高考备考精品：数学解题能力快速提升.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除高考备考精品：数学解题能力快速提升一不等式解题方法一、从与的大小说起【引例】 正实数中，对任意a，b，m，都有这就是“分数的基本性质”：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变.这，连小学生都知道. 但， 我们的话题却要从这儿开始.【问题】对以上“性质”，如果将冒号后的文字改变一个字，将“乘”改成“加”，即变成这里的等号还能成立吗？请看下例.【例1】若ba0，m0，则有A. B.C.D.【解答】 （淘汰法）令a=1，b=2，m=3 淘汰B，C，D，答案为A.【例2】（变例1为解答题）若ba0，m0，试比较和的大小.【解1】 （比较法 作差变形判定符号）因为 【解2】 （综合法由因推果 由整式推出分式）abmambab+amab+bma(b+m)b(a+m)【说明】 因果关系，步步清楚，只是在第三步时，对ab的无中生有，不易想到.【解3】 （分析法由果索因 由分式化为整式）欲使 只须a(b+m)b(a+m)只须ambm只须a）【说明】 a放大为b，则缩小为，结果是分值缩小.将缩成，目标是“约”去m.【解5】 （放缩法 从左到右）（ a0，m0，求证【法1】 （等式法 不等式变为方程）设 得 即x0，故有 .【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式. 即作差法的另种形式.【法2】 （等式法未知数论设作因子）设 则 所以【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式.即作商法的另种形式.【法3】 （函数法视m为x，）设有函数 函数在0，m上是减函数，故是0，m上的增函数.（图右，其中a=1，b=2）f（0）0）是（0，+）上的减函数.【法4】 （不等式法 把证不等式化为解不等式）解不等式即 x=m为正数时，原不等式真.【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式.如证a2-a+10，即x2-x+10的解为R，视参数为变量. 解出的参数值域符合题设的取值范围即可.【法5】 （极限法把参数m作极端处理）&nbs,p;当m0时，当m时，故有 【说明】 对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数f (m)=的单调性并没讲清楚，没有交待f(m)是上的增函数.如果是确定性的选择题例1，即与的大小关系是确定的，不需要讨论m的范围时，则这种极限法是很简便的.【小结】 真分数的“放大性”：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大.以这种“放大性”为基础，可推出许多重要的分式不等式，如（1）|a+b|a|+|b|（2）数列an=是增数列；而数bn=是减数列.【练习】 1.正数中，再证.分别用函数法、方法程和解不等式法.2.用不同的方法证明.3.用不同的方法证明.三、千方百法 会战高考不等式【考题1】 （2006年赣卷第5题）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）【分析】 从已知条件（x-1）f (x)0出发，可得如下的不等式组或. 因此f(x)有两种可能：其一，f (x)为常数；其二，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数.【解答】 （综合法）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在1，上是增函数；当x0，函数f(x)=ax-bx2.（）当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明a；（）当b1时，证明：对任意x0,1，|f(x)|1的充要条件是b-1a；（）当00，b0，a.【解】 先证必要性：对任意x0,1，|f (x)|1-1f(x)，据此可以推出-1f (1)，即a-b-1，ab-1；对任意x0,1，|f (x)|1f (x)1，因为b1，可以推出1，即 a-11，a；b-1a.再证充分性：因为b1，ab-1，对任意x0,1，可以推出ax-bx2b(x-x2)-x-x-1.即 ax-bx21；因为b1，a，对任意x0,1，可以推出ax-bx21，即ax-bx21.-1f(x)1.综上，当b1时，对任意x0,1，|f(x)|1的充要条件是b-1a.【解】因为a0，00，0N时，对任意b0，都有【分析】 本题的第（）、（）、（）小题之间成梯式结构，（）是（）和（）的基础.从策略上看，如在（）上遇着困难，可承认（）的结论，并利用它迅速地解出（）和（）来.此题恰恰是第（）难，而（）、（）容易.对于（），已知为两个不等式，而求证一个不等式.其基本思路是，对已知不等式用综合法“下推”，对求证不等式用分析法“上追”. 如：欲使 只须 =此时，“综合下推”的方向就清楚了.【解】 当n2时，即，于是有，所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，【解】 又an0. 故有=0.【解】 （放大为了化简）令，则有，故取N=1024，可使当nN时，都有【说明】 本小题是条件不等式的证明，已知2个不等式，求证1个不等式.在分析综合放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么，需要的东西如何从已知的不等式中得到.【练习】 对考题3，已知条件不变，对设问作如下改写（）设，利用数学归纳法证不等式（）利用上述结果，证明不等式二函数最值的求解方法一、二次函数最值寻根初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的.设a0，f(x)=ax2+bx+c=初三学生已知，二次函数f(x)，在a0时，有最小值；a0，探索二次函数y=ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.【解答】任取x10 ) 有减区间和增区间.显然，二次函数的最值点为，函数有最小值.【评说】从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点.【练1】试研究一次函数没有最点，从而没有最值.【解】任取，则有（1）时，函数在R上为增函数.时，;时，.（2）时，函数在R上为减函数.时，;时，.所以，一次函数在R上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）.