2017届江苏省南京市高三第三次调研测试含详解.doc

南京市2017届三模数学全卷解析 1已知全集U1，2，3，4，集合A1，4，B3，4，则(AB) 【考点】集合的运算 【解析】本题考察集合的基本运算 【答案】 2甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 【考点】概率 【解析】本题考察的是概率，属于基础题 【答案】 3若复数z满足z232i，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为 【考点】复数的模长（第4题图）Read xIf x0 Then y2Else y 2x2End IfPrint y 【解析】解得 ，本题考察基础的复数的模的计算 【答案】4执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，则输入x的值为 【考点】流程图 【解析】本题考察了if判断型的伪代码，分情况讨论，求出，要考虑的条件。 【答案】 7 7 9 0 8 94 8 1 0 3 5甲 乙（第5题图）5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 【考点】统计，茎叶图，方差 【解析】甲的平均数=乙的平均数=，观察得，乙方差较小 【答案】6.86 在同一直角坐标系中，函数ysin(x) （x0，2）的图象和直线y 的交点的个数是 【考点】三角函数的图像与性质 【解析】，或， 或，且 或，有两个交点 【答案】27 在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是 【考点】双曲线的性质 【解析】双曲线的焦距为6，根据得：，且 解得：（舍） 构成的集合为 【答案】8已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数当x2，4时，f(x)|log4(x)|，则f()的值为 【考点】函数的周期性与奇偶性 【解析】由函数的周期性可得： 有函数的奇偶性可得： 【答案】9 若等比数列an的各项均为正数，且a3a12，则a5的最小值为 【考点】等比数列通项公式、基本不等式的应用 【解析】 【答案】8ACBA1B1C1D（第10题图）10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为 【考点】立体图形的平面展开、等体积法。 【解析】 【答案】11 若函数f(x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数a的最大值为 【考点】导数的应用，根据函数单调性求参数取值范围，二次函数的最值问题，中档偏难。 【解析】 f,x=ex-x2+2x+a-2x+2 =ex(-x2+a+2)0在a,a+1上恒成立 令hx=-x2+a+2 ha=-a2+a+20ha+1=-a+12+a+20-1a-1+52 【答案】12 在凸四边形ABCD中， BD2，且0，()()5，则四边形ABCD的面积为 【考点】向量的坐标运算,向量的数量积及其应用，对角线互相垂直的四边形的面积的求 法，中档偏难 【解析】 以B为坐标原点，BD所在直线为x轴建立直角坐标系， 则 ，由 得,设 【答案】313. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆M：(xa3)2(y2a)21(a为实数)若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得OQP30，则a的取值范围为 【考点】圆与圆的位置关系 【解析】由题意圆M上任意一点Q向圆O作切线，切点为P，PQM=30，所以OQ=4， 即 ，解得 【答案】，014已知a，b，c为正实数，且a2b8c，则的取值范围为 【考点】线性规划、利用导数知识求曲线切线问题 【解析】本题属于压轴题，考察利用令的换元，转换成线性规划问题，再利用导数知识求曲线切线知识解决最小值问题。本题为江苏省2012年第14题改编，解题方法如出一辙。 【答案】因为为正实数，对的左右两边同除，得；对的左右两边同乘，得；令，则条件可转化为再进行化简，可得求的取值范围问题转换为线性规划的问题，画出可行域，对求导，并令导函数值为，可得切点横坐标为3，带入曲线，计算出切点坐标为利用线性规划，可知分别在和取max和min带入计算可得范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）ABCFED（第15题图）如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平面ABD；（2）若BDCD，AE平面BCD，求证：平面AEF平面ACD【考点】立体几何中线面平行，面面垂直【解析】证明：（1）因为BD平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以 BDEF 3分因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以 EF平面ABD 6分（2）因为AE平面BCD，CD平面BCD，所以 AECD 8分因为 BDCD，BDEF，所以 CDEF， 10分又 AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以 CD平面AEF 12分又 CD平面ACD，所以 平面AEF平面ACD 14分16（本小题满分14分）已知向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，(0，)（1）若ab(，0)，求t的值；（2）若t1，且a b1，求tan(2)的值【考点】向量点乘，三角函数公式【解析】解：（1）因为向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，且ab(，0)，所以cossin，tsin2 2分由cossin 得 (cossin)2，即12sincos，从而2sincos 所以(cossin)212sincos 因为(0，)，所以cossin 5分 所以sin， 从而tsin2 7分（2）因为t1，且a b1，所以4sincossin21，即4sincoscos2因为(0，)，所以cos0，从而tan 9分所以tan2 11分从而tan(2) 14分17（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面积为400平方米设BAC（1）求BC的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价CBA水域看台表演台看台DE（第17题图）【考点】三角形面积公式、余弦定理、导数【解析】（1）因为看台的面积是看台的面积的3倍，所以ABAC在ABC中，SABCABACsin400，所以AC2 