22 IIHHHHHH i i O XYH XYR XYdX dY 1 222 IHIH XXYYd O XI YI 表示像平面上衍射条纹的复振幅 H XH YH 表示光学记录的全息图 的强度 是全息平面一点 P 与重构平面一点 Q 之间的距离 是n 和 P 点到 Q 点的矢量 之间的夹角 如图 1 所示 图一 菲涅尔衍射积分的几何示意图 式 1 成立的条件是全息面与重构面之间的距离 d 要比 CCD 的最大尺寸大很多 故 d 必须满足 22 2 max 3 4 IHIH dXXYY 这样式 1 就变为 22 22 2 exp 2 exp exp IIIIHHHH HHHIHIHH i O XYiiXYH XYR XY dd iXYiX XY YdX dY Dd 2 这个等式成为菲涅耳近似公式 由于相位因子 exp i 只影响最终的相位 因此可以忽略 它对于强度以及 数字全息的干涉相位没有任何影响 如果全息图的强度 H XH YH 被抽养成 N N 个点的矩形光栅 那么函数 O XI YI 就可以被数字化 CCD 的水平和垂直像素 间距分别是 XH以及 YH 依据抽样定理 全息图以及像面的取样间距的关系 II HH dd XY NXNY 3 而物光和参考光在 CCD 上任何一点的夹角必须受到限制 这样干涉条纹之间的 间距才能大于像素尺寸的 2 倍 根据式 3 式 2 变为 22 11 22 00 22 2222 exp exp exp 2 NN II rs HH HH ipp O p Xq YiR r s H r s ddNXNX rpsq irXsYi dNN 4 这就是离散傅里叶变换 m n 是 X 和 Y 方向上的像素个数 p 1 2 3 N 1 q 0 1 2 N 1 R r s 与 H r s 的叠加一般通过快速傅里叶变换 FFT 得到 物面 全息面和像面在笛卡尔坐标系中的位置 如图 2 所示 图 2 全息记录和重建的几何示意图 在无透镜的傅里叶全息系统中 球面相位因子对菲涅尔衍射条纹的影响可以通过 使用相同曲率的球面参考波 R r s 来消除 将式 6 代人式 5 得到数字全息的无透镜傅里叶变换 二次相位因子的消除减少了傅里叶全息图数字重构的复杂性 上面的公式只 涉及到一次简单的傅 里叶变换 所以要比其他的一些方法要快 比如菲涅尔方法 4 卷积方法等 18 19 重构的光场 O pAXI qAYI 是一系列复杂光场的排列 强度和相位通过下面 的公式计算得到 3 式 9 中的 Re 和 Im 分别代表实部和虚部 通过式 8 和式 9 可以得到重构光场 O p XI q YI 的强度和相位 根据式 3 在重构面上的像素间距 XI YI与全息矩阵中的不同 最近的实验表明式 3 与受到分辨力为 N XH的光场限制的衍射吻合 因而 XI 就是重构像面上 散斑的直径 3 小波滤波提高数字全息信噪比小波滤波提高数字全息信噪比 在数字全息中 根据式 3 给出的关系 可推断出散斑出现在重构的像面上 为了消除散斑噪声 需要通过滤波来对图像进行不阈值的分解 去除不需要的强 度变化部分 这些散斑限制了重构部分的分辨力 强度的变化发生在不同尺度的 情况不同 所以 他们的最优检测需要使用不同的方法 一个突然的强度变化 产生一个峰值和低谷的一阶导数图像 这就要求视觉过滤器都应该有两个特点 首先 它应该是微分算子 第二 它应该能够被调谐作用于任何期望的规模 20 21 小波滤波器有这些属性 小波是新的标准正交基函数 不需要有无限时间 16 20 小波是新的标准正交函数 不需要无穷的时间 当小波分解函数延伸时 接近于低频信息 当被压缩时 接近于高频信息 其在计算上是高效的 而且提 供了重要的斑纹还原 同时保持了图像锋利的特性 22 23 Daubechies 分析 Haar 小波的相位 认为相位在 处有中断 24 Daubechies 小波 dbN 是最小相移滤波 Shakher 认为 Symlet 小波的相位线性比 dbN 好 Symlet 小波是实际上是对 Debauchies 小波的修改 提高了对称性 保持了近似 对称的形式 它具有紧支撑正交性 可进行正交和双正交分析 能够实现精确重 构 可以构成有限滤波器 具有快速算法 11 想要做一个接近对称的滤波器 然后还要兼顾其相位 它几乎是线性的 这是通过在小波 dbN 和考虑 2 0 m 下 并且 W 是关于 i ze 的函数 反复使用函数 0 12 in n n mh e h 被 内核过滤 我们可以以不同的形式的 1 W zU z Uz 考虑因素 W W 的 根的模量不等于成对出现的一对根 如果 z 是一个根 然后 1 z 也是一个根 通 过这样选择的根的模严格小于一 于是 dbNs 建成 此过滤器是一个最小相位滤波器 通过另一个选择 我们可以获得更多的对 称的过滤器 15 25 这些都是 Symlets 数码录音的外观和数值重建的全息图被显示在图 4 a 中 图 4 a 显示了定义 