【说明】一次函数定义在R上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”.二、从到高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一次函数.精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即.函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题.导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点.问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了.【例2】设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）.试说明的正负性与单调性的对应关系.【解析】与相交于.（1）时，,递减；（2）时，,递增；（3）时，,得到最小值.故对应关系为：（1）负区与的减区对应；（2）正区与的增区对应；（3）零点与的最值对应.【练2】已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有（1）=（），增区间为（），减区间为（）；（2）的最（）值为（）；（3）若，求的解析式.【解答】从右图上看到（1）的根为，故有=1；（2）时，0，故的增区间为；时，0，函数递增；（2）时，0，函数递增.故在有极大值，在上有极小值.故，是的2个极点，前者为极大点，后者为极小点.又时，故函数既无最大值，也无最小值.从而无最点.【说明】这是三次函数有2个驻点，且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3）.【练3】研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.（1）（2）【解析】（1）,函数无驻点，无极点，无最点.是上的增函数.（2）,有2个重合的驻点.（1）当时，函数递增，（2）当时，函数也递增.因此，驻点不能分出两个“相异”的单调区间，故不是的极点，无极点，当然也无最点.是R上的增函数.【说明】函数相重合的两驻点不成为极点，可理解为它们消去了“中间”的一个“相异”的单调区间后，将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为一个单调区间.经过以上的讨论得知，定义在R上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。四、极点何时为最点不重合的2个驻点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？我们研究，极点何时成为最点.【例4】已知的导函数，试探究的极点和最点.【解析】.有3个相异的根：它们都是的极点.易知原函数（R）易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间.的4个单调区间依次成“减增减增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得在“两次探底”中得到最（小）点.比较三个极值的大小：得的最小值为，对应两个最小点和1.【说明】定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点：x1x2xn.当n为奇数时，有最点存在.最点在依次为奇数的极点中产生，通过奇数位上的极值比大小可得.当n为偶数时，函数无最点.【练4】求函数的最值.【解析】函数是定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时，函数递增,时，函数递减,故有最大值.【说明】本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.五、最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：（1）若导函数无根，即，则无最值；（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.【例5】在以下四个函数中，有最值存在的函数是A.B.C.D.【解析】对于A，定义区间虽有两个，但都有，无最值；对于B，函数有重合的两驻点，无最值；对于C，无最值；对于D，.当时，令，得，有最值=1.本题答案为D.【练5】判断以下函数，是否有最值，如果有，求出最值.（1）（2）【解析】（1），无最值.（2）.当时，由，得.有最值，.当时，是增函数.当时，是减, 函数.故是的最大值.六、最根与高考题导数应用于高考，一般都在研究函数的单调性和函数最值问题，对可导函数来讲，这两个问题互相捆绑着，于是导数问题的“根本”则变成“最根”问题.【例6】已知可导函数在R上恒有，且不为常数，试研究的单调区间和函数最值.【解析】由可知时，函数为减函数;时，函数为增函数;由此可知，是的唯一的根，故为最根.故有减区间，增区间，有最大值.【说明】本题是在研究“抽象函数”无具体解析式的一类函数的性质，只在满足性质条件下，通过“最根”的判定而确定了的单调区间和最值.有些不等式的证明，还可以通过构造函数，研究这个函数的“最值”而确认不等式是否成立.【练6】已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）设，证明：.【解析】（1），故有唯一的最根，故的最大值为.（2），.设，则.当时，因此在内为减函数.当时，因此在上为增函数.从而，当时，有最小值，因为，所以，即.【说明】问题（2）的解决，是用“最根”证明不等式.七、余兴荒唐错误打从何来学生小新读完上文，很感兴趣，他模仿着【练4】的题型，只是变了几个系数，结果成了下面的问题.【例7】研究函数有无最值.【小新解答】.令，得的唯一驻点为“最点”.因此有最值.【讨论】是最值吗？若为最大值，我们可以找到比它更大的；如果是最小值，我们可以找到比它更小的.解答错了！错在哪里？作为思考题留给读者.【提示】本函数的定义域不是“一个”开区间.三二项式的展开1、二项式(a+b)n展开追根n= 1根据乘法法则，分别有：（1）(a+b)1=a+b（2）(a+b)2=a2+2ab+b2（3）(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（4）(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开后，（2）的系数是（1）的系数“错位相加”，（3）的系数是（2）的系数“错位相加”，（4）的系数是（3）的系数“错位相加”，（n）的系数是（n1）的系数“错位相加”. 