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第四章三角形 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 记为 ABC 三角形有三条边 三个内角和三个顶点 三角形 可以用符号 表示 三角形有关性质 1 三角形任意两边之和大于第三边 2 三角形任意两边之差小于第三边 3 三角形三个内角的和等于180度 4 直角三角形的两个锐角互余 5 三角形的三条角平分线交于一点 三条中线交于一点 6 三角形的三条高所在的直线交于一点 7 全等图形的形状和大小都相同 两三角形完全重合 8 全等三角形的对应边相等 对应角相等 三角形 三角形的边 三角形的角 三角形的线段 三角形的全等 全等性质 全等条件 SSS SAS ASA AAS HL 三角形全等的条件 1 两个能够重合的三角形称为全等三角形 SSSSASASAAASHL SSSSAS 两边夹角 ASA 两角夹边 AAS 2 两个三角形全等的条件 3 两个直角三角形全等的条件 三角形三边关系 1 三角形两条边分别是2cm 7cm 则第三边c的范围为 2 等腰三角形的一边长为6cm 另一边长为12cm 则其周长 A 24cmB 30cmC 24cM或30cmD 18cm 3 用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形 能摆成不同的三角形的个数为 5 c 9 B 2 3 3 1 2 2 3 x 3x 5x 三角形的内角和为180度 1 如图 求 ABC各内角的度数 2 已知三角形三个内角的度数比为1 3 5 求这三个内角的度数 解 3x 2x x 1806x 180X 30 三角形各内角的度数分别为 30 60 90 解 设三个内角分别为x 3x 5x则x 3x 5x 180 x 20 三角形三个内角分别为 20 60 100 2x 3x x 1 符合条件 A B 62 的三角形是 A 4 B 5 C 9 D 14 C 3 如图 在 ABC中 A 70 B 60 点D在BC的延长线上 则 ACD 度 130 2 在下列长度的四根木棒中 能与4 9 两根木棒围成三角形的是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定 C 题型考查 题型考查 ACB 40 当轮船距离灯塔C最近时 ACB 60 1 在 ABC中 已知 A 30 B 70 则 C的度数是 2 在Rt ABC中 一个锐角为30 则另一个锐角为度 3 按三角形内角的大小可以把三角形分为 三角形 三角形 三角形 4 已知一个三角形的三条边长为2 7 x 则x的取值范围是 5 等腰三角形一边的长是4 另一边的长是8 则它的周长是 学习考查 6 已知三角形的两边长分别是2cm和5cm 第三边长是奇数 则第三边的长是 7 如图 CD是Rt ABC斜边上的高 与 A相等的角是 理由是 8 如图 AD是 ABC的中线 ABC的面积为100cm2 则 ABD的面积是cm2 10 如图 在 ABC中 CE BF是两条高 若 A 70 BCE 30 则 EBF的度数是 FBC的度数是 11 如图 在 ABC中 两条角平分线BD和CE相交于点O 若 BOC 116 那么 A的度数是 11 若三角形的三个内角的度数之比为1 2 6 则这三个内角的度数分别是 1 下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是 A 5 12 13B 5 7 7C 5 7 12D 101 102 1032 三角形中至少有一个角大于或等于 A 45 B 55 C 60 D 65 3 如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍 那么这个直角三角形中一个锐角的度数是 A 9 B 18 C 27 D 36 学习考查 4 下列说法正确的是 A两个周长相等的长方形全等B两个周长相等的三角形全等C两个面积相等的长方形全等D两个周长相等的圆全等5 判定两个三角形全等 给出如下四组条件 两边和一角对应相等 两角和一边对应相等 两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等 三个角对应相等 其中能判定这两个三角形全等的条件是 A 和 B 和 C 和 D 和 1 如图AB CD AC BD 则 ABC DCB吗 说明理由 解 ABC DCB 三角形的全等 1 已知 如图 ABC DCB AB DC 求证 1 AC BD 2 S AOB S DOC 变式训练 2 如图 已知 ABC DCB 要使 ABC DCB 只需添加一个条件是 只需添加一个你认为适合的条件 AB DC A D 1 2 1 2 隐含条件 BC CB SAS AAS ASA 已知 B DEF BC EF 现要证明 ABC DEF 若要以 SAS 为依据 还缺条件 若要以 ASA 为依据 还缺条件 若要以 AAS 为依据 还缺条件 并说明理由 AB DE ACB F A D 已知条件 B DEF BC EF 在 ABC与 ADC中 1 2 已知 B D 已知 AC AC 公共边 ABC ADC AAS 4 如图 已知AB AC BD CE 求证 ABE ACD 在 ABE与 ACD中 AB AC 已知 AD AE 已证 A A 公共角 ABE ACD SAS 证明 AB AC BD CE 已知 AD AE 等式性质 5 如图 AB CD交于点E 且AE DE EC EB 试说明 BD AC 解 在 AEC与 DEB中 AE DE 已知 EC EB已知 BED CEA 对顶角相等 AEC DEB SAS BD AC 全等三角形的对应边相等 补充练习 D C B A 1 在 ABC中 AB AC AD是边BC上的中线 证明 BAD CAD 证明 AD是BC边上的中线 BD CD 三角形中线的定义 在 ABD和 ACD中 ABD ACD SSS BAD CAB 全等三角形对应角相等 解 ABC和 ADE全等 1 2 已知 1 DAC 2 DAC即 BAC DAE在 ABC和 ADC中 A B C D E 1 2 2 如图 已知 C E 1 2 AB AD ABC和 ADE全等吗 为什么 ABC ADE AAS B C D E A 3 如图 已知AB AC B C ABD与 ACE全等吗 为什么 ABD ACE ASA B C D E A 如图 已知AB AC AD AE B与 C是否相等 解 在 ABD和 ACE中 ABD ACE SAS B C 全等三角形对应角相等 如图线段AB是一个池塘的长 现在想测量这个池塘的长度 在水上测量不方便 你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗 想想看 现在时间你做主 B A 小莉的设计方案 先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C 连结AC并延长至D点 使AC DC 连结BC并延长至E点 使BC EC 连结CD 用米尺测出DE的长 这个长度就等于A B两点的距离 请你说明理由 AC DC ACB DCEBC EC ACB DCE SAS AB DE E C B A D 解 B C D E A 如图 已知AB AC AD AE 求证 B C 证明 在 ABD和 ACE中 ABD ACE SAS B C 全等三角形对应角相等 AC FD吗 为什么 如图 B E AB EF BD EC 那么 ABC与 FED全等吗 为什么 F E D C B A 4 3 2 1 思考练习 1 如图 已知AC BD AD BC 则 ABC和 BAD全等吗 说明理由 2 如图 已知O是AB的中点 A B 则 AOC和 BOD全等吗 为什么 3 如图 1 2 C D 那么AC AD吗 4 如图 已知AC AD AB平分 CAD 试说明 ABC ABD 中考点睛 1 如图 线段AC与BD交于点O 且OA OC 请添加一个条件 使 AOB COD 这个条件是 答案 OD OB 或 C A 或DC AB 注 答案不唯一 2 如图 E是