八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用难点分析素材北师大版讲解.doc

勾股定理的应用难点分析勾股定理的应用就是把实际问题转化到直角三角形中用“勾股定理”解决下面举例说明并分析学生在应用勾股定理所遇到的难点一. 在实际问题中抽象出直角三角形应用勾股定理例1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？A 男孩头顶BC第1题图分析：从题意中抽抽象出图形，如右图，图中ABC的米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出解：由勾股定理得即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：答：飞机每个小时飞行540千米二. 注意方程思想的应用的两个类型类型一：在一个直角三角形中，应用勾股定理列方程例2. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是多少米？ABCD第2题图分析：从实际中抽象出几何图形，如图，由题意可知：ADC=BDC=90；红莲高出水面AD=1米；花朵齐及水面说明：AB=BC；红莲移动的水平距离为2米说明：DC=2米在RtBDC中，应用勾股定理例方程可得解：如图2，由题意可知：ADC=BDC=90；红莲高出水面AD=1米；花朵齐及水面说明：AB=BC；红莲移动的水平距离为2米说明：DC=2米设水深BD=x 米，则AB=BC=(x+1)米在RtBDC中，根据勾股定理得：所以 解得：答：这里水深是1.5米类型二：在两个直角三角形中，分别应用勾股定理列方程例3. 如图3，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ADEBC第3题图分析：要求AE的长度，在RtADE中应用勾股定理，只知道DA=15km，不能求同时我们发现，在这个图形中有两个直角三角形，能否分别这两个三角形中都利用勾股定理呢？是可以的，在RtADE中，根据勾股定理得：，在RtCBE中，根据勾股定理得：，而DE=CE，从而得到等式=，列方程问题解决了解：设AE=x，则BE=在RtADE中，根据勾股定理得：在RtCBE中，根据勾股定理得：因为现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等所以DE=CE所以所以 =所以 =解得：所以 E站应建在离A站10km处例4. 已知中，求AC边上的高线的长第4题图分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，在RtBDC中，根据勾股定理得：.在RtCBE中，根据勾股定理得：，得到，未知量可用方程的思想求得解：因为 所以 为，且作于D设，则答：AC边上的高线长为三. 连续求出线段长与连续表示线段的意识在解题寻找思路方法过程中，同学们往往感觉无所适从，建议你要具有“连续求出线段长与连续表示线段的意识”，一些题会迎刃而解，感觉题还特别容易例5. 如图5：在长方形ABCD中，已知AB=8 cm，BC=10cm，将AD沿直线AF折叠，使点D落在BC上的点E处，求CF的长FEDCBA第5题图分析：不难连续求出线段：AD=AE=10，BE=6，EC=4连续表示线段：设CF=x，则DF=EF=（8x）这时，你就会发现在RtECF中应用勾股定理就解决了解：因为 在长方形ABCD中，已知AB=8 cm，BC=10cm所以 DC=8 cm；AD=10因为 将AD沿直线AF折叠所以 AE= BC=10cm；DF=EF在RtABE中，应用勾股定理得：BE=6所以 EC=4设CF=x，则DF=EF=（8x）在RtECF中，应用勾股定理得：即，解得：所以 CF的长为3例6. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高DBCA第6题图分析：如图6，根据题意可知：BDDA=BCCA=1020=30米，连续表示线段：设树高为x米，则BD=( x10)米，AD=30BD=30(x10)=（40x）米在RtACD中应用勾股定理可解解：如图6，根据题意可知：BDDA=BCCA=1020=30米设树高为x米，则AD=30BD=30(x10)=（40x）米在RtACD中应用勾股定理得：即，解得：所以 树高为15米四. 构造直角三角形应用勾股定理例7. 如图7，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCDl第7题图ACD图7-1BlEFBE分析：要使铺设水管的费用最节省，需要使水厂位置到两个小集镇的距离最短，有轴对称的知识可知：作B点关于直线l的对称点B，连结AB与l相交于E，则E点为水厂位置，使铺设水管距离最短，费用最节省因为AEEB= AB，还需求出AB的长，这时，不妨构造直角三角形应用勾股定理，过点A作AEBD于点F，在RtAFB中应用勾股定理求AB的长即可答：如图7-1，将河流CD抽象为直线l，在直线l同侧有两个点A和B，作B点关于直线l的对称点B，连结AB与l相交于E，则E点为水厂位置，使铺设水管距离最短，费用最节省理由：事实上，如果是E点的话，则连结AE与EB和EB，由轴对称性知道，EB= EB，EB=E B所以E到A、B距离之和AE+EB=AE+EB而E到A、B距离之和AE+EB=AE+ E B=AB在ABE中，三角形两边之和大于第三边AE+ EB AB所以E点为所求的点过点A作AEBD于点F，则得到长