直角三角形综合题(教师版)A4.doc

直角三角形综合题(教师版)/直角三角形综合题总分:60 答题时间:120分钟 日期_班级_姓名_一、解答题(每小题5分，共12题，共60分)1、如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）t=时，四边形AEFD为菱形；（3）t=秒或4秒时，DEF为直角三角形【解析】（1）证明：在DFC中，DFC=90，C=30，DC=2t，DF=t又AE=t，AE=DF（2）能理由如下：ABBC，DFBC，AEDF又AE=DF，四边形AEFD为平行四边形AB=BCtan30=5=5，AC=2AB=10AD=ACDC=102t若使AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=102t，t=即当t=时，四边形AEFD为菱形（3）EDF=90时，四边形EBFD为矩形在RtAED中，ADE=C=30，AD=2AE即102t=2t，t=DEF=90时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EFAD，ADE=DEF=90A=90C=60，AD=AEcos60即102t=t，t=4EFD=90时，此种情况不存在综上所述，当t=秒或4秒时，DEF为直角三角形2、如图1，在RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线，BC=CD（1）求DCB的大小；（2）如图2，点F是边BC上一点，将ABF沿AF所在直线翻折，点B的对应点是点H，直线HFAB，垂足为G，如果AB=2，求BF的长；（3）如图3，点E是ACD内一点，且AEC=150，联结DE，请判断线段DE、AE、CE能否构成直角三角形？如果能，请证明；如果不能，请说明理由【答案】（1）30（2）（3）能构成直角三角形，见解析【解析】（1）如图1中，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，AB=2CD，设CD=x，则AB=2x，BC=x，AC=x，AC=DC=AB，B=30，又CD=BD，DCB=B=30（2）如图2中，连接BHAHF与ABF关于直线AF对称，又点B的对应点是点H，AH=AB，HF=BF，HFAB，ABC=30，BFG=60，FBH=FHB=30；ABH=60，ABH是等边三角形，BG=AB=1，设GF=x，BF=2GF=2x，x2+12=（2x）2，解得x=BF=（3）线段DE、AE、CE能构成直角三角形如图3中，作ECP=60，截取CP=CE，连接AP、PE，EDPC=CE，PCE=60，PCE是等边三角形，PE=CE，PEC=60，B=30，BAC=60，又CD=AD，ACD是等边三角形，ACD=60，AC=CD；ACDACE=PCEACE，即DCE=ACP，在DCE和ACP中，DCEACP，DE=AP，又AEC=150，AEP=15060=90，线段DE、AE、CE能构成直角三角形3、阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连结EF，则，试说明理由图1 图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点A逆时针旋转得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，若，都不是直角，则当与满足_关系时，仍有；（2）如图4，在ABC中，点D、E均在边BC上，且，若，求DE的长图3图4【答案】（1）（2）【解析】该题考察的是图形旋转变换（1）（或互补）时，如图，把ABE绕点A逆时针旋转至ADG，可使AB与AD重合，点F、D、G共线，在AFE和AFG中， AFEAFG（SAS），即：GABCDFE故答案是：（或互补）1分（2）， 把ABD绕A点逆时针旋转至ACG，可使AB与AC重合2分，ABC中，即3分在AEG与AED中,又， AEGAED 4分 又，5分4、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是_；（2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由【答案】（1）且BMDM（2）成立【解析】延长DM至点F，使，联结CF、BF、BD易证EMDCMF4分，且，5分又ABDCBF ，6分，且BMDM95、（1）阅读理解：如图，在ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD），把AB、AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_；（2）问题解决：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CFEF；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，B+D=180，CB=CD，BCD=140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明【答案】（1）2AD8（2）见解析（3）BE+DF=EF，理由见解析【解析】（1）延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图所示：AD是BC边上的中线，BD=CD，在BDE和CDA中， ，BDECDA（SAS），BE=AC=6，在ABE中，由三角形的三边关系得：ABBEAEAB+BE，106AE10+6，即4AE16，2AD8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图所示：同（1）得：BMDCFD（SAS），BM=CF，DEDF，DM=DF，EM=EF，在BME中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM，BE+CFEF；（3）BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：ABC+D=180，NBC+ABC=180，NBC=D，在NBC和FDC中， ，NBCFDC（SAS），CN=CF，NCB=FCD，BCD=140，ECF=70，BCE+FCD=70，ECN=70=ECF，在NCE和FCE中， ，NCEFCE（SAS），EN=EF，BE+BN=EN，BE+DF=EF6、（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【答案】见解析【解析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AGB+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BEBGEF=BEFD7、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于点Q，连接PE、PF，若设运动时间为t（s）（0t5）（1）填空：PD= cm（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PE与PF的和最小？