西北工业大学计算方法作业集答案及试题.pdf

参考答案参考答案 第一章第一章 1 1 7 1 73 1 732 1 x 2 x 3 x 2 i i x i x ir x 有效数字 的位数 1 1 x 0 10 2 1 3 101397 0 或 0 1666 10 3 四位 2 2 x 5 10 2 1 2 101051 0 或 0 125 10 2 三位 3 3 x 1 10 2 1 3 103497 0 或 0 5 10 3 四位 4 4 x 2 10 2 1 3 101691 0 或 0 25 10 3 四位 5 5 x 5 10 2 1 6 108548 0 或 0 1 10 6 六位 3 1 3 2 1 xxxer0 00050 2 3 2 1 xxxer0 50517 3 4 2 xxer0 50002 4 设6有位有效数字 由n6 2 4494 知6的第一位有效数字 2 1 a 令 3 1 1 1 10 2 1 10 22 1 10 2 1 nn r a x 可求得满足上述不等式的最小正整数 4 即至少取四位有效数字 故满足精度要求可取n6 2 449 5 答 1 x 的相对误差约是的相对误差的 1 2 倍 0 x x 2 的相对误差约是的相对误差的倍 n x xn 6 根据 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cba cecba cba beca cba aecb Ser tgc ce b be a ae 注意当 2 0 c 1 1 ctgc 则有 cebeaeSe rrrr 7 设2 0 y 41 1 0 y 2 00 10 2 1 yy 由 1 00 1 11 1010 yyyy 1 2 11 1 22 1010 yyyy M 10 99 1 1010 1010 yyyy 即当有初始误差 0 y 时 的绝对误差的绝对值将减小10倍 而10 故计算过程稳定 10 y 10 1 10 8 变形后的表达式为 1 1ln 2 xx 1ln 2 xx 2 arctgxxarctg 1 1 1 1 xx arctg 3 1ln 1ln 1 ln 1 NNNNdxx N N LL 32 4 1 3 1 2 1 1ln NNN N 1ln 1 1ln 1 NN N N 1 1ln 1 1ln N N N 4 x x sin cos1 x x cos1 sin 2 x tg 第二章第二章 1 绝对误差限 31 2 1 10 对分 8 次 n 隔根区间 n x n xf的符号 1 1 5 2 5 2 0 2 2 0 2 5 2 25 3 2 25 2 5 2 375 4 2 25 2 375 2 3125 5 2 25 2 3125 2 28125 6 2 28125 2 3125 2 296875 7 2 296875 2 3125 2 3046875 8 2 296875 2 3046875 2 30078125 满足精度要求的根近似值为 2 30 2 1 隔根区间 0 0 8 2 等价变形 2ln xx 迭代公式 L 2 1 2ln 1 nxx nn 3 收敛性论证 用收敛性定理论证 4 迭代计算 n n x 1 nn xx 0 0 4 1 0 4700 2 0 4253 3 0 4541 4 0 4356 5 0 4475 6 0 4399 7 0 4448 8 0 4416 9 0 4436 10 0 4423 11 0 4432 满足要求的近似根为 0 443 3 1 2 72 10 x x2 7 lg xx 3 3 1 xx 2 4 牛顿迭代公式为 143 2 xxxfLL 1 n n nn xf xf xx 列表计算 n n x 1 nn xx 0 0 4 1 0 47013 0 07 2 0 46559 0 005 3 0 46557 0 00002 根的近似值为 0 4656 第三章 第三章 1 x1 2 x2 1 x3 1 2 2 3 1 3 2 1 3 2 3 1 0 3 1 3 1 0 1 A 3 L U 153 012 001 2400 410 321 y1 14 y2 10 y3 72 x1 1 x2 2 x3 3 4 x1 4 00 x2 3 00 x3 2 00 5 B 的特征值为 0 0 0 B 01 6 x 5 0 4999 1 0004 0 4997 T 7 a 2 第四章第四章 1 k u u u u k A 1 k 11 1 1 k kk u u 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 T 4 2 4 T 14 8 14 T 50 28 50 T 178 100 178 T 634 356 634 T 2258 1268 2258 T 4 0000 3 5000 3 5714 3 5600 3 5618 3 5615 3 5615 5615 3 7 1 相应近似特征向量为 c 2258 1268 2258 T 0 c 第五章第五章 1 取 100 121 用线性插值时 0 x 1 x115 10 7143 取 100 121 144 用二次插值时 0 x 1 x 2 x115 10 7228 2 选取插值节点为 1 4 1 5 1 6 