3分由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos，4AC22AC2 cos(42cos) ，即BC 40 所以 BC40 ，(0，) 7分（2）设表演台的总造价为W万元因为CD10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W3BC120 ，(0，) 9分记f()，(0，)则f () 11分由f ()0，解得当(0，)时，f ()0；当(，)时，f ()0故f()在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而当 时，f()取得最小值，最小值为f()1 所以Wmin120(万元) 答：表演台的最低造价为120万元 14分【答案】(1)BC40 ，(0，) (2)120万元 18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且b2（1）求椭圆的离心率；xyOCBDMA（第18题图）（2）已知a2，四边形ABCD内接于椭圆，ABDC记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【考点】向量的运算 椭圆标准方程 直线与椭圆方程的联立【解析】解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M(，)所以(，)，(a，b)因为b2，所以(，)(a，b)b2，整理得a24b2，即a2b 3分因为a2b2c2，所以3a24c2，即a2c所以椭圆的离心率e 5分（2）方法一：由a2得b1，故椭圆方程为y21 从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为 7分因为ABDC，故可设DC的方程为yxm设D(x1，y1)，C(x2，y2)联立消去y，得x22mx2m220，所以x1x22m，从而x12mx2 9分直线AD的斜率k1，直线BC的斜率k2， 11分所以k1k2，即k1k2为定值 16分方法二：由a2得b1，故椭圆方程为y21 从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为 7分设C(x0，y0)，则y021因为ABCD，故CD的方程为y(xx0)y0联立消去y，得x2(x02y0)x2x0y00，解得xx0（舍去）或x2y0所以点D的坐标为(2y0，x0) 13分所以k1k2，即k1k2为定值 16分19（本小题满分16分）已知常数p0，数列an满足an1|pan|2 anp，nN*（1）若a11，p1， 求a4的值； 求数列an的前n项和Sn（2）若数列an中存在三项ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差数列，求的取值范围 【考点】等差，等比数列求和 等差数列的性质 分类讨论 【解析】解：（1）因为p1，所以an1|1an|2 an1 因为 a11，所以a2|1a1|2 a111， a3|1a2|2 a213， a4|1a3|2 a319 3分 因为a21，an1|1an|2 an1， 所以当n2时，an1， 从而an1|1an|2 an1an12 an13an， 于是有 an3n2(n2) 5分 当n1时，S11； 当n2时，Sn1a2a3an1 所以 Sn即Sn，nN* 8分（2）因为an1an|pan|anppananp2 p0， 所以an1an，即an单调递增 10分 （i）当1时，有a1p，于是ana1p， 所以an1|pan|2 anpanp2 anp3an，所以an3n1a1 若an中存在三项ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差数列，则有2 asarat，即23s13r13t1 （*） 因为st1，所以23s13s3t13r13t1， 即（*）不成立 故此时数列an中不存在三项依次成等差数列 12分 （ii）当1 1时，有pa1p 此时a2|pa1|2 a1ppa12 a1pa12 pp， 于是当n2时，ana2p， 从而an1|pan|2 anpanp2 anp3an 所以an3n2a23n2(a12p) (n2) 若an中存在三项ar，as，at (r，s，tN*，rst)依次成等差数列， 同（i）可知，r1， 于是有23s2(a12 p)a13t2(a12p) 因为2st1，所以23s23t23s3t10因为23s23t2是整数，所以1， 于是a1a12p，即a1p，与pa1p相矛盾 故此时数列an中不存在三项依次成等差数列 14分 （iii）当1时，则有a1pp，a1p0， 于是a2| pa1|2a1ppa12 a1pa12p， a3|pa2|2a2p|pa1|2a15ppa12a15pa14p， 此时有a1，a2，a3成等差数列 综上可知：1 16分20（本小题满分16分）已知R，函数f (x)exex(xlnxx1)的导函数为g(x)（1）求曲线yf (x)在x1处的切线方程；（2）若函数g (x)存在极值，求的取值范围；（3）若x1时，f (x)0恒成立，求的最大值【考点】导数，切线，极值，分类，转化【解析】解：（1）因为f(x)exelnx， 所以曲线yf (x)在x1处的切线的斜率为f(1)0， 又切点为(1，f (1)，即(1，0)， 所以切线方程为y0 2分 （2）g (x)exelnx，g(x)ex 当0时，g(x)0恒成立，从而g (x)在(0，)上单调递增， 故此时g (x)无极值 4分 当0时，设h(x)ex，则h(x)ex0恒成立， 所以h(x)在(0，)上单调递增 6分 当0e时，h(1)e0，h()ee0，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x0(，1)，使得h(x0)0 当e时， h(1)e0，h()e10，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x01，)，使得h(x0)0 故当0时，存在唯一的x00，使得h(x0)0 8分 且当0xx0时，h(x)0，即g(x)0，当xx0时，h(x)0，即g(x)0， 所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 因此g (x)在xx0处有极小值 所以当函数g (x)存在极值时，的取值范围是(0，) 10分（3）g (x)f(x)exelnx，g(x)ex若g(x)0恒成立，则有xex恒成立 设(x)xex(x1