草式如下.由此看到(a+b)n展开式的系数是由(a+b)1的系数“1+1”错位相加、累计(n-1)次的结果.【例2】设 (a+b)6=A0a6+A1a5b+A2a4b2+ +A6b6(a+b)7=B0a7+B1a6b+B2a5b2+ +B7b7试用Ai(i= 0，1，6)的代数式表示Bj(j=0，1，2，7)【解析】(a+b)7= (a+b)6(a+b)= (A0a6+A1a5b+ +A5ab5+A6b6) (a+b)=A0a7+ (A0+A1)a6b+ (A1+A2)a5b2+ + (A5+A6)a b6+A6b7于是有B0=A0；B1=A0+A1；B2=A1+A2；B3=A2+A3；B4=A13+A4；B5=A4+A5；B6=A5+A6；B7=A6.【说明】 由（6）到（7）的系数“错位相加”草式如下.这是一个有趣的规律，它说明：二项式展开式的每个系数也是“二项式”，即展开式的每个系数都是一个二项式的和.一般地：Br+1=Ar+Ar+1(r= 0，1，n- 1)特别地：B0= 0 +A0=A0，Bn=An-1+ 0 =An-12、二项式含二项式看杨辉三角收藏上面的“错位加法”有意思，二项式中的二项式更有意思，如果把草式简化，只把各行的“加法结果”依次开列出来，就得到我们熟悉的杨辉三角形（图右）.这个三角形可命名为“1+1三角形”.因为：（1）这个三角形是从1+1开始的；（2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和.这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和.这个三角形还可命名为“二项式中的二项式三角形中”，因为这个三角形中的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和. 如三角形中第5行的第3数10，就等于它的肩上两数第4行第2、3两数的和：10=4+6.二项式中的二项式“肩挑两数”中两数是唯一的吗？【例3】在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上2数的和，可以是：A.10=4+6B.10=3+7C.10=2+8D.10=5+5【解答】杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，因为加法的结果有唯一性. 所以，第5行第3个数10，肩挑两数的结果4+6是唯一的. 答案为A.【说明】这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”.因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即10=4+3+2+1“单肩串数”实为“肩挑两数”性质推论. “单肩串数”实为“肩挑两数”递推的结果，例如数10，如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.10=6+4=6+（3+1）=6+3+（1+0）=6+3+1+0“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；从而是“错位加法”的累计结果（图右）.3、子集组合得展开式系数为了弄清二项式 (a+b)n= (a+b) (a+b)(a+b)=A0an+A1an-1b+An-1abn-1+Anbn展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.(a+b)2= (a+b) (a+b)我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有(a+b)2= (a+b1) (a+b2)=a2+ (b1+b2)a+b1b2=a2+2ab+b2由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1+b2，这是从集合b1，b2中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为=2.常数项b1b2，是从集合b1，b2每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合b1，b2每次取出0个元素所对应的组合.组合数为=1.这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a+b)2=a2+ab+b2有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.【例4】试探索用组合数表示二项式(a+b)n=(a+b) (a+b)(a+b) =A0an+A1an-1b+An-1abn-1+Anbn展开式中各系数A0，A1，An-1，An.【解答】对于an，它是从集合b1，b2，bn中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0=.对于an-1b，它是从集合b1，b2，bn中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=.对于abn-1，它是从集合b1，b2，bn中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为.对于bn，它是从集合b1，b2，bn中，每次取出n个元素的组合，组合数为.于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式(a+b)n=an+an-1b+abn-1+bn这就是所谓的“二项式定理”.【说明】二项式展开后各项的系数依次为：，.其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.4、加法定理来自二项式性质将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的加法式.如这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑两数”的结果为组合的加法定理：有了组合的加法定理，二项式(a+b)n展开式的证明就变得非常简便了.【例5】试用数学归纳法证明二项式定理(a+b)n=an+an-1b+abn-1+bn【证明】（1）当n=1时，a+b=a+b=a+b命题真.