1 9447 0 x 1 x 2 x 54 1 f 3 3 利用 p j jn j p x xf xxxf 0 1 10 L 并注意 当np 时 对 故有 pj 1 0L 0 j xfnpxxxf p 0 10 L 而时 故有 1 np 11 nn xxf 11 10 npxxxf p L 4 3 xL 3 xN 926913 5 1 23 xxx 5 1 用反插值法得根的近似值 0 3376 2 用牛顿迭代法得根的近似值 0 337667 6 令 3 11 3 10 3 max 11 kkk xxx xxxxxx f kk 可求得 0 2498 或 0 2289 hh 7 1 5982 23 3 xxxxH 22 4 3 2 1 4 1 xxfxR 2 1 2 H 61592 23 3 xxxx 3 2 1 4 1 2 4 3 xxxfxR 3 1 第六章 第六章 1 正规方程组为 493 330 2 1 x x 29 73 3888 2 1 x4456 0 2 x 2 正规方程组为 72776995327 53275 b a 5 369321 4 271 b 9726 0 a0500 0 2 0500 09726 0 xy 3 取对数 atII 0 lnln 相应的正规方程组为 03 25 3 5 37 a I0ln 1858 0 9890 1 72825 1ln 0 I8882 2 a 6308 5 0 I t eI 8882 2 6308 5 4 正规方程组为 6092 31781 3 1781 34 b a 9607 12 4 14 4864 2 a 4016 1 bxyln4016 14864 2 第七章第七章 1 解 运用梯形公式 8591409 1 2 1 10 1 0 eedxe x 误差 2265235 0 12 1 01 12 1 3 eefR 运用辛浦生公式 7188612 1 4 6 1 1 2 1 0 1 0 eeedxe x 误差 00094385 0 2880 1 2880 1 eefR 2 解 1 左矩形公式 将 f x 在 a 处展开 得 xaaxfafxf 4 两边在 a b 上积分 得 b a b a b a b a dxaxfafabdxaxfdxafdxxf 由于 x a 在 a b 上不变号 故有 ba 使 b a b a dxaxfafabdxxf 从而有 2 1 2 baabfafabdxxf b a 2 右矩形公式 将 f x 在 b 处展开 并积分 得 2 1 2 baabfbfabdxxf b a 3 中矩形公式 将 f x 在 2 ba 处展开 得 2 2 1 2 2 2 2 ba ba xf ba x ba f ba fxf 两边在 a b 上积分 得 24 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 32 2 baabf ba fabdx ba xf ba fab dx ba xfdx ba x ba f ba fabdxxf b a b a b a b a 3 解 1 求积公式中含有三个待定参数 A 1 A0 A1 故令求积公式对 f x 1 x x2准确成立 即 3 2 0 2 3 11 2 11 101 h AAh AAh hAAA 解得 A 1 A1 h 3 A0 4h 3 显然所求的求积公式 事实上为辛浦生公式 至少具有两次代数精确度 又有 444 333 3 3 3 3 h h h h dxx h h h h dxx h h h h 故 h h hf h f h hf h dxxf 3 0 3 4 3 具有三次代数精确度 2 求积公式中含有两个待定参数 x1 x2 当 f x 1 时 有 3 2 1 3 1 21 1 1 xfxffdxxf 故令求积公式对 x x2准确成立 即 132 132 2 2 2 1 21 xx xx 解得 28990 0 68990 0 52660 0 12660 0 12 xx 显然 3 2 1 3 1 321 3 1 21 1 1 3 2 3 1 1 1 3 xfxffdxxf xxdxx 故 当求积节点取 x1 0 68990 x2 0 12660 或 x1 0 28990 x2 0 52660 时 求积公式具有两次代数精确度 5 3 求积公式中含有一个待定参数 当 f x 1 x 时 有 11 0 2 0 11 2 2 0 0 hh h xdx h dx h h 故令求积公式对 f x x2成立 即 202 0 2 22 0 2 hhh h dxx h 得 1 12 显然 40 12 0 2 30 12 0 2 3 2 4 0 4 2 2 3 0 3 h h h h dxx h h h h dxx h h 故 0 12 0 2 2 0 hff h hff h dxxf h 具有三次代数精确度 4 解 函数值表格 x 1 7 6 8 6 9 6 10 6 11 6 2 f x 0 0 15415 0 28768 0 40547 0 51083 0 60614 0 69315 T6 1 2 1 6 0 2 0 15415 0 28768 0 40547 0 51083 0 60614 0 69315 0 38514 S3 1 6 1 3 0 4 0 