良好的实像的对象 零级衍射已被消灭 然而 一个散斑噪声清楚表明公式 3 在重 建图片中仍然是明显的 这降低了重建图像时的信噪比 从这一点 很明显可以 看出 斑点噪声降低了数字重建全息图像的信噪比 散斑的产生与连续的成像过 程 26 以及 CCD 相机的有限像素尺寸有关 27 28 可以通过两种途径来降低散 斑噪声 首先可以通过改进全息记录过程本身来减少噪声 其次通过数字重构过 程的滤波实现 下面讨论的是 Symlet 滤波方式来降低数字全息的重构 在数字全息术中 经常用过滤来测试他们潜在的改善信噪比的能力 过滤方 案中的参数之一是散斑衬度 散斑衬度就是在同样的区域下偏离强度平均值的比 率 17 29 30 散斑衬度 复振幅的标准偏差 平均强度 C 是散斑衬度 复振幅的标准偏差 m 平均强度 信噪比为 C 为倒数 4 实验实验结果结果 图 3 显示了数字全息记录的简单示意图 输出功率 30mW 的 He Ne 激光器 作为光源 通过分束镜将激光器发出的光分为两部分 通过滤波器和准直透镜将 物光变为准直光束照射到物体上 照射角度是44 在参考光路中的空间滤波器 产生球面参考光波 物光波和参考光波干涉产生的条纹被 CMOS 记录 存储在 电脑中 CMOS 的像素尺寸是 6 7 m 6 7 m 像素个数是 1280pixel 1022pixel 整个传感器片的尺寸是 8 6mm 6 9mm 图 3 数字全息记录的简要示意图 全息图被记录后 图像的重构以及相关的图像处理过程可以通过 MatLab 实 现 其结果详见图 4 其中图 4 a 为数字重构全息图 图 4 b 和 4 c 分别显示的 是使用 3 3 中值滤波和 5 5 中值滤波的图像 图 4 d 显示的是使用 Symlet 滤波 的图像 滤波以后的图像参数通过式 10 和式 11 计算得到 计算结果如表 1 所 示 图 4 a 数字重构全息图 b 使用3 3 中值滤波 c 使用5 5 中值滤波 d 使 用 Symlevjx 波滤波 表 1 各幅图像的散斑指标和信噪比 参数 图 4 a 图 4 b 图 4 c 图 4 d 散斑衬度 0 08105 0 02395 0 01259 0 01165 信噪比 12 33806 41 75365 79 42811 85 83690 5 结论结论 散斑噪声是数字全息的最大问题 因为它降低了重构图像的信噪比 这就 限制了数字全息在 3D 显示方面 微观结构测试 数字全息显微方法等方面的使 用 实验结果显示小波滤波可以明显地提高信噪比 这样可以在不同的领域充分 使用数字全息 6 鸣谢鸣谢 作者感谢读者对他的评论使得他可以改进手稿 作者也欣然承认在这个阶段 的实验工作和许多讨论中 与钱德拉 Shakher 教授各种富有成果的讨论对其改进 手稿有了很大帮助 参考文献 1 Goodman JW Lawrence RW Digital image formation fromelectronically detected holograms ApplPhysLett 1967 11 77 9 2 Wagner C Seebacher S Osten W Juptner W Digital recording andnumerical reconstruction of lensless Fourier holograms in opticalmetrology Appl Opt 1999 38 22 4812 3 Schnars U Juptner WPO Review article of digital recording andnumerical reconstruction of holograms MeasSciTechnol2002 13 85 101 4 Schnars U Direct phase determination in hologram interferometrywith use of digitally recorded holograms J Opt Soc Am A 1994 11 7 2011 5 5 Lin JS Techniques for speckle noise removal Opt Eng 1981 20 670 8 6 Deviila A Kaufmann GH Kerr D An evaluation of syntheticaperture radar noise reduction techniques for the smoothening ofelectronic speckle pattern interferometric fringes J Mod Opt1995 42 1795 804 7 Kaufmann GH Galizzi GE Speckle noise 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