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直线与平面平行的证明 广东汕头华侨中学张应楷 温故知新 直线与平面平行的判定定理 C B A E D 平面内最常见的几何图形是三角形和四边形 其中涉及到两条直线平行的定理主要有 平行线分线段成比例定理及其逆定理 中位线定理 平行四边形 一组对边平行且相等 两组对边平行 例题1 1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC与CD的中点 求证 EF 平面BDD1B1 EF 平面BDD1B1 思路 EF BD 三角形BCD的中位线 例题1 2 正方体中 E为的中点 证明 平面AEC 证明 连接BD交AC于点O 连接OE 练习1 如图 在三棱锥P ABC中 ABC为正三角形 D E F分别是BC PB CA的中点 试判断AE是否平行平面PFD 并说明理由 G AE 平面BDD1B1 AE FG 三角形AEC中位线 思路 小结1 在平面内寻找一条直线与已知直线平行是破题的关键 我们可以尝试寻找与已知直线在同一个三角形内的可能 如果已知有中点 可以优先考虑三角形的中位线定理 直线与平面平行的证明 例题2 四棱锥P ABCD中 点E F分别为棱BC PD的中点 求证 EF 平面PAB F A E B C P 在平面PAB中 更容易找到与EF构成平行四边形的直线BG EF 平面PAB EF BG 四边形BEFG是平行四边形 思路 GF BE GF BE D GF AD GF AD BE AD BE AD 练习2 如图 P是平行四边形ABCD所在平面外一点 E F分别为AB PD的中点 求证 AF 平面PEC 证明 设PC的中点为G 连接EG FG 则GF CD 且GF CD AB CD AB CD E为AB的中点 GF AE GF AE 四边形AEGF为平行四边形 EG AF 又 AF 平面PEC EG 平面PEC AF 平面PEC 小结2 平行四边形也是得到两直线平行的常见图形 证明线面平行的时候也尝试在平面内寻找能与已知直线构成平行四边形的直线 在证明平行四边形的时候 经常使用的是 一组对边平行且相等 这一判定定理 直线与平面平行的证明 练习3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC与C1D1的中点 求证 EF 平面BDD1B1 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别是棱CC1 C1D1 D1D CD的中点 N是BC的中点 点M在四边形EFGH的边界及其内部运动 是否存在M 使得MN 平面B1BDD1 不必考虑所有可能情况 只要写出一个即可 并说明理由 N 互动探究 M N N N M M M 课堂总结 步骤 在 找 直线这一关键环节中 可以通过构造三角形或者平行四边
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