（2）假设n=k时命题真，即(a+b)k=ak+ak-1b+abk-1+bk两边同乘以(a+b)，由“错位加法”可得(a+b)k+1=ak+1+()akb+()ak-1b2+()abk+bk+1=ak+1+akb+abk+bk+1综合（1），（2）可知，对任意的nN+，二项式(a+b)n展开式成立.5、n始于1r始于0二项式定理将(a+b)的乘方式展开成一个数列的和：(a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn=an-rbr展开式中的r从0取到n，故展开式共有n+1项，其中关于r的通项an-rbr不是它的第r项，而是第r+1项. 故二项式展开式的通项公式为Tr+1=an-rbr初学者经常误成Tr=an-rbr在通项公式中弄清了“n与r的关系”后，以下考题可以做到“一挥而就”.【例6】已知，求展开式中x9的系数.【分析】x9的系数与x9的二项式系数虽然不是一回事，但仍可用通项公式an-rbr求出对应的r来.【解答】设展开式的第r+1项能化简得到x9项.则有Tr+1=(x2)9-r=令18-3r= 9得r=3故x9的系数为【说明】数学解题，切忌拘泥公式. 如本题中求r的值，不一定要硬套通项公式. 事实上，展开式按x的降幂排列：第1项的指数是18，第2项的指数是15，依次递减，指数为9的项是第4项，故有r= 3.由此直接得x9的系数为. 这样的计算量大为减少.6、数形趣遇算式到算图二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.【例7】（2007全国甲卷理13文16）的展开式中常数项为.【式算】先考虑展开后的常数项Tr+1=x8 r=（1）令8 2r= 0，得r= 4，得= 70；（2）令8 2r= 2，得r= 5，得= 56.故求得的展开式中常数项为70 256 = 42【图算】常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：146411510105115201561 35 35217056图上得到=70，=56.故求得展开式中常数项为70 256 = 42【点评】“式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：1，6，15，20，15，6，1那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.四函数周期性的求解1、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数y= sinx为代表，是典型的周期函数.幂函数y=x 无周期性，指数函数y=ax无周期性，对数函数y=logax无周期，一次函数y=kx+b、二次函数y=ax2+bx+c、三次函数y=ax3+bx2+cx+d无周期性.周期性是三角函数独有的特性.（1）正弦函数y=sinx的最小正周期在单位圆中，设任意角的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2.（2）y=sin（x）的最小正周期设0，y=sin（x）的最小正周期设为L.按定义y= sin （x+L） = sin（x+ L） = sinx.令x=x则有 sin （x+ L） = sinx因为sinx最小正周期是2，所以有例如 sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为（3）正弦函数y=sin（x+）的周期性对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y= sin （x+）.它的最小正周期与y= sinx的最小正周期相同，都是.如的最小周期与y= sin（3x）相同，都是.于是，余弦函数的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2.2、复合函数的周期性将正弦函数y= sinx进行周期变换xx，sinxsinx后者周期变为而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sinx sin（ x+）；（2）振幅变换sin（x+）Asin（ x+）；（3）纵移变换Asin（ x+） Asin（ x+）+m；后者周期都不变，亦即Asin（ x+） +m与sin（x）的周期相同，都是.而对复合函数f（sinx）的周期性，由具体问题确定.（1）复合函数f（sinx）的周期性【例题】研究以下函数的周期性：（1）2 sinx；（2）（2）的定义域为2k，2k+，值域为0，1，作图可知， 它是最小正周期为2的周期函数.【解答】（1）2sinx的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，logax，sinx，sin（sinx）都是最小正周期2的周期函数.（2）y= sin3x的周期性对于y= sin3x=(sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y= sin3x没有比2更小的周期，故最小正周期为2.（3）y= sin2x的周期性对于y= sin2x= (sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2？可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y= sin2x的最小正周期为，不是2.（4）sin2nx和sin2n-1x的周期性y= sin2x的最小正周期为，还可通过另外一种复合方式得到.因为 cos2x的周期是，故 sin2x的周期也是.sin2x的周期，由cosx的2变为sin2x的. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinmx，当m=2n时，sinmx的最小正周期为；m= 2n1时，sinmx的最小正周期是2.（5）幂复合函数举例【例1】求y=|sinx|的最小正周期.【解答】最小正周期为.【例2】求的最小正周期.【解答】最小正周期为2.【例3】求的最小正周期.【解答】最小正周期为.【说明】正弦函数sinx的幂复合函数.当q为奇数时，周期为2；q为偶数时，周期为.3、周期函数的和函数两个周期函数，如 sinx和 cosx，它们最小正周期相同，都是 2. 那么它们的和函数，即 sinx+ cosx的最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？（1）函数 sinx+ sin2x的周期性sinx的最小正周期为2，sin2x的最小正周期是，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？