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三角函数解三角形专题一解答题（共33小题）1设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x，）时，求f（x）的取值范围2已知函数f（x）=4sinxsin（x+）1，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值3已知函数f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（ax）（a0），且函数的最小正周期为（）求a的值；（）求f（x）在0，上的最大值和最小值4已知函数f（x）=4cosxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（）讨论f（x）在区间0，上的单调性5已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x），xR（）求f（x）的最小正周期和值域；（）若x=x0（x00，）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值6已知函数f（x）=sin（x）+cosx（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若是第一象限角，且f（+）=，求tan（）的值7已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值8已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在上的值域9已知函数f（x）=cos2x2sinxcosxsin2x（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间0，的最大值及所对应的x值10已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值11已知函数（）求f（x）的最小正周期、零点；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值12已知向量=（，=（cosx，cosx），xR，设f（x）=（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2f（A）=1，求ABC的面积13已知函数f（x）=sin（2x）+2cos2x2（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=（C）=1，若2sinA=sinB，求ABC的面积14在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c（）求角B的大小；（）若sin（）cos（）sin2（）=，求cosC的值15在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bc=1，cosA=，ABC的面积为2（）求a的值；（）求cos（2A）的值16在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，（1）若C=，ABC的面积为，求a的值；（2）求的值17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）求角C的大小；（2）若bsin（A）=acosB，且，求ABC的面积18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2ab）cosC=ccosB（1）求角C的大小；（2）若c=2，ABC的面积为，求该三角形的周长19设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B；（）若，求C20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2ba）sinB+（2ab）sinA（）求角C的大小；（）若c=2，且sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积21在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，求b的数值范围22在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2A=，c=，sinA=sinC，角A为锐角（1）求sinA与a的值；（2）求b的值及三角形面积23在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=（）求tanC的值；（）求tan（2C）的值24在ABC 中，角 A，B，C 为三个内角，已知 A=45，cos B=（）求sin C的值；（）若BC=10，D为AB 的中点，求CD的长及ABC 的面积25已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边，=（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=，求ABC周长的最小值26ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知3a2=3b2+3c2（1）求A；（2）若a=3，求ABC周长的取值范围27已知圆O的半径为2，它的内接三角形ABC满足c2a2=4（cb）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边（）求角A；（）求三角形ABC面积S的最大值三角函数解三角形专题参考答案与试题解析一解答题（共33小题）1设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x，）时，求f（x）的取值范围【解答】解：f（x）=cos2x+sin2（x+）f（x）=cos2x+f（x）=cos2x+sin2x+f（x）=sin（2x+）+，（1）最小正周期，sinx单调递增区间为2k，2k+，（kZ）2x2k，2k+，（kZ）解得：x，（kZ）f（x）的最小正周期为；单调递增区间为，（kZ）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+x，），2x，由三角函数的图象和性质：可知：当2x=时，f（x）取得最小值，即=0当2x=时，f（x）取得最大值，即x，）时，f（x）的取值范围在2已知函数f（x）=4sinxsin（x+）1，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）=4sinxsin（x+）1，=4sinx（sinx+cosx）1，=2sin2x+sin2x1=sin2xcos2x=2sin（2x），函数f（x）的最小正周期T=（2）x，2x，sin（2x）1，f（x）=2sin（2x）在区间，上的最大值为，最小值为23已知函数f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（ax）（a0），且函数的最小正周期为（）求a的值；（）求f（x）在0，上的最大值和最小值【解答】解：（）函数f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（ax）（a0），化简可得：f（x）=sin（2ax）+cos（2ax）+1=cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax）+1函数的最小正周期为即T=由T=，可得a=2a的值为2故f（x）=2sin（4x）+1；（）x0，时，4x，当4x=时，函数f（x）取得最小值为1当4x=时，函数f（x）取得最大值为21+1=3f（x）在0，上的最大值为3，最小值为14已知函数f（x）=4cosxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（）讨论f（x）在区间0，上的单调性【解答】解：（1）函数f（x）=4cosxsin（x+），=，由于函数的最小正周期为，故=1，（）所以：f（x）=，令：（kZ），解得：（kZ），由于x在区间0，上，所以：函数的单调递增区间为：函数的单调递减区间为：5已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x），xR（）求f（x）的最小正周期和值域；（）若x=x0（x00，）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值【解答】解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x），xR化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+sin（x）cos（x），=cos2x+sin2x+sincos2x=sin2xcos2x+=2sin（2x）（）f（x）的最小正周期T=值域为：，（）令f（x0）=0，可得sin（2x0）=0x00，2x0，0，cos（2x0）=那么：sin2x0=sin（2x0）=sin（2x0）cos（）cos（2x0）sin=6已知函数f（x）=sin（x）+cosx（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若是第一象限角，且f（+）=，求tan（）的值【解答】解：（1）f（x）=sin（x）+cosx=所以：函数f（x）的最小正周期为：（2）由于f（x）=则：f（）=sin（）=cos=由于是第一象限角所以：sin=则：则：tan（）=7已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值【解答】解：（）=，f（x）的最小正周期是；（），02x，当时，f（x）max=2当时，f（x）min=18已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在上的值域【解答】解：（），=+1，=2sin（2x+）+1，所以函数的最小正周期T=（）由于，则：，所以，即，所以函数的值域为f（x）9已知函数f（x）=cos2x2sinxcosxsin2x（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间0，的最大值及所对应的x值【解答】解：（ I）由已知得=所以函数f（x）的最小正周期T=由，得，所以函数f（x）的单调增区间为（ II）当，则，故函数f（x）的最大值为，由2x=得x=0，故函数f（x）在区间0，的最大值及所对应的x值是010已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值【解答】解：（1）由函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x1化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期T=，（2）由（1）可知，f（x）=sin（2x+），x，上，2x+，sin（2x+）1，故得函数f（x）在区间，上的最大值和最小值分别为1，11已知函数（）求f（x）的最小正周期、零点；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：函数化简可得：f（x）=4sinx（cosx+sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+=sin2xcos2x=2sin（2x）（）函数f（x）的最小正周期T=，令，即函数f（x）的零点是（），当，即时，函数f（x）的最小值为；当，即时，函数f（x）的最大值为2f（x）在区间上的最大值为2，最小值12已知向量=（，=（cosx，cosx），xR，设f（x）=（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2f（A）=1，求ABC的面积【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），xR，f（x）=，=，=，令：（kZ），解得：（kZ），故函数的单调递增区间为：（kZ）（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，则：（0A），解得：A=，利用余弦定理：，a2=b2+c22bccosA，且a=1，b+c=2解得：bc=1所以ABC的面积为：13已知函数f（x）=sin（2x）+2cos2x2（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=（C）=1，若2sinA=sinB，求ABC的面积【解答】解：（1）f（x）=sin2xcos2x+cos2x1=sin2x+cos2x1=sin（2x+）1，令+2k2x+2k，kZ，得+kx+k，函数f（x）的单调递增区间为+k，+k，kZ（2）由2f（C）=1，得sin（2C+）=，0C，2C+，2C+=，即C=又2sinA=sinB，即b=2a；由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=3a2=3，a=1，b=2SABC=14在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c（）求角B的大小；（）若sin（）cos（）sin2（）=，求cosC的值【解答】解：（）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，在ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，2cosBsinC=sinC，又C是三角形的内角，可得sinC0，2cosB=1，可得cosB=，B是三角形的内角，B（0，），B=；（）sin（）cos（）sin2（）=，即，B=，cosC=15在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bc=1，cosA=，ABC的面积为2（）求a的值；（）求cos（2A）的值【解答】解：（）由cosA=，0A，得sinA=，S=，即bc=6又，解得a=3；（）由（）得，cos2A=，sin2A=2sinAcosA=，故cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=16在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，（1）若C=，ABC的面积为，求a的值；（2）求的值【解答】解：（1）ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，则：利用正弦定理得：a=2b，所以：，解得：（2），=4（1cosC），=17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）求角C的大小；（2）若bsin（A）=acosB，且，求ABC的面积【解答】解：（1）在ABC中，由，由余弦定理：a2+b2c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC0B，sinB0，2sinC=2cosC，即tanC=，0C，C=（2）由bsin（A）=acosB，sinBsinA=sinAcosB，0A，sinA0，sinB=cosB，根据正弦定理，可得，解得c=1，18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2ab）cosC=ccosB（1）求角C的大小；（2）若c=2，ABC的面积为，求该三角形的周长【解答】解：（1）在ABC中，由正弦定理知=2R，又因为（2ab）cosC=ccosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA； （4分）0A，sinA0；cosC=； （6分）又0C，C=； （8分）（2）SABC=absinC=ab=，ab=4 （10分）又c2=a2+b22abcosC=（a+b）23ab=4，（a+b）2=16，a+b=4；周长为6（14分）19设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B；（）若，求C【解答】解：（）因为（a+b+c）（ab+c）=ac，所以a2+c2b2=ac.（2分）由余弦定理得，（4分）因此，B=120.（6分）（）由（）知A+C=60，所以：cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC .（7分）=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC .（8分）=cos（A+C）+2sinAsinC .（9分）=，.（10分）故AC=30或AC=300，因此，C=15或C=45.（12分）20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2ba）sinB+（2ab）sinA（）求角C的大小；（）若c=2，且sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积【解答】解：（）ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2ba）sinB+（2ab）sinA整理得：2c2=（2ba）b+（2ab）a，即：b2+a2c2=ab，则：，由于：0C，则：C=（）由于：sinC+sin（BA）=2sin2A，则：sinC+sin（BA）=sin（A+B）+sin（BA），整理得：sinBcosA=2sinAcosA，所以：cosA=0，或sinB=2sinA（1）当cosA=0时，A=，c=2则：b=，所以：（2）sinB=2sinA，即：b=2a，利用余弦定理得：，解得：，所以：所以：21在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，求b的数值范围【解答】解：（1）在ABC中，=，由正弦定理可得=，即为c2+a2b2=ac，可得cosB=，0B，可得B=；（2）由余弦定理可得b2=a2+c22accos=（a+c）22ac+ac=4ac=4a（2a）=（a1）2+3，由0a2，可得b23，4），可得b的范围是，2）22在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2A=，c=，sinA=sinC，角A为锐角（1）求sinA与a的值；（2）求b的值及三角形面积【解答】解：（1）sinA=sinC，a=c=3cos2A=12sin2A=，sinA=（2）A是锐角，cosA=，由余弦定理得：cosA=，即=，解得b=5SABC=bcsinA=23在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=（）求tanC的值；（）求tan（2C）的值【解答】解：（）A=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccos，b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得b=c，a2=b2c2=c2，即a=ccosC=C（0，），sinC=tanC=2（）tan2C=，tan（2C）=724在ABC 中，角 A，B，C 为三个内角，已知 A=45，cos B=（）求sin C的值；（）若BC=10，D为AB 的中点，求CD的长及ABC 的面积【解答】解：（I）cosB=，B（0，180），sinB=sinC=sin（B+45）=sinBcos45+cosBsin45=（II）由正弦定理可得，可得b=6由（I）可得：cosB=，B45，B+A90，C90，cosC=由由余弦定理可得：AB2=（6）2+1022610cosC=196，解得AB=14在AC