（3）在上述运动的过程中，以P、F、C、D、E为顶点的多边形的面积是否发生变化，试说明理由【答案】（1）10t；（2）5；（3）不会，理由见解析【解析】（1）BC=BD=10cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s，PD=10t；故答案为：10t；（2）当E、P、F三点在同一条直线上时，PE与PF的和最小此时，点P与点Q重合，如图1，BC=BDC=BDCEFDCBFQ=C，3=BDCBFQ=3ADBC1=BFQ又2=31=2DE=DQ，由题意得：BP=DE=t，PD=10t；当点P与点Q重合时，PD=DQ=DE则10t=t，解得：t=5；（3）以P、F、C、D、E为顶点的多边形的面积不会发生变化理由如下：分两种情况讨论：当0t5时，以P、F、C、D、E为顶点的多边形为五边形，如图1，EF是由线段DC平移得到的，FC=DE=t，BF=10tPD=10tPD=BFADBC，EDP=PBF又BP=DE=t，在PDE和FBP中，PDEFBP（SAS），SPDE=SFBPBCD的面积是定值五边形PFCDE的面积不会发生变化当t=5时，由（2）知：E、P、F三点在同一条直线上，此时，以P、F、C、D、E为顶点的多边形即为四边形EFCD，如图2，EF是由线段DC平移得到的，FC=DE=5，BF=105=5DP=105=5，PD=BFADBC，EDP=PBF又BF=DE=5，在PDE和FBP中，PDEFBP（SAS），SPDE=SFBPBCD的面积是定值四边形EFCD的面积不会发生变化8、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q（1）如图，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想【答案】（1）PB=PQ；见解析（2）PB=PQ；见解析【解析】（1）结论：PB=PQ，理由：如图中，过P作PEBC，PFCD，垂足分别为E，FP为正方形对角线AC上的点，PC平分DCB，DCB=90，PF=PE，四边形PECF为正方形BPE+QPE=90，QPE+QPF=90，BPE=QPF，在PQF和PBE中，RtPQFRtPBE，PB=PQ；（2）结论：PB=PQ理由：如图，过P作PEBC，PFCD，垂足分别为E，F，P为正方形对角线AC上的点，PC平分DCB，DCB=90，PF=PE，四边形PECF为正方形，BPF+QPF=90，BPF+BPE=90，BPE=QPF，在PQF和PBE中，RtPQFRtPBE，PB=PQ9、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）当点P与点Q重合时，如图1，写出QE与QF的数量关系，不证明；（2）当点P在线段AB上且不与点Q重合时，如图2，（1）的结论是否成立？并证明；（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，如图3，此时（1）的结论是否成立？请画出图形并给予证明【答案】（1）QE=QF（2）成立，证明见解析（3）成立，图以及证明见解析【解析】（1）QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFQ=AEQ=90，在BFQ和AEQ中BFQAEQ（AAS），QE=QF，（2）（1）中的结论仍然成立，证明：如图2，延长FQ交AE于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中，FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是RtDEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（1）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ是RtDEF斜边DE上的中线，QE=QF10、如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点BE与CF相交于点P（1）求证：BECF；（2）判断PA与AB的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析（2）AP=AB，理由见解析【解析】（1）点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，EC=DF在BCE和CDF中，BCECDFCBE=DCFDCF+BCP=90，CBE+BCP=90，BEFC（2）延长CF、BA交于点MFCEB，BPM=90在CDF和AMF中，CDFAMF，CD=AMCD=AB，AB=AMPA是直角BPM斜边BM上的中线，AP=MBAP=AB11、点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，ABF=AFB（1）如图1，求证：AFD=ADF；（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2AG；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长【答案】（1）见解析（2）见解析（3）7【解析】（1）证明：ABF=AFB，AB=AF，四边形ABCD为正方形，AB=AD，AF=AD，AFD=ADF；（2）证明：如图1所示：过点A作DF的垂线分别交DF，DH于M，N两点GFDF，GFD=AMD=90，ANGH，四边形ABCD为正方形，AGNH，四边形AGHN为平行四边形，AG=NH，AF=AD，AMFD，FM=MD，连接NF，则NF=ND，NFD=NDF，NFD+NFH=NDF+H，NFH=H，NF=NH，ND=NH，DH=2NH=2AG；（3）解：延长DF交BC于点P，如图2所示：四边形ABCD为正方形，ADBC，ADF=FPE，PFE=AFD=ADF=FPE，EF=EP=2，DAM+ADM=ADM+PDC，DAM