微积分第三章导数与微分.ppt

第三章导数与微分 3 1导数的概念 3 2导数基本公式和求导运算法则 3 3链法则与隐函数的导数 3 4高阶导数 3 5微分 3 6边际与弹性 3 1导数的概念 引例1 变速直线运动的瞬时速度 一 引例 1 当物体作匀速运动时 2 当物体作变速运动时 引例2 平面曲线的切线斜率 割线MN 切线MT 割线MN的斜率为 当 x 0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT 即割线MN的极限位置就是曲线L在点M处的切线MT 切线MT的斜率为 二 导数的定义 注意 三 导数的几何意义 四 左 右导数 例3 讨论函数 解 思考 五 可导性与连续性的关系 即 定理 问题 连续是否一定可导 结论 函数在其可导的点处一定连续 函数在其连续的点处不一定可导 函数在其不连续的点处一定不可导 注意 1 曲线 处是尖点 在点 2 曲线 在点 在点 3 曲线 间断 处有 垂直切线 处 P89 T8 P106 T1 1 T2 T5 作业 因为 处函数无定义 所以该点处函数间断 第二类无穷间断点 所以 是函数的可去间断点 作业讲评P88 5 2 P89 6 5 解法1 解法2 原式 解法3 而 解法4 解法1 而 解法2 P89 6 六 利用导数定义求极限 例4 解 练一练 解答 注意 分段函数分段点的导数必须用定义求 例5 设函数 解 因为 例6 解 方法一 例7 解 方法二 例10 解 3 2求导基本公式与求导运算法则 一 求导基本公式 解 解 解 特别地 解 正弦函数的导数等于余弦函数 类似得 余弦函数的导数等于负的正弦函数 二 四则运算求导法则 证毕 例5 解 解 例6 常用公式 例7 解 练一练 解答 P117 T5 6 9 T6 2 T8 作业 三 反函数的求导法则 解 例8 解 例6 四 导数的基本公式 3 3链法则与隐函数的导数 一 复合函数求导法则 链法则 猜想 解 例1 求下列函数的导数 注意 解 例2 解 例3 例4 解 或 复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形 设 则 或 解 这里求y对x的导数是从外向里经过每个中间 在熟悉了法则之后 运算就不必写出中间变量 变量的导数最后导到x上 因此对复合函数求导 搞清楚复合层次后 只要从外层向里层逐层求导 即可 解 易犯的错误 例7 例8 求 解 例9 解 例10 解 小结 复合函数求导首先必须搞清函数是怎样复合的 求导时由外到里逐层求导 注意 一定要到底 不要遗漏 不要重复 例11 例12 练一练 解答 P127 T3 3 7 10 15 20 作业 称这类函数为隐函数 二 隐函数求导法 又如 解 例12 解 例13 解 例14 小结 方程两边对 隐函数的求导方法 视 为 的函数 由复合函数求导法则 的方程 解出即可 得到关于 注意 结果中既含也含 练一练 解答 解 三 对数求导法 两类函数 有简便求 先给这些函数取对数 然后再求导就可使求导运算 简便多了 这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求 导法 解 例15 例16求 的导数 解解法1两边取对数 化为 两边对x求导 解法2将函数化为复合函数 98 可编辑 例21 小结 对数求导法 常用于多因子乘幂求导 或幂指函数求导 对数求导法的步骤 1 函数式两边取自然对数 四 分段函数求导法 解 易犯的错误 练一练 解答 解 P128T4 4 T5 T6 1 2 作业 3 4高阶导数 一 高阶导数 记作 或 即 类似地 二阶导数的导数 叫做的三阶导数 记作 或 三阶导数的导数 叫做四阶导数 记作 或 记作 或 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 例1y 1 x2 arctanx 求y 解 例2 证明 所以y3y 1 二 隐函数的二阶导数 例3 解 解 方程两边同时对x求导 上式两边同时再对x求导 例4 三 几个初等函数的n阶导数 解 类似地有 得到 由上面各阶导数可以得到 四 高阶导数的运算公式 函数和差的n阶导数 u v n u n v n 函数积的n阶导数 这一公式称为莱布尼茨 Leibniz 公式 用数学归纳法可以证明 上面这些导数外表和二项展开式很相似 如果设 小结 高阶导数的求法 1 逐阶求导法 2 利用归纳法 3 间接法 利用已知的高阶导数公式 如 4 利用莱布尼兹公式 练一练 解答 例 作业 P133 T1 4 8 T4 2 3 T7 3 5微分 一 微分的概念 设薄片边长为x 面积为S 则 当x在 取 面积的增量为 关于 x的线性主部 故 称为面积函数在的微分 定义 充分性 即 函数y f x 在任意点x的微分 称为函数的微分 记作dy或df x 即dy f x Dx 例如 dcosx cosx Dx sinxDx dex ex Dx exDx 因为当y x时 dy dx x Dx Dx 所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分 记作dx 即dx Dx 因此 函数y f x 的微分又可记作 于是有可微与可导的关系 函数f x 在点x0可微 函数f x 在点x0可导 函数在点x0的微分为 切线纵坐标的增量 微分的几何意义 增量与微分的关系 由微分定义知 例如 求在 解 二 基本微分公式与微分法则 可得基本初等函数的微分公式 例1 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 说明 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容 注意 数学中的反问题往往出现多值性 微分运算法则 设u x v x 均可微 则 C为常数 分别可微 的微分为 微分形式不变性 5 复合函数的微分 则复合函数 由此可见 无论u是自变量还是中间变量 微分形式dy f u du保持不变 例4若方程xy cosy x2确定y f x 解一 两边对x求导 解二 两边同时微分 解 两边同时微分 例8若方程 arcsinx lny e2x tany 0确定y f x 求 例9设 解 例10 解 练一练 解答 解 三 微分在近似计算中的应用 由微分定义知 1 即 在 2 式中令 4 例13计算sin30 30 的近似值 解 有sin x0 Dx sinx0 cosx0Dx sin30 30 即sin30 30 0 5076 且离切点越近近似程度越好 近似公式表示曲线 附近 可用切线 在切点 近似曲线 且离 切点越近近似程 度越好 练一练 解答 类似可证 当 很小时 有近似公式 如 解 作业 P142 T6 4 6 9 T7 2 例11 解 习题讲评P134 4 2 解 方法1 方法2 3 6边际与弹性 一 边际的概念 因为边际量是一个绝对变化量 不能反映变化程度的大小 比如某商品的价格上涨1 时 需求量将如何变化 投资增加一个百分点时 国内生产总值将增加百分之几 等等 为此 我们引入一个无量纲的相对变化量 即弹性 二 弹性函数 1 弹性的概念 弹性的意义 幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数 2 弹性的经济应用 1 需求价格弹性 说明 即需求量下降的幅度将大于价格上