15415 0 40547 0 60614 2 0 28768 0 51083 0 69315 0 38629 5 解 6 6 ln 21 2880 1 2880 4 4 4 4 4 4 4 f x xfxxf f N fh ab fRN Q 令 4 10 2 1 fRN 得 N 2 54 取 N 3 则至少要取 2N 1 7 个节点处的函数值 6 解 按照事后误差估计公式 nnnnnn n k k n nnnnn TTSSSSI xf h TTTTTI 3 1 3 4 15 1 22 1 3 1 222 1 0 2 1222 和 计算列表如下 k 等分 2k k T 2 1 22 3 1 kk TT 1 2 k S 21 22 15 1 kk SS 0 1 2 3 1 2 4 8 0 92073549 0 93979328 0 94451352 0 94569086 0 00157341 0 00039245 10 3 0 94614588 0 94608693 0 94608331 0 00000393 10 5 0 00000024 因此 由梯形公式得 I T8 0 94569086 精确到 10 3 由辛浦生公式得到 I S2 0 94608693 精确到 10 5 若取 I S4 0 94608331 则精确到 10 6 精确到 10 3的结果为 I 0 946 6 7 解 采用极坐标系 令 x 2cos y sin 则椭圆的周长为 Iddyxl4sin3144 2 0 2 2 0 22 由于 2 2sin31 2 2 0 2 d 因此 I 有一个整数 故要求结果有四位有效数字 需截断误 差 1 2 10 3 列表计算如下 k 等分 2k k T2 1 2 k S 2 2 k C 3 2 k R 0 1 2 3 4 1 2 4 8 16 2 356194 2 419921 2 422103 2 422112 2 422112 2 441163 2 422830 2 422115 2 422112 2 421608 2 422067 2 422112 2 422074 2 422113 故取 I 2 422113 周长为 l 4I 9 688 8 1 取 h 0 1 三点公式取 得 1 2 0 2 9 1x 210 xx 5932 29 1 2 0 2 2 9 1 1 0 1 0 2 2288 22 9 1 1 2 1 02 1 0 2 2 ffff fff 2 取 h 0 2 三点公式取 得 2 2 0 2 8 1x 210 xx 7043 29 2 2 0 2 2 8 1 2 0 1 0 2 4142 22 8 1 2 2 2 02 1 0 2 2 ffff fff 注 精确解为 556224 29 0 2 167168 22 0 2 ff 第八章第八章 1 计算结果为 n x n y nn yxy 1 0 000000000 0 2 10196258516 0 2 0 000000011 0 1 10469692102 0 3 0 000900033 0 1 10793817152 0 2 计算结果如下 n x 梯形法 n y nn xyy 欧拉预 校法 n y nn xyy 0 1 818181618 1 3 10878934548 000000620 1 2 10692924126 0 2 488421269 1 3 10898558403 000400272 1 2 10396995207 0 3 490708947 0 2 10620314110 000368951 0 2 10391636255 3 计算结果如下 7 n x 8 32 的 n y nn xyy 8 34 的 n y nn xyy 0 1 710 0 3 10928163325 000675709 0 6 10081928163 0 2 050438 0 3 10844493588 803461437 0 6 10536656296 0 3 250435182 0 3 10637808798 844636181 0 6 10920638402 4 计算结果如下 n x 四阶 R K 解 n y 8 37 的 n y nn xyy 0 1 500837004 1 7 10404640819 0 2 901730018 1 6 10268328148 0 3 422878040 1 6 10460319201 0 4 099323070 1 5 10597293305 0 5 643535106 1 5 10648343498 6 对在 处进行 Lagrange 插值 得插值多项式 然后在区间 上积分 即可得到所要结果 xyxf 2 n x 1 n x n x 2 xP 21 nn xx 7 2 1 4 7 0 4 1 1 24 9 43 hOxyhR nhn 8 计算方法计算方法 2006 2007 学年第一学期试题学年第一学期试题 1 填空 1 近似数关于真值有 位有效数字 253 1 x249 1 x 2 设有插值公式 则 1 1 1 k n k k xfAdxxf n k k A 1 3 设近似数 都是有效数 则相对误差0235 0 1 x5160 2 2 x 2 1 x x er 4 求方程xxcos 的根的牛顿迭代格式为 