列表如下.表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2.（2）函数 sinx+ sin2x的周期性依据上表，作sinx+sin2x的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.（3）函数sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期为2，sinx的最小正周期是3.们之间的和sinx+ sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3吗？不妨按周期定义进行检验. 设则x0+3=因此3不是sinx+ sinx的最小正周期.通过作图、直观看到，sinx+sinx的最小正周期为6，即sinx和sinx最小正周期的最小倍数.4、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性.关系到正弦函数的试题，有2种形式.（1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.（1）求正弦函数的周期【例1】函数y=|sin |的最小正周期为（A） （B）（C）2（D）4【解答】最小正周期是 最小正周期的一半，即2. 答案为（C）【说明】图象法判定最简便，|sinx|的图象是将sinx的图象在x轴下方部分折到x轴上方去.倍角法定判定最麻烦【解答】（1）y= 2cos2x+ 1的最小正周期由cos2x决定（2）求正弦函数的周期【例2】（1）y=2cos2x+1的最小正周期为.（2）y=|sinx+ cosx|的最小正周期为.【解答】（1）y= 2cos2x+ 1的最小正周期由cos2x决定，故答案为.（2） 故答案为.【说明】都可看作sinx的幂函数的复合函数.（3）函数周期性应用于求值【例题】f(x)是R上的偶函数，且是最小正周期为的周期函数.【解答】【说明】周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若时f(x) = sinx试求的值.（4）函数周期性应用于求单调区间【例题】xR，求函数y=sin2x+ sinxcosx+2cos2x的单调增区间.【解答】函数的最小正周期为.令 得因为函数周期为，故函数的单调增区间为 .【说明】先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中（5）周期性应用于求函数零点【例题】已知函数 .【解答】令得故交点横坐标的值的集合为 .【说明】先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.5、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料.后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数 ，其中k0.（1）写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期;（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.【解答】（1）M=1，m= -1， .（2）f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f(x)的周期1即：k=32就是这样的最小正整数.6、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高.2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5. 答案D从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】f(x)周期为3，由f(2)=0，得f(5) =f(2)=0，得f(-1)=f(2-3) =f(2)=0，得f(-4) =f(2-6) =f(2)=0f(x)为奇函数，得f(1) = -f(-1) =0f(4)= -f(-4)=0，得f(-0)= -f(0)，得f(0)=0f(3)=f(3+0)=f(0)=0于是，求得f(x)=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.【讨论】除了上述解法得f(x)=0的5个解外，还有如下的解.根据方程f(x)=0的定义，x= 1.5 和x=4.5 也是方程的解，证明如下：由f(x)的周期性，知f(-1.5)=f(1.5)（1）由f(x)的奇偶性，知f(-1.5) = -f(1.5)（2）从而有f(1.5)=0，f(4.5) =f(1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程f(x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【思考】按上面讨论的结果，方程f(x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的.高考史上的周期大错题【实验检验】f(x)同时满足4个条件：（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f(2) =0. 据此，我们找到f(x)的一个具体例子：并在区间（0，6）上找到f(x)=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数 在一个周期0，3上的图像如右. 图像与x轴有5个交点，故在0，6有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.加一篇处世哲学，祝您更好融入社会：第一卷 交际处世 为人处世十诀1、保留意见：过分争执无益自己且又有失涵养。通常，应不急于表明自己的态度或发表意见，让人们捉摸不定。谨慎的沉默就是精明的回避。2、认识自己：促进自己最突出的天赋，并培养其它方面。只要了解自己的优势，并把握住它，则所有的人都会在某事显赫。3、决不夸张：夸张有损真实，并容易使人对你的看法产生怀疑。精明者克制自己，表现出小心谨慎的态度，说话简明扼要，决不夸张抬高自己。过高地估价自己是说谎的一种形式。它能损坏你的声誉，对你的人际关系产生十分不好影响环境。有损你的和风雅和才智。4、适应环境：适者生存，不要花太多精力在杂事上，要维护好同事间的关系。不要每天炫耀自己，否则别人将会对你感到乏味。必须使人们总是感到某些新奇。每天展示一点的人会使人保持期望，不会埋没你的天资。5、取长补短：学习别人的长处，弥