5 矛盾方程组与得最小二乘解是否相同 12 1 1 21 21 21 xx xx xx 12 1 222 21 21 21 xx xx xx 2 用迭代法 方法不限 求方程在区间 0 1 内根的近似值 要求先论证收敛性 误差小于10时迭代结束 1 x xe 2 3 用最小二乘法中的常数和 使该函数曲线拟合与下面四个点 x beaxy 2 ab 1 0 72 1 5 0 02 2 0 0 61 2 5 0 32 结果保留到小数点后第四位 4 用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组 7 17 3 5 3010 3421 1010 0201 4 3 2 1 x x x x 5 设要给出的如下函数表 xxfcos i x hx 0 0 x hx 0 i xf 0 xf 0 hxf 0 hxf 用二次插值多项式求得近似值 问步长不超过多少时 误差小于10 xf 3 6 设有微分方程初值问题 2 0 2 00 42 y xxyy 1 写出欧拉预估 校正法的计算格式 2 取步长h 0 1 用欧拉预估 校正法求该初值问题的数值解 计算结果保留 4 位小数 7 设有积分 1 01 x dx I 1 取11个等距节点 包括端点0和1 列出被积函数在这些节点上的函数值 小数点侯 保留4位 2 用复化Simpson公式求该积分的近似值 并由截断误差公式估计误差大小 小数点侯保 留4位 9 8 对方程组 3 1 4 122 111 221 3 2 1 x x x 1 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛 为什么 2 取初始向量 用雅可比迭代法求近似解 使 T 0 0 0 x 1 k x 3 2 1 10 3 1 ixx k i k i 9 设 f x 在区间 a b 上有二阶连续导数 且 f a f b 0 试证明 8 1 maxmax 2 xfabxf bxabxa 参考答案 参考答案 1 1 3 2 2 3 0 002525 或 0 0021475 4 2 1 0 sin1 cossin sin1 cos 1 k x xxx x xx xx k kkk k kk kk 5 否 2 方程的等价形式为 迭代格式为 x ex k x k ex 1 收敛性证明 当时 1 0 x1 1 0 0 ee e x 1 0 eex x 所以依据全局性收敛定理 可知迭代格式收敛 取迭代初值为 迭代结果如下 5 0 0 x n n x 1 nn xx 0 0 5 1 0 60653 0 01065 2 0 54524 0 06129 3 0 57970 0 03446 4 0 56006 0 01964 5 0 57117 0 01111 6 0 56486 0 00631 3 n x 1 1 5 2 0 2 5 2 n x 1 2 25 4 0 6 25 n x e 2 71828 4 48169 7 38906 12 18249 矛盾方程组为 32 0 61 0 02 0 72 0 18249 1225 6 38906 70 4 48169 425 2 71828 21 b a 对应的正则方程组为 10 538196 6 765 3 4859 2304989 118 4989 118125 61 b a 解得 0009 1 0019 2 ba 所以拟和曲线方程为 x exy0009 10019 2 2 4 由矩阵 Doolittle 分解的紧凑记录形式有 7 17 3 5 3010 3421 1010 0201 4 6 3 5 2010 1221 1010 0201 回代求解得 2 2 4 4 x 2 16 2 1 43 xx 1 1 103 43 2 xx x 1 1 0205 432 1 xxx x 方程组的解向量为 T 2 2 1 1 x 5 令 3 11 3 10 3 max 11 kkk xxx xxxxxx f kk 可求得h 0 2498 或 0 2289 h 6 2724 1 256 1 62 1 6 1 2 0 21 0 1 yyyy 7 0 6932 5 103333 1 fR 8 1 Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 B 022 101 220 J 谱半径 此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛 10 J B 2 1 0 2 1 0 2 7 6 8 3 1 4 4 3 2 1 xxxx 9 以为插值节点 做 Lagrange 插值 bxax 10 2 1 bxaxfbxaxxf 2 1 1 fxL 其中 bax 故 8 1 2 1 2 1 maxmaxmax maxmax 2 xfabbxaxxf bxaxfxf bxabxabxa bxabxa 11 计算方法计算方法2006 2007学年第二学期试题学年第二学期试题 1 填空 1 近似数关于真值有 位有效数字 0142 0 x0139 0 x 2 适当选择求积节点和系数 则求积公式的代数精确度最高可以达 到 次 1 1 1 k n k k xfAdxxf 3 设近似数 都是四舍五入得到的 则相对误差0235 0 1 x5160 2 2 x 2 1x xer 的相对 误差限 4 近似值 5 xy 的相对误差为的 倍 xer 5 拟合三点 A 0 1 B 1 3 C 2 2 的平行于轴的直线方程为 y 2 用迭代法求方程在 1 0 内的重根的近似值 要求 1 说明所用 的方法为什么收敛 2 误差小于10时迭代结束 02 22 xx exex 4 1 n x 3 用最小二乘法确定中的和 使得该函数曲线拟合于下面四个点 1 0 1 01 1 5 2 45 2 0 4 35 2 5 6 71 计算结果保留到小数点后 4 位 xbaxyln 2 ab 4 设函数有二阶连续导数 在一些点上的值如下 写出中心差分表示的二阶三点微分公式 并由此计算 1 1 f i x 1 0 1 1 1 2 i xf 0 01 0 11 0 24 5 已知五阶连续可导函数的如下数据 xfy i x 0 1 i xf 0 1 i xf 0 1 i xf 0 试求满足插值条件的四次多项式 xp 6 设有如下的常微分方程初值问题 1 1 4 11 y x y x dx dy 1 写出每步用欧拉法预估 用梯形法进行一次校正的计算格式 2 取步长 0 2 用上述格式求解 7 设有积分 dxeI x 6 0 0 2 12 1 取 7 个等距节点 包括端点 列出被积函数在这些点出的值 保留到小数点后 4 位 2 用复化 simpson 公式求该积分的近似值 8 用 LU 分解法求解线性代数方程组 7 3 1 3 9522 2211 2120 3211 4 3 2 1 x x x x 9 当常数c取合适的值时 两条抛物线 与cxxy 2 xy2 就在某点相切 试取出试点 用牛顿迭代法求切点横坐标 误差小于10时迭代结束 3 0 0 x 4 参考答案 参考答案 1 1 2 2 2n 1 3 0 002525或0 0021475 4 1 5 5 x 1 2 解 将方程变形为 0 2 x ex 即求在 1 0 内的根的近似值 0 x ex 1 n x 牛顿迭代格式为 n n x x n nn e ex xx 1 1 收敛性证明 非局部收敛定理 结果 56714 0 4 x 3 用最小二乘法 正则方程组为 1586 1048446 141165 9 86 6541165 9125 61 a ba 解得 a 1 0072 b 0 4563 4 解 推导中心差分格式 2 1 120 2 1 xfxfxf h xf 得到 3 1 1 f 5 解 34 32 xxxp 截断误差 23 5 1 5 xx f xR 6 4 1 4 1 2 1 2 1 yy 7 0 6805 8 1 0 1 0 9 解 两条曲线求导 和12 xy 2 1 xy 切点横坐标一定满足12 x 2 1 x 将等式变形为 144 23 xxxxf 13 牛顿迭代法 结果为 0 34781 计算方法计算方法2007 2008学年第一学期试题学年第一学期试题 1 填空 15分 1 设近似数 都是四舍五入得到的 则相对误差 1 9 2270 x 2 0 8009x 12 r ex x 2 拟合三点A 3 1 B 1 3 C 2 2 的平行于轴的直线方程为 y 3 近似数关于真值有 0 0351x 0 0349x 为有效数字 4 插值型求积公式 1 1 1 1 n kk k f x dxA f x 至少有 次代数精确度 5 Simpson 辛浦生 求积公式有 次代数精确度 2 10分 已知曲线 与在点 1 6 6 9 附近相切 试用牛顿迭 代法求切点横坐标的近似值 3 2 89yx 1n 2 2 40 51yx x x 当 5 1 10 nn xx 误差小于10时停止迭代 4 3 10分 用最小二乘法确定中的常数和 使得该函数曲线拟合于下面 四个点 1 2 01 2 7 3 3 16 9 4 30 6 计算结果保留到小数点后4位 xbaxyln 2 ab 4 10分 用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值 232 1034 361 A 1 的第k次近似值 1 k 及相应 的特征向量 1 k x 要求取初始向量 且 0 1 2u 1 T 1 11 0 1 kk 5 10分 设有方程组 11 22 33 13 12 32 axb axba axb 0 1 写出与Jacobi迭代法对应的Gauss Seidel方法的迭代格式 2 Jacobi方法的迭代矩阵为 3 当参数a满足什么条件时 Jacobi方法对任意的初始向量都收敛 6 10分 已知四阶连续可导函数 xfy 的如下数据 i x 1 2 i xf 0 5 i xf 1 10 试求满足插值条件 iiii p xf xp xfx 的三次插值多项式 p x 并写出截断误差 R xf xp x的导数型表达式 不必证明 14 7 15分 设有积分 2 3 1 x Ix e dx 1 取7个等距节点 包括端点1和2 列出被积函数在这些节点上的函数值表 小数点后 至少保留4位 2 用复化simpson公式求该积分的近似值 并由截断误差公式估计误差大小 8 10分 给定初值问题 2 0 1 1 11 4 y yyx x a 写出欧拉 Euler 预估 校正的计算格式 b 取步长